рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Указания к выполнению контрольной задачи Д1

Указания к выполнению контрольной задачи Д1 - раздел Механика, Теоретическая механика. Часть 1   Задача Д1 Относится Ко Второй Основной Задаче Динамики Матери...

 

Задача Д1 относится ко второй основной задаче динамики материальной точки. В вариантах задач ([1],Табл. 4.2, усл. 0, 2, 4, 6, 8) сила сопротивления среды, действующая на груз, зависит от квадрата скорости груза (см. пример 4.1). В вариантах задач ([1], Табл. 4.2, усл. 1, 3, 5, 7, 9) сила сопротивления среды зависит от скорости линейно (см. пример 4.2). Задачу Д1 следует решать в следующей последовательности:

1) принять реальное тело, движение которого рассматривается в задаче, за материальную точку, наделенную массой m;

2) выбрать систему координат;

3) изобразить материальную точку в этой системе координат, определяя ее положение текущими координатами;

4) приложить к точке активные силы (т.е. силы, не зависящие от связей); если рассматривается движение несвободного тела, то в соответствии с принципом освобождаемости от связей статики приложить к материальной точке также реакции связей;

5) записать основной закон динамики точки для данной задачи;

6) проектируя векторное выражение основного закона динамики точки на выбранные оси координат, составить дифференциальные уравнения движения точки;

7) задать начальные условия движения точки;

8) проинтегрировать полученную в п. 6 систему дифференциальных уравнений;

9) используя начальные условия п. 7, определить константы интегрирования;

10) используя полученные в п. 8 уравнения движения точки, определить искомые величины.

Пример 4.1. В изогнутой трубе, расположенной в вертикальной плоскости (рис. 4.1), получив в точке А начальную скорость , движется груз D массой m. На прямолинейном участке трубы АВ на груз действуют сила тяжести , движущая сила и сила сопротивления среды , зависящая от скорости груза. Расстояние АВ равно l. На прямолинейном участке трубы СЕ на груз действуют сила тяжести и переменная сила , проекция которой на ось х задана. Прямолинейные участки трубы сопряжены дугой ВС окружности радиуса r. На криволинейном участке трубы на груз действует сила тяжести. Найти:

- скорость груза в положениях В и С;

- закон движения груза на участке СЕ.

Трением груза о трубу пренебречь.

Дано: m = 1,5 кг, Q = 7 Н, l = 2 м, V0 = 17 м/с, R = 0,3V2, Fх = – 10 sin3t, r = 0,1 м, α = , β = .

Решение. Разделим задачу на три части. Сначала определим скорость груза в точке В, рассмотрев движение груза на участке АВ. Затем, приняв скорость груза в точке В на начальную, рассмотрим движение груза на криволинейном участке ВС и определим скорость груза в точке С. Приняв эту скорость на начальную, определим уравнение движения груза на участке СЕ.

1. Определим скорость груза в точке В, рассмотрев движение груза на участке АВ. Задачу будем решать в последовательности, указанной выше. Примем груз D за материальную точку, совершающую прямолинейное движение внутри наклонного участка трубы АВ под углом 90 - a = к горизонту (рис. 4.2 ).

Направим ось z вдоль этого участка трубы, совместив начало оси с начальным положением груза в точке А. Положение материальной точки D будет определяться при прямолинейном движении координатой z.

На точку D будут действовать следующие силы: вес груза , постоянная сила , сила сопротивления движению точки , направленная в сторону, противоположную движению, и зависящая от скорости точки V, нормальная реакция стенки трубы .

Составим основное уравнение динамики точки D:

+++. (4.7)

Проектируя (4.7) на ось z и учитывая, что , получим дифференциальное уравнение движения точки D:

. (4.8)

Запишем начальные условия:

при t = 0 z = 0, . (4.9)

Принимая во внимание, что по условиям задачи для определения скорости груза в точке В дано не время движения груза на участке АВ, а длина этого участка l, перейдем от независимой переменной t к переменной z:

. (4.10)

Подставляя (4.10) в уравнение (4.8), получим линейное уравнение первого порядка относительно квадрата скорости точки D:

. (4.11)

Обозначим

, b = = 0,4 (4.12)

и разделим в уравнении (4.11) переменные:

= -bdz. (4.13)

Взяв в (4.13) от обеих частей интегралы, имеем:

. (4.14)

Определим константу интегрирования С, учитывая начальные условия (4.9):

.

Cледовательно, ln(V2 - a) = - bz + ln(- a) или

ln = -bz. (4.15)

Из уравнения (4.15) находим

. (4.16)

Подставляя в (4.16) длину участка z = 2 м и значения a и b из (4.12), получим скорость груза в точке В: = 65,77 + (172 – 65,77) e-0,8 = 166,074 и, следовательно, VB = 12,88 м/с.

2. Рассмотрим движение груза на участке трубы ВС. На криволинейном участке траектории на точку D действуют сила тяжести и реакция стенки трубы (рис. 4.3). Применим естественные оси плоской траектории точки , направив единичный вектор касательной в сторону движения точки. За начало отсчета дуги s примем точку В с начальной скоростью . Основное уравнение динамики точки D на этом участке имеет вид

. (4.17)

Составим первое уравнение системы дифференциальных уравнений (4.3), спроектировав уравнение (4.17) на касательную и учитывая, что реакция направлена вдоль главной нормали траектории, т. е. по радиусу дуги окружности с центром в точке О:

, или, учитывая, что ,

. (4.18)

Положение точки на дуге окружности будем определять переменным углом φ, откладывая его от радиуса ОВ. В уравнении (4.18) перейдем к новой переменной φ, учитывая, что . Тогда

.

 

Сила тяжести составляет с касательной угол 90–γ (рис. 4.3). Из треугольника угол . Следовательно, сила тяжести составляет с касательной угол и проекция силы тяжести на касательную равна .

Тогда уравнение (4.18) примет вид

,

Сокращая на массу m и разделяя переменные получим

.

Взяв от обеих частей интегралы, имеем

. (4.19)

Учитывая, что при начальная скорость точки равна , определим в (4.19) константу интегрирования С:

.

Следовательно,

. (4.20)

Подставляя в (4.20) значение угла , определим скорость точки в положении С:

12,98 м/с. (4.21)

Сравнивая скорости и , видим, что потеря скорости на участке сопряжения невелика при относительно малом радиусе скругления r = 0,1 м. С увеличением радиуса r, как видно из формулы (4.21), скорость точки в положении С будет увеличиваться.

 

3. Рассмотрим движение груза на участке ЕС. Начало оси x совместим с точкой С (рис. 4.4). Скорость точки будет начальной для этого участка трубы. Положение точки D будет определяться координатой x. На точку D действуют силы: сила тяжести , переменная сила , проекция которой на ось x равна: Fx = - 10sin 3t. Следовательно, при положительном значении функции синуса сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси x. На точку D действует также нормальная реакция связи .

Основное уравнение динамики точки D на этом участке будет иметь вид

++. (4.22)

Проектируя (4.22) на ось x и учитывая, что , получим дифференциальное уравнение движения точки

или, разделив обе части уравнения на m = 1,5 кг, при g = 9,8 м/с2 получим

= 6,92 – 6,67sin3t. (4.23)

Зададим начальные условия:

при t = 0 = 0, = VС . (4.24)

Учитывая, что , и разделяя переменные в уравнении (4.23), имеем

d= (6,92 – 6,67sin3t)dt.

После интегрирования находим

= 6,92t + 2,22 cos 3t + C1. (4.25)

Разделяя еще раз переменные и интегрируя уравнение (4.25), получим

x = 3,46t2 + 0,74sin3t + C1t + C2. (4.26)

Для определения констант интегрирования C1 и C2 подставим начальные условия (4.24) в уравнения (4.25) и (4.26): VС = 2,22 + C1, 0 = =C2, откуда C1 = VС - 2,22 = 12,98 - 2,22 = 10,76.

Следовательно, искомый закон движения груза D имеет вид

x = 3,46t2 + 0,74sin 3t + 10,76t.

Пример 4.2. Рассмотрим предыдущий пример в случае, когда сила сопротивления на участке АВ изменяется по закону и задано время движения груза = 2 с на этом участке.

Решение. В этом случае дифференциальное уравнение движения точки D на участке АВ (4.8) будет иметь вид

. (4.27)

Подставим заданные в примере 4.1 величины в уравнение (4.27) и разделим на массу:

. (4.28)

Разделяя переменные, уравнение (4.28) запишем в виде

. (4.29)

Взяв в (4.29) от обеих частей интегралы, имеем:

.

Константу интегрирования С определим, учитывая начальные условия (4.9):

.

Следовательно,

.

Откуда при =17 м/с

.

Значение скорости точки через = 2 с равно

м/с.

В силу того, что на участке ВС изменится только начальная скорость , скорость точки в положении С по формуле (4.21) будет равна:

33,12 м/с.

Изменится также константа интегрирования в формуле (4.26):

.

И следовательно, закон движения груза D на участке СЕ будет иметь вид

.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретическая механика. Часть 1

Российской федерации.. федеральное агентство по образованию.. государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Указания к выполнению контрольной задачи Д1

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Для студентов заочной формы обучения всех специальностей
    Казань 2009     УДК 531.3 ББК 22.21 Х16     Рецензенты:

Основные задачи и аксиомы статики
Статика изучает две основные задачи: 1) Приведение заданной произвольной системы сил к простейшему виду. 2) Вывод условий равновесия твердых тел, находящихся п

При взаимодействии двух тел силы действия и противодействия, возникающие при этом, являются противоравными.
Аксиомы А1-А5 справедливы только для свободных тел, т.е. таких тел, на перемещения которых не наложено никаких ограничений. Несвободным телом н

Моменты сил. Главный вектор и главный момент системы сил
Для решения основной задачи статики – определение условий равновесия твердых тел, находящихся под действием системы сил, необходимо ввести понятия моментов силы. Момент силы

Основная теорема статики. Уравнения равновесия
Основная теорема статики: Для уравновешенности системы сил необходимо и достаточно чтобы ее главный вектор и главный момент относительно произвольной точки О равня

Частные случаи
1)    

Система сходящихся сил
В этом случае линии действия всех сил, приложенных к твердому телу, пересекаются в одной точке. Выбирая начало координат в этой точке, получим три условия равновесия для сходящейся системы сил:

Система параллельных сил
Направив одну из осей, например z, параллельно силам, получим три скалярных условия равновесия: ,

Указания к выполнению контрольной задачи С1
Задача С1 - на равновесие тела под действием плоской системы сил. В вариантах ([1], табл. 1.1, рис. 0, 1, 3, 5, 6, 8, 9) жесткая рама опирается у конца A на неподвижный шарнир (см. пример 1.

Указания к выполнению контрольной задачи К1
  Задача К1- на определение кинематических характеристик точки по заданным в координатной форме уравнениям движения. Варианты задач различаются траекториями, которыми являются окружно

Указания к выполнению контрольной задачи К2
Задача К2 – на определение угловых скоростей звеньев и скоростей отдельных точек плоского многозвенного механизма, состоящего из 4 стержней и ползуна В, соединенных друг с другом и неподвижн

Инерциальные системы отсчета. Аксиомы динамики
  Материальной точкой в механике называют простейшую модель физического тела любой формы, размерами которого и вращением можно пренебречь в рассматриваемой задаче и которое можно прин

Изолированная материальная точка либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока на нее не подействуют силы.
Под изолированной материальной точкой понимается материальная точка, свободная от силового воздействия. Система отсчета, в которой справедлива аксиома А1, называется инерциальной системой отсчета.

Основные задачи динамики материальной точки
  В проекциях на оси декартовой системы координат векторное равенство (4.1) в общем случае криволинейного движения точки в пространстве запишется в виде

Краткие теоретические сведения
Рекомендуемая учебная литература: [2], гл. XXV, § 121–127, c. 301–323; [4], гл. X, § 10.1–10.5, c. 204–222.   Механическая система. Центр масс   Под ме

Моменты инерции
Инерционные свойства механической системы определяются шестью моментами инерции: ;

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
  1. Теоретическая механика. Ч. 1. Программа, методические указания и контрольные задания. Для студентов-заочников всех специальностей. Л.Ш. Хакимуллина, Ю.Я. Петрушенко. - Казань: КГ

Маркин Юрий Сергеевич
    ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ЧАСТЬ 1   Учебно-методическое пособие к выполнению контрольных заданий (с примерами решений) для студентов за

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги