Указания к выполнению контрольной задачи Д1

 

Задача Д1 относится ко второй основной задаче динамики материальной точки. В вариантах задач ([1],Табл. 4.2, усл. 0, 2, 4, 6, 8) сила сопротивления среды, действующая на груз, зависит от квадрата скорости груза (см. пример 4.1). В вариантах задач ([1], Табл. 4.2, усл. 1, 3, 5, 7, 9) сила сопротивления среды зависит от скорости линейно (см. пример 4.2). Задачу Д1 следует решать в следующей последовательности:

1) принять реальное тело, движение которого рассматривается в задаче, за материальную точку, наделенную массой m;

2) выбрать систему координат;

3) изобразить материальную точку в этой системе координат, определяя ее положение текущими координатами;

4) приложить к точке активные силы (т.е. силы, не зависящие от связей); если рассматривается движение несвободного тела, то в соответствии с принципом освобождаемости от связей статики приложить к материальной точке также реакции связей;

5) записать основной закон динамики точки для данной задачи;

6) проектируя векторное выражение основного закона динамики точки на выбранные оси координат, составить дифференциальные уравнения движения точки;

7) задать начальные условия движения точки;

8) проинтегрировать полученную в п. 6 систему дифференциальных уравнений;

9) используя начальные условия п. 7, определить константы интегрирования;

10) используя полученные в п. 8 уравнения движения точки, определить искомые величины.

Пример 4.1. В изогнутой трубе, расположенной в вертикальной плоскости (рис. 4.1), получив в точке А начальную скорость , движется груз D массой m. На прямолинейном участке трубы АВ на груз действуют сила тяжести , движущая сила и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза. Расстояние АВ равно l. На прямолинейном участке трубы СЕ на груз действуют сила тяжести и переменная сила , проекция которой на ось х задана. Прямолинейные участки трубы сопряжены дугой ВС окружности радиуса r. На криволинейном участке трубы на груз действует сила тяжести. Найти:

- скорость груза в положениях В и С;

- закон движения груза на участке СЕ.

Трением груза о трубу пренебречь.

Дано: m = 1,5 кг, Q = 7 Н, l = 2 м, V₀ = 17 м/с, R = 0,3V², F_х = – 10 sin3t, r = 0,1 м, α = , β = .

Решение. Разделим задачу на три части. Сначала определим скорость груза в точке В, рассмотрев движение груза на участке АВ. Затем, приняв скорость груза в точке В на начальную, рассмотрим движение груза на криволинейном участке ВС и определим скорость груза в точке С. Приняв эту скорость на начальную, определим уравнение движения груза на участке СЕ.

1. Определим скорость груза в точке В, рассмотрев движение груза на участке АВ. Задачу будем решать в последовательности, указанной выше. Примем груз D за материальную точку, совершающую прямолинейное движение внутри наклонного участка трубы АВ под углом 90 - a = к горизонту (рис. 4.2 ).

Направим ось z вдоль этого участка трубы, совместив начало оси с начальным положением груза в точке А. Положение материальной точки D будет определяться при прямолинейном движении координатой z.

На точку D будут действовать следующие силы: вес груза , постоянная сила , сила сопротивления движению точки , направленная в сторону, противоположную движению, и зависящая от скорости точки V, нормальная реакция стенки трубы .

Составим основное уравнение динамики точки D:

+++. (4.7)

Проектируя (4.7) на ось z и учитывая, что , получим дифференциальное уравнение движения точки D:

. (4.8)

Запишем начальные условия:

при t = 0 z = 0, . (4.9)

Принимая во внимание, что по условиям задачи для определения скорости груза в точке В дано не время движения груза на участке АВ, а длина этого участка l, перейдем от независимой переменной t к переменной z:

. (4.10)

Подставляя (4.10) в уравнение (4.8), получим линейное уравнение первого порядка относительно квадрата скорости точки D:

. (4.11)

Обозначим

, b = = 0,4 (4.12)

и разделим в уравнении (4.11) переменные:

= -bdz. (4.13)

Взяв в (4.13) от обеих частей интегралы, имеем:

. (4.14)

Определим константу интегрирования С, учитывая начальные условия (4.9):

.

Cледовательно, ln(V² - a) = - bz + ln(- a) или

ln = -bz. (4.15)

Из уравнения (4.15) находим

. (4.16)

Подставляя в (4.16) длину участка z = 2 м и значения a и b из (4.12), получим скорость груза в точке В: = 65,77 + (17² – 65,77) e^-0,8 = 166,074 и, следовательно, V_B = 12,88 м/с.

2. Рассмотрим движение груза на участке трубы ВС. На криволинейном участке траектории на точку D действуют сила тяжести и реакция стенки трубы (рис. 4.3). Применим естественные оси плоской траектории точки , направив единичный вектор касательной в сторону движения точки. За начало отсчета дуги s примем точку В с начальной скоростью . Основное уравнение динамики точки D на этом участке имеет вид

. (4.17)

Составим первое уравнение системы дифференциальных уравнений (4.3), спроектировав уравнение (4.17) на касательную и учитывая, что реакция направлена вдоль главной нормали траектории, т. е. по радиусу дуги окружности с центром в точке О:

, или, учитывая, что ,

. (4.18)

Положение точки на дуге окружности будем определять переменным углом φ, откладывая его от радиуса ОВ. В уравнении (4.18) перейдем к новой переменной φ, учитывая, что . Тогда

.

 

Сила тяжести составляет с касательной угол 90–γ (рис. 4.3). Из треугольника угол . Следовательно, сила тяжести составляет с касательной угол и проекция силы тяжести на касательную равна .

Тогда уравнение (4.18) примет вид

,

Сокращая на массу m и разделяя переменные получим

.

Взяв от обеих частей интегралы, имеем

. (4.19)

Учитывая, что при начальная скорость точки равна , определим в (4.19) константу интегрирования С:

.

Следовательно,

. (4.20)

Подставляя в (4.20) значение угла , определим скорость точки в положении С:

12,98 м/с. (4.21)

Сравнивая скорости и , видим, что потеря скорости на участке сопряжения невелика при относительно малом радиусе скругления r = 0,1 м. С увеличением радиуса r, как видно из формулы (4.21), скорость точки в положении С будет увеличиваться.

 

3. Рассмотрим движение груза на участке ЕС. Начало оси x совместим с точкой С (рис. 4.4). Скорость точки будет начальной для этого участка трубы. Положение точки D будет определяться координатой x. На точку D действуют силы: сила тяжести , переменная сила , проекция которой на ось x равна: F_x = - 10sin 3t. Следовательно, при положительном значении функции синуса сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси x. На точку D действует также нормальная реакция связи .

Основное уравнение динамики точки D на этом участке будет иметь вид

++. (4.22)

Проектируя (4.22) на ось x и учитывая, что , получим дифференциальное уравнение движения точки

или, разделив обе части уравнения на m = 1,5 кг, при g = 9,8 м/с² получим

= 6,92 – 6,67sin3t. (4.23)

Зададим начальные условия:

при t = 0 = 0, = V_С . (4.24)

Учитывая, что , и разделяя переменные в уравнении (4.23), имеем

d= (6,92 – 6,67sin3t)dt.

После интегрирования находим

= 6,92t + 2,22 cos 3t + C₁. (4.25)

Разделяя еще раз переменные и интегрируя уравнение (4.25), получим

x = 3,46t² + 0,74sin3t + C₁t + C₂. (4.26)

Для определения констант интегрирования C₁ и C₂ подставим начальные условия (4.24) в уравнения (4.25) и (4.26): V_С = 2,22 + C₁, 0 = =C₂, откуда C₁ = V_С - 2,22 = 12,98 - 2,22 = 10,76.

Следовательно, искомый закон движения груза D имеет вид

x = 3,46t² + 0,74sin 3t + 10,76t.

Пример 4.2. Рассмотрим предыдущий пример в случае, когда сила сопротивления на участке АВ изменяется по закону и задано время движения груза = 2 с на этом участке.

Решение. В этом случае дифференциальное уравнение движения точки D на участке АВ (4.8) будет иметь вид

. (4.27)

Подставим заданные в примере 4.1 величины в уравнение (4.27) и разделим на массу:

. (4.28)

Разделяя переменные, уравнение (4.28) запишем в виде

. (4.29)

Взяв в (4.29) от обеих частей интегралы, имеем:

.

Константу интегрирования С определим, учитывая начальные условия (4.9):

.

Следовательно,

.

Откуда при =17 м/с

.

Значение скорости точки через = 2 с равно

м/с.

В силу того, что на участке ВС изменится только начальная скорость , скорость точки в положении С по формуле (4.21) будет равна:

33,12 м/с.

Изменится также константа интегрирования в формуле (4.26):

.

И следовательно, закон движения груза D на участке СЕ будет иметь вид

.