рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теоретическая механика. Часть 1

Теоретическая механика. Часть 1 - раздел Механика, Министерство Образования И Науки Российской Федерации Федер...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

 

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Л.Ш.ХАКИМУЛЛИНА, Е.М.СТЕПАНОВА, Ю.С.МАРКИН

 

 

Теоретическая механика. Часть 1

 

 

Учебно-методическое пособие к выполнению контрольных заданий (с примерами решений)

Для студентов заочной формы обучения всех специальностей

  Казань 2009  

ВВЕДЕНИЕ

 

В пособии даны указания к выполнению контрольной работы по курсу теоретической механики для студентов заочной формы обучения. Пособие ставит целью научить студентов правильно применять изученный теоретический материал к решению контрольных задач, повысить эффективность самостоятельной работы студентов при выполнении заданий. Успешное изучение курса теоретической механики взаимосвязано с приобретением навыков решения практических задач, способствующих лучшему усвоению теории, и, наоборот, решение задач требует теоретических знаний предмета. Приобретению практических навыков решения задач как и любому навыку учатся путем подражания и практики. Поэтому в пособии увеличено количество примеров решения задач по всем разделам.

Прежде чем приступить к решению задач, необходимо изучить теоретический курс раздела, следуя общим рекомендациям, изложенным в [1]. Рекомендуемая учебная литература приведена в конце настоящего пособия. Ссылки на нее даются в квадратных скобках, далее следуют номера глав, параграфов и страниц.

 

СТАТИКА

1.1. Краткие теоретические сведения

 

Рекомендуемая учебная литература: [2], гл.I, § 1-3, с. 9-17, гл. II, § 4, 5, с.18-23, гл. III, § 8, 9, с. 31-35, гл. IV, § 11-13, с. 37-41, гл. V, § 14-17, с. 41-53, § 21, с. 58-61; [3], гл. I, § 1.1-1.4, с.15-28, гл. III, § 3.2, с. 40-44, гл. IV, § 4.1-4.4, с. 49-57, гл. V, § 5.1-5.3, с. 57-68.

 

Основные понятия и определения статики

Статика – раздел теоретической механики, изучающий условия, при которых силы, приложенные к материальным объектам, движения не производят. Материальными объектами статики являются абсолютно твердые тела – абстрактные модели реальных тел, расстояния между двумя любыми точками которых остаются неизменными при взаимодействиях с другими телами. В дальнейшем абсолютно твердые тела будем называть твердыми телами. Мера механического взаимодействия материальных объектов в механике называется силой. Сила характеризуется интенсивностью (величиной), направленностью (линией действия) и точкой приложения (рис. 1.1), т. е. сила определяется как связанный вектор.

 

 

 


В статике рассматриваются только постоянные силы.

Совокупность сил, приложенных к выделенному твердому телу, называется системой сил и обозначается

или, если число сил, входящих в систему, нас не интересует, то более компактно .

Равновесие – это покой рассматриваемого твердого тела по отношению к системе отсчета, которую будем связывать с Землей. Относительное равновесие – покой относительно подвижных систем отсчета – изучается в динамике.

Система сил, под действием которой твердое тело находится в равновесии, называется уравновешенной системой сил или системой сил, эквивалентной нулю:

~0.

Система сил, которая вместе с данной системой сил образует уравновешенную систему сил, называется уравновешивающей системой сил.

Две системы сил называются эквивалентными, если они имеют одну и ту же уравновешивающую систему сил.

Если система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей.

Основные задачи и аксиомы статики

1) Приведение заданной произвольной системы сил к простейшему виду. 2) Вывод условий равновесия твердых тел, находящихся под действием систем… Теоретические результаты, получаемые в виде теорем и следствий геометрической статики (в отличие от аналитической…

Аксиома двух сил

Для того, чтобы твердое тело находилось в равновесии под действием двух сил, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были противоравными (рис. 1.2).

 


 

 

Аксиома А1 указывает простейшую уравновешенную систему сил.

Аксиома добавления и отбрасывания сил

Состояние равновесия твердого тела не изменится, если к системе сил, действующих на него, добавить или отбросить уравновешенную систему сил.

Следствие 1

Добавление или отбрасывание к заданной системе сил любой уравновешенной системы сил дает систему, эквивалентную данной.

Следствие 2

Сила, приложенная к твердому телу, есть вектор скользящий.

Таким образом, силу, приложенную к твердому телу, не изменяя оказываемого ею действия, можно переносить вдоль линии действия (рис. 1.3).

Рис.1.3

Аксиома параллелограмма сил

Две силы, приложенные к одной точке твердого тела, имеют равнодействующую, определяемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах (рис. 1.4).

 
 

Рис. 1.4

Аксиома А3 утверждает, что

~; .

Принцип «отвердевания»

Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием системы сил, не нарушается, если тело считать абсолютно твердым.

Закон равенства действия и противодействия

При взаимодействии двух тел силы действия и противодействия, возникающие при этом, являются противоравными.

Несвободным телом называется тело, отдельные перемещения которого ограничены другими телами, которые называются связями. Силы, с которыми эти связи…

Принцип освобождаемости от связей

Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить действующие на него связи, заменив их действие силами – реакциями связей.

На основе изложенных аксиом можно доказать теорему о трех непараллельных силах:

Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии их действия пересекаются в одной точке.

Простейшие связи и их реакции

Связи, которые рассматриваются в статике, реализуются при помощи твердых и гибких тел. Сила, с которой данное тело действует на связь, и реакция связи по аксиоме А3 являются противоравными силами.

 

Идеально гладкая поверхность (рис. 1.5)

Тело Т опирается в точке А на гладкую поверхность, которая является для него связью. Реакция гладкой поверхности приложена в точке А и направлена по общей нормали к телу и гладкой поверхности (рис.1.5).

 

 

 
 

2) Цилиндрический шарнир (рис. 1.6)

В цилиндрическое отверстие тела Т вставляется цилиндрический болт (заштрихован) несколько меньшего диаметра, чем отверстие. Тело Т может вращаться вокруг оси болта. Реакция цилиндрического шарнира лежит в плоскости, перпендикулярной оси болта, проходит через центр болта и точку касания с телом. Таким образом, направление реакции неизвестно и определяется в зависимости от приложенных к телу сил. Часто, чтобы не вводить неизвестный угол a, определяющий направление реакции , ее заменяют двумя другими составляющими по взаимно ортогональным направлениям:

.

3) Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора (подвижной каток) (рис. 1. 7)

Тело Т опирается на гладкую поверхность через шарнир, поставленный на катки. Реакция шарнирно-подвижной опоры направлена перпендикулярно опорной поверхности.

 

Цилиндрическая шарнирно-неподвиж-ная опора (рис. 1.8)

Тело Т прикреплено с помощью шарнира к неподвижной поверхности. Направление реакции опоры может быть любым, в зависимости от приложенных сил. Как и в случае 2), чтобы не вводить неизвестный угол a, реакцию раскладывают по двум взаимно ортогональным направлениям.

Гибкая нерастяжимая нить (рис. 1.9)

Реакция нити , называемая натяжением нити, направлена вдоль нити к точке подвеса.

 
 

6) Невесомый шарнирно-закрепленный на концах стержень (рис. 1.10)

 

Реакция невесомого стержня направлена вдоль стержня. При этом стержень может быть как сжат, и тогда реакция стержня направлена от стержня к телу , так и растянут. Тогда реакция стержня направлена в сторону от тела к стержню .

7) Жесткая заделка (рис. 1.11)

Конец балки АВ жестко заделан в стену. При нагрузке на балку в заделке возникают реакции, состоящие из реакции заделки и пары с реактивным моментом заделки . Так как направление реакции заделки неизвестно, ее обычно раскладывают по двум взаимно ортогональным направлениям:

.

 

Моменты сил. Главный вектор и главный момент системы сил

Момент силы относительно произвольной точки О, обозначаемый , определяется как вектор, равный векторному произведению , где - радиус-вектор точки приложения силы А относительно точки О (рис. 1.12).

Пара сил. Приведение системы сил к силе и паре

Парой сил называется совокупность двух равных по величине, параллельных и противоположно направленных сил (рис. 1.14).

 

 

 

Расстояние h между силами пары называется плечом пары.

Главный вектор пары равен нулю. Главный момент пары не зависит от выбора точки О, является свободным вектором и равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы пары. Он называется моментом пары и обозначается .

Модуль момента пары равен произведению модуля сил пары на ее плечо. Пара сил является простейшей системой сил, которую нельзя элементарными преобразованиями привести к одной силе.

Элементарными преобразованиями системы сил являются присоединение или отбрасывание к системе сил двух противоравных сил, перенос сил вдоль линий их действия, сложение и разложение сил по аксиоме А3. Элементарные преобразования переводят данную систему сил в эквивалентную ей систему. Они не изменяют главного вектора и главного момента системы сил относительно произвольно выбранной точки.

 

Теорема о приведении системы сил к силе и паре:

Любую систему сил, приложенную к твердому телу, элементарными преобразованиями можно привести к одной силе, равной главному вектору системы сил и приложенной в произвольно выбранной точке О, и к паре, момент которой равен главному моменту данной системы сил относительно точки О.

Основная теорема статики. Уравнения равновесия

Для уравновешенности системы сил необходимо и достаточно чтобы ее главный вектор и главный момент относительно произвольной точки О равнялись…     . (1.4)

Для эквивалентности двух систем сил необходимо и достаточно, чтобы были равны их главные векторы и главные моменты относительно одной и той же произвольной точки.

Непосредственным следствием теоремы эквивалентности является часто применяемая при решении практических задач статикитеорема Вариньона, которой удобно пользоваться при вычислении моментов сил:

Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно произвольной точки (оси) равен геометрической (алгебраической) сумме моментов сил системы относительно той же точки (оси):

,

где , или для оси z:

.

Из основной теоремы статики следуют уравнения равновесия твердых тел.

 
 

Рассмотрим равновесие твердого тела, находящегося под действием системы сил в прямоугольной системе координат (рис. 1.15).

Рис. 1.15

 

Из формул (1.2), (1.3) и (1.4) условия равновесия в векторной форме имеют вид

, .

В проекциях на оси координат Oxyz получим из них шесть скалярных условий равновесия:

(1.5)
, , ,

, , .

 

Частные случаи

Рис. 1.16 В этом случае все силы, действующие на тело, расположены в одной плоскости.… , , . (1.6)

Система сходящихся сил

(1.9) Остальные условия обратятся в тождества 0º0. Если система сходящихся сил…  

Система параллельных сил

, , . (1.11) Остальные условия обратятся в тождества 0º0. Если среди сил, уравновешенность которых рассматривается, есть неизвестные, то условия равновесия (1.5), (1.8)–(1.11)…

Указания к выполнению контрольной задачи С1

1. Выделить тело, равновесие которого необходимо рассмотреть в данной задаче. Изобразить его на чертеже. 2. Приложить к телу активные силы. Если есть распределенная нагрузка,… 3. Выяснить, какие связи наложены на выделенное тело. По принципу освобождаемости от связей А6 отбросить связи и на…

КИНЕМАТИКИ ТОЧКИ

Краткие теоретические сведения

Рекомендуемая учебная литература: [2], гл. IX, § 36-46, с. 95-116, [3], гл. IX, § 9.1-9.8, с. 123-153.

 

Кинематика точки рассматривает две основные задачи.

А) Задача задания движения точки.

Движение точки в пространстве считается заданным, если найден способ, при помощи которого каждому моменту времени t однозначно ставится в соответствие положение точки в пространстве.

Б) Задача определения кинематических характеристик движения точки – скорости точки и ускорения точки.

Существует три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

Для того, чтобы задать движение точки векторным способом, нужно радиус-вектор движущейся точки М относительно центра О (рис. 2.1), принимаемого за неподвижную точку, задать как функцию времени .

По определению скорость точки в данный момент времени – это вектор, равный производной от радиуса-вектора движущейся точки по времени и направленный по касательной к траектории точки в сторону движения:

=. (2.1)

В декартовой системе координат Oxyz, принимаемой за неподвижную, радиус- вектор движущейся точки (рис. 2.1) определяется равенством

,

где – орты координатных осей;

x = x(t), y = y(t), z = z(t). (2.2)

Уравнения (2.2) являются уравнениями движения точки, заданными координатным способом. Эти же уравнения являются уравнениями траектории точки (рис. 2.1) в параметрическом виде, где параметром является время t. Для определения траектории точки в случае задания ее движения координатным способом необходимо из уравнений (2.2) исключить время t. Для вычисления скорости точки, заданной координатным способом, по формуле (2.1) имеем

,

где , , (2.3) – проекции вектора скорости на неподвижные декартовы координаты. Модуль скорости точки определяется формулой

. (2.4)

Направление вектора скорости задается направляющими косинусами:

, , .

 
 

Рис. 2.1

 

Ускорениеточки определяется как первая производная от вектора скорости по времени:

,

где , , (2.5)

– проекции вектора ускорения точки на неподвижные декартовы координаты.

Модуль вектора ускорения точки вычисляется аналогично модулю вектора скорости точки:

, (2.6)

а направление вектора ускорения – направляющими косинусами:

, , .

Движение точки может быть задано также естественным способом. При этом способе должна быть известна траектория точки и задан закон движения точки М по этой траектории: s = s(t), где s =M0M – дуга, отсчитываемая на траектории от начального положения точки M0.

Для определения положения точки на траектории задается также направление положительного отсчета дуги (рис. 2.2).

При этом способе используются естественные оси с началом в текущем положении точки М на траектории (рис. 2.3) и единичными векторами , , .

Единичный вектор направлен по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуги, единичный вектор направлен по главной нормали траектории в сторону ее вогнутости, единичный вектор направлен по бинормали к траектории в точке М.

Орты и лежат в соприкасающейся плоскости, орты и в нормальной плоскости, орты и - в спрямляющей плоскости.

Скорость точки при естественном способе задания движения точки определяется формулой

, (2.7)

где проекция вектора скорости на касательную определяется по формуле

.

Модуль вектора скорости V = ||.

Вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости и раскладывается на касательную и нормальную составляющие:

,

где проекция вектора ускорения на касательную

(2.8)

называется касательным (тангенциальным) ускорением.

Касательное ускорение характеризует «быстроту» изменения величины скорости. При at ×Vt > 0 (векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону) точка в данный момент времени движется ускорено, при at × Vt < 0 (векторы касательного ускорения и скорости направлены в разные стороны) – замедленно. Проекция ускорения на главную нормаль

, (2.9)

где r – радиус кривизны траектории в точке М называется нормальным ускорением. Модуль вектора ускорения определяется по формуле

. (2.10)

Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами , .

Указания к выполнению контрольной задачи К1

Задача К1- на определение кинематических характеристик точки по заданным в координатной форме уравнениям движения. Варианты задач различаются… 1) выбрать систему координат; 2) исключив время из уравнений движения точки, определить уравнение траектории точки и изобразить ее график;

КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОГО МЕХАНИЗМА

 

Краткие теоретические сведения

Рекомендуемая учебная литература: [2], гл. X, § 48–51, с. 117–126; гл. XI, § 52–57, с. 127–140. [3], гл. Х, § 10.1–10.2, с. 159–168; гл. XI, § 11.1–11.4, с. 168–177.

 

Кинематика твердого тела. Простейшие движения твердого тела

 

Кинематика твердого тела рассматривает три основные задачи

А) Задача задания движения тела.

Б) Задача определения кинематических характеристик твердого тела – угловой скорости и углового ускорения тела.

В) Задача определения кинематических характеристик отдельных точек тела – задача распределения скоростей и ускорений.

Простейшими движениями твердого тела являются поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси.

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению.

При поступательном движении твердого тела траектории всех его точек одинаковы, а их скорости и ускорения в каждый момент времени равны между собой. Следовательно, изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения одной его точки, т. е. связано с кинематикой точки.

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения.

Прямая, проходящая через неподвижные точки тела, называется осью вращения тела.

Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси задается углом поворота φ между двумя полуплоскостями, проходящими через ось вращения z (рис. 3.1), одна из которых П1, неподвижна, а другая П, неизменно связана с вращающимся телом.

Уравнение

φ = φ(t) (3.1)

 

определяет закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси.

Угол φ обычно задают положительным, если он откладывается от неподвижной плоскости против хода часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае, если смотреть с конца оси z. Дуговая стрелка на рис. 3.1 показывает направление положительного отсчета угла φ.

Состояние движения вращающегося тела в данный момент времени характеризуется вектором угловой скорости , направленным вдоль оси вращения, и вектором углового ускорения , также направленным вдоль оси вращения (рис. 3.1).

Проекции вектора угловой скорости и вектора углового ускорения на ось z определяются по формулам

(3.2)

 

Если , то направление вектора угловой скорости совпадает с положительным направлением оси z, и вращение тела происходит против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси; если , то вектор направляется в отрицательную сторону оси z, и вращение тела происходит по ходу часовой стрелки.

Если , то направление вектора углового ускорения совпадает с положительным направлением оси z, если , то вектор направляется в отрицательную сторону оси z.

Если и имеют одинаковые знаки, то вращение тела будет ускоренным, если разные, то – замедленным.

Вращение тела вокруг неподвижной оси называется равномерным, если оно происходит с постоянной угловой скоростью

const.

Вращение тела вокруг неподвижной оси называется равнопеременным, если оно происходит с постоянным угловым ускорением

const.

Если при этом и имеют одинаковые знаки, то вращение тела называется равноускоренным, если и имеют разные знаки, то – равнозамедленным.

Траекториями точек тела при вращательном движении являются окружности, центры которых лежат на оси вращения z (рис. 3.2), а векторы скоростей точек тела по модулю пропорциональны расстояниям до центра вращения r (радиусам вращения) и равны

(3.3)

 

Векторы скоростей точек тела направляются по касательным к окружностям в сторону вращения тела. Дуговая стрелка на рис. 3.2 указывает направление вращения тела.

 
 

 


Рис. 3.2

 

Ускорения произвольных точек М тела при вращательном движении раскладываются на касательную и нормальную составляющие:

,

модули которых определяются по формулам

(3.4)

 

 

Вектор касательного ускорения направлен по касательной к траектории точки в сторону вращения тела (рис. 3.2), если и имеют одинаковые знаки, и в обратную сторону, если и имеют разные знаки.

Вектор нормального ускорения всегда направлен по радиусу вращения к оси вращения тела.

 

 

Плоскопараллельное движение твердого тела

 

Плоскопараллельным называется такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Характерным примером плоскопараллельного движения является качение цилиндра (катка) по неподвижной плоскости, все сечения которого параллельные некоторой неподвижной плоскости (например, стене дома), будут двигаться одинаково. Исследование плоскопараллельного движения сводится к исследованию движения одного сечения тела в своей плоскости, которое называют плоским.

При плоском движении в каждый данный момент времени существует единственная точка Р плоской фигуры, скорость которой равна нулю (мгновенный центр скоростей), а распределение скоростей таково, как если бы плоская фигура совершала вращательное движение вокруг мгновенного центра скоростей (теорема о мгновенном центре скоростей):

V = w × h, (3.5)

где h – расстояние от точки до мгновенного центра скоростей, w – угловая скорость плоской фигуры.

На рис. 3.3 показаны способы нахождения мгновенного центра скоростей по скоростям двух точек плоской фигуры. На рис. 3.3, а) показан случай, когда известен вектор скорости точки А и прямая, по которой направлен вектор скорости точки В. Мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпендикуляров к скоростям, восстановленным в этих точках.

Угловая скорость w в этом случае находится по известной величине скорости VA точки А:

. (3.6)

В случае, показанном на рис. 3.3, б, угловую скорость плоской фигуры можно найти, пользуясь свойством пропорции, по одной из формул

.

Аналогично, в случае, показанном на рис. 3.3, в, угловую скорость можно определить по формулам

.

В случае, когда скорости двух точек А и В плоской фигуры параллельны, но не перпендикулярны к АВ (рис. 3.3, г), мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и, следовательно, угловая скорость равна нулю. Векторы скоростей всех точек плоской фигуры в данный момент времени будут равны. Движение плоской фигуры в этом случае называют мгновенно поступательным.

                                   
   
 
 
   
а)
 
б)
 
   
   
 
 
   
г)
   
в)
 
 
   
Рис. 3.3


Указания к выполнению контрольной задачи К2

Поступательным движением плоской фигуры является движение, при котором любая прямая, проведенная в плоскости движущейся фигуры, остается… Вращательным движением плоской фигуры в своей плоскости является такое ее… V = w × R, (3.7)

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Краткие теоретические сведения

Рекомендуемая учебная литература: [2], гл. XV, § 73 – 76, с. 180 – 186; гл. XVI, § 77 – 82, c. 186 – 201. [4], гл. 1, § 1.1–1.7, с. 9–32.

 

Инерциальные системы отсчета. Аксиомы динамики

Материальной точкой в механике называют простейшую модель физического тела любой формы, размерами которого и вращением можно пренебречь в… Аксиома инерции или принцип инерции открытый Галилеем (первый закон Ньютона) …  

Изолированная материальная точка либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно до тех пор, пока на нее не подействуют силы.

Для инерциальной системы отсчета справедлива вторая аксиома динамики.   Основной закон динамики или второй закон Ньютона

При взаимодействии двух материальных точек силы действия и противодействия являются противоравными силами.

 

Аксиома независимости действия сил или закон сложения сил

Ускорение, сообщаемое материальной точке при одновременном действии нескольких сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых этой точке каждой силой в отдельности.

То есть если на точку действует система сил то

и основной закон динамики примет вид

(4.1)

 

 


Ускорения, которые фигурируют в аксиомах А2 и А4 являются абсолютными ускорениями.

Аксиомы А1 – А4 справедливы для свободной материальной точки.

Если материальная точка в силу наложенных связей во все время движения независимо от действующих сил вынуждена двигаться либо по поверхности, либо по линии, либо в ограниченной части пространства, то она называется несвободной, а ее движение несвободным.

В случае несвободной материальной точки нужно, применив принцип освобождаемости от связи статики, добавить к действующим на точку активным силам реакции связей.

 

Основные задачи динамики материальной точки

В проекциях на оси декартовой системы координат векторное равенство (4.1) в общем случае криволинейного движения точки в пространстве запишется в… , , , (4.2) где , , – проекции ускорения точки ; , , –проекции силы на соответствующие оси координат, которые могут быть функциями…

Указания к выполнению контрольной задачи Д1

Задача Д1 относится ко второй основной задаче динамики материальной точки. В вариантах задач ([1],Табл. 4.2, усл. 0, 2, 4, 6, 8) сила сопротивления… 1) принять реальное тело, движение которого рассматривается в задаче, за… 2) выбрать систему координат;

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ К ИЗУЧЕНИЮ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

 

Краткие теоретические сведения

  Механическая система. Центр масс  

Моменты инерции

; ; ; (5.3) ; ; . (5.4) Соответственно для абсолютно твердого тела:

Рис. 5.5

 

В случае, когда необходимо определить момент инерции относительно оси, например , параллельной центральной, т.е. проходящей через центр масс С, момент инерции определяется по формуле Гюйгенса-Штейнера:

,

где – момент инерции относительно центральной оси; – момент инерции относительно оси, параллельной центральной; M – масса тела; d – расстояние между указанными осями.

 

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

Теорема об изменении кинетической энергии имеет следующую формулировку: изменение кинетической энергии Т механической системы при ее перемещении из начального в текущее (конечное) положение равно сумме работ на этом перемещении всех внешних и внутренних сил, приложенных к точкам системы:

. (5.7)

Кинетическая энергия механической системы, состоящей из n отдельных материальных точек, определяется по формуле

,

где – скорость k-й материальной точки массой .

Соответственно для абсолютно твердого тела

,

где интеграл распространен по массе тела.

Формулы для вычисления кинетической энергии тел в разных случаях движения будут следующими:

1) Поступательное движение:

, (5.8)

где M – масса тела, – скорость его центра масс.

2) Вращательное движение:

, (5.9)

где – момент инерции тела относительно оси вращения z, w – его угловая скорость.

3) Плоскопараллельное движение. В этом случае кинетическая энергия тела вычисляется по формуле Кёнига:

, (5.10)

где – момент инерции тела относительно оси z, проходящей через его центр масс С.

Если механическая система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия будет равна сумме кинетических энергий всех тел, входящих в систему:

.

Для определения работы силы на элементарном перемещении вводится понятие элементарной работы силы. Элементарная работа силы DА равна скалярному произведению векторов силы и элементарного перемещения :

DА = × .

Вектор элементарного перемещения направляется по касательной к траектории в данной точке (рис. 5.6) и по модулю равен элементарной дуге ds. Исходя из определения скалярного произведения векторов элементарную работу можно вычислить по следующим формулам:

или , (5.11)

где

, = dx+ dy+ dz.

При этом знак элементарной работы будет положительным, если угол a острый. Если угол a тупой, то элементарная работа будет отрицательной.

Работа силы на конечном перемещении (рис. 5.6) равна криволинейному интегралу, взятому вдоль дуги кривой от до , от элементарной работы:

. (5.12)

 
 


Рис. 5.6

 

Знак работы имеет следующий смысл: если сила способствует движению, то работа положительна, если не способствует движению - отрицательна.

Единицей измерения работы в системе СИ является 1 джоуль (Дж) =

= 1 Н× м = 1 кг ×.

 

Примеры работы сил, наиболее часто используемые в задачах:

1) Работа сил тяжести:

.

При перемещении абсолютно твердого тела из положения с центром масс в точке (рис. 5.7) в положение с центром масс в точке работа силы тяжести тела равна произведению веса тела на вертикальное перемещение его центра масс. В случае перемещения твердого тела из положения с центром масс в точке C2 в положение с центром масс в точке C1 работа силы тяжести поменяет знак:

= ± Ph, (5.13)

где .

 

 

Рис. 5.7

2) Работа силы трения скольжения. Величина силы трения, действующей на материальную точку М при ее движении по шероховатой поверхности (рис. 5.8), определяется по формуле Кулона-Амонтона , где f – коэффициент трения, N – величина нормальной реакции поверхности.

Тогда по формуле (5.12)

.

Если величина силы трения постоянная, то

, (5.14)

где .

 

 


 

Рис. 5.8

3) Работа силы, приложенной к вращающемуся телу. Элементарная работа силы , приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна

(5.15)

где – момент силы относительно оси вращения z, – элементарное угловое перемещение тела.

Работа силы на конечном угле поворота , где и – конечное и начальное значения угла j, определяющего положение тела, вычисляется по формуле

, (5.16)

где - момент силы относительно оси вращения z.

В случае постоянного момента

. (5.17)

4) Работа внутренних сил твердого тела. Сумма работ всех внутренних сил абсолютно твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

 

5.2. Указания к выполнению контрольной задачи Д2

 

Теоремой об изменении кинетической энергии системы целесообразно воспользоваться в том случае, когда по условиям задачи необходимо определить скорости точек механической системы в заданные моменты времени, при условии, что можно вычислить, зная перемещения системы за заданный промежуток времени, работу всех приложенных к системе сил.

Условия задачи Д2 соответствуют этому случаю и ее следует решать с помощью теоремы об изменении кинетической энергии механической системы в следующей последовательности:

1) изобразить механическую систему в начальном и при необходи-мости в конечном положениях;

2) приложить к механической системе все внешние силы;

3) записать теорему об изменении кинетической энергии системы;

4) вычислить кинетическую энергию системы в начальном и конечном ее положениях;

5) вычислить сумму работ всех внешних сил на перемещении системы из начального положения в конечное; если сумма работ при положительном изменении кинетической энергии получится отрицательной, то необходимо ее пересчитать, изменив направление движения механизма на противоположное;

6) подставить результаты пп. 4 и 5 в п. 3;

7) используя уравнение, полученное в п. 6, определить искомую величину.

Пример 5.1.

Механическая система (рис. 5.9) состоит из груза 1, ступенчатых шкивов 2 и 3 с радиусами R2, r2, R3, r3 и цилиндрического катка 4, соединенных друг с другом нерастяжимыми нитями, намотанными на шкивы. Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы тяжести груза 1 и переменной силы F = f(s), приложенной к грузу 1 и зависящей от его перемещения s. На шкивы 2 и 3 при движении действуют постоянные моменты сил сопротивления M2 и M3. Учитывая трение скольжения тела 1 о плоскость с соответствующим коэффициентом трения f, моменты сил сопротивления шкивов и пренебрегая другими силами сопротивления, массами нитей, их проскальзыванием по шкивам, определить скорость груза V1, когда он переместится на расстояние s = s1. Массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу. Каток считать однородным круглым цилиндром.

 

Дано: m1 = 10 кг, m2 = 12 кг, m3 = 10 кг, m4 = 5 кг, R2 = 0,3 м, r2 = 0,1 м, R3 = 0,4 м, r3 = 0,2 м, f = 0,1, M2 = 0,5 Н× м, M3 = 0,3 Н× м, F = 10 (1 + 3s) Н, s1 = 1,5 м, a = 45°, b = 60°.

Решение. На рис. 5.9 механическая система показана в начальном положении. На систему действуют внешние силы: силы тяжести , , , , переменная сила , моменты сил сопротивления M2 и M3, реакции , , , и силы трения , . Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы (5.7):

T - = + ,

где и T - кинетические энергии системы в начальном и конечном положениях. Так как в начальный момент система находилась в покое, то = 0. Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, = 0.

Следовательно, имеем

T = + + + + + + + +

+ + + . (5.18)

Величина кинетической энергии Т равна сумме кинетических энергий всех тел системы:

Т = Т1 + Т2 + Т3 + Т4. (5.19)

 

Рис. 5.9

 

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, определя-ется по формуле (5.8):

 

Т1 = . (5.20)

Кинетическая энергия шкива 2, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по формуле (5.9):

Т2 = ,

где угловую скорость шкива необходимо выразить через искомую скорость V1: = . Учитывая, что момент инерции шкива с распределенной по ободу массой относительно оси вращения определяется по формуле для тонкого однородного кольца (п. 2 примеров вычисления моментов инерции однородных тел) , имеем

. (5.21)

Кинетическая энергия шкива 3 также определяется по формуле (5.9):

Т3 = ,

где =, .

Следовательно,

Т3 = . (5.22)

Кинетическую энергию катка 4, совершающего плоскопараллельное движение, определим по формуле Кенига (5.10):

,

где момент инерции катка 4 относительно оси, проходящей через его центр масс, вычисляется по формуле для однородного цилиндра (п. 5 примеров вычисления моментов инерции однородных тел) . В формуле радиус катка обозначен R4. Скорость центра масс катка Vc = ×. Учитывая, что каток катится без проскальзывания, имея мгновенный центр скорости в точке K, выразим угловую скорость катка через скорость груза V1:

.

Тогда

.(5.23)

Подставляя выражения (5.20), (5.21), (5.22), (5.23) в равенство (5.19), получим выражение кинетической энергии системы в конечном положении, когда груз 1 переместится на расстояние s1, имея в этот момент скорость V1:

. (5.24)

Подставляя в (5.24) числовые значения, имеем

Т = 11,66 . (5.25)

Найдем сумму работ всех внешних сил системы на ее перемещении, выражая перемещения системы через перемещение s1 груза 1. При этом зависимости между перемещениями в задаче будут такими же, как между соответствующими скоростями: , , .

Работу сил тяжести и определим по формуле (5.13):

,

. (5.26)

= 0, = 0, так как силы тяжести и приложены к неподвижным точкам. По этой же причине = 0, = 0; = 0, так как сила перпендикулярна перемещению; = 0, = 0, так как силы и приложены в мгновенном центре скоростей K катка (Vк = 0).

Работу переменной силы вычислим по формуле

. (5.27)

Работу постоянных моментов M2 и M3 вычислим по формуле (5.17):

, (5.28)

. (5.29)

Работу силы трения определим по формуле (5.14), учитывая, что :

. (5.30)

Складывая выражения работ всех внешних сил (5.26)–(5.30) и подставляя числовые значения всех величин, получим

. (5.31)

Подставляя выражения (5.25) и (5.31) в равенство (5.18), имеем 11,66= 63,38+15. Откуда определяем скорость груза при = 1,5 м V1 = 3,32 м/с.

Пример 5.2. Рассмотрим предыдущий пример, изменив соединение тел механической системы, связанных друг с другом нитями, как показано на рис. 5.10. Определим скорость центра масс катка при заданных в примере 5.1 параметрах системы.

Решение. На механическую систему действуют те же силы, что и в примере 5.1 (рис. 5.10) и, следовательно, теорема об изменении кинетической энергии представляется формулой (5.18).

 

 
 

 


Рис. 5.10

 

 

Вычислим кинетическую энергию механической системы, выражая кинематические характеристики тел посредством уравнений кинематических связей через искомую скорость центра масс катка . В формуле (5.19) вычислим сначала кинетическую энергию катка 4, совершающего плоскопараллельное движение, по формуле (5.10)

, (5.32)

где момент инерции однородного катка радиуса относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно сечению катка и направленной на читателя, равен

. (5.33)

Так как каток имеет мгновенный центр скоростей в точке касания неподвижной поверхности K, угловую скорость катка выделим через скорость его центра масс по формуле (3.5):

. (5.34)

Подставляя (5.33) и (5.34) в формулу (5.32), получим:

. (5.35)

Кинетическая энергия шкива 3, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по формуле (5.9):

, (5.36)

где момент инерции шкива 3 с распределенной по ободу массой относительно оси вращения равен

. (5.37)

В формуле (5.36) угловая скорость шкива выражается через скорость касания шкива с нитью, равную скорости нити и скорости на ободе катка, по формуле (3.3.): , где .

Следовательно,

. (5.38)

 

Подставляя (5.37) и (5.38) в формулу (5.36), получим

. (5.39)

Аналогично определяется и кинетическая энергия шкива 2:

,

где ,

. (5.40)

Следовательно,

. (5.41)

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, определится по формуле

, (5.42)

где скорость груза связана с угловой скоростью шкива по формуле (3.3):

. (5.43)

Следовательно, учитывая формулу (5.40)

. (5.44)

Тогда формула (5.42) примет вид:

. (5.45)

Складывая формулы (5.35), (5.39), (5.41) и (5.45), получим кинетическую энергию механической системы:

,

или после подстановки числовых значений

Т = 188,64. (5.46)

Вычислим сумму работ всех внешних сил системы на ее перемещении, выражая перемещения точек приложения сил через перемещение груза 1.

Преобразуем кинематические уравнения связи (5.44), (5.40), (5.38), подставляя численные значения:

0,75; 10, = 7,5. (5.47)

Зависимости между перемещениями после интегрирования кинематических уравнений связи (5.47) будут такими же, как между скоростями:

= 0,75, 10, 7,5, (5.48)

где – перемещение центра масс катка 4 при перемещении груза 1 на расстояние ; – угол поворота шкива 2, – угол поворота шкива 3 при перемещении груза 1 на расстояние .

Работа переменной силы останется такой же как в примере (5.1):

Дж. (5.49)

Работа силы тяжести также не изменится:

Дж. (5.50)

Работу силы тяжести определим по формуле (5.26), вычисляя значение по формуле (5.48):

Дж. (5.51)

Работу постоянных моментов и определим по формуле (5.17), вычисляя значения и по формулам (5.48):

Дж. (5.52)

Дж. (5.53)

Значение работы силы трения вычислим по формуле (5.30):

Дж. (5.54)

Складывая работу всех внешних сил (5.49)-(5.53), получим

Ае = 48,75 + 103,9447 – 47,7396 – 7,5 – 3,375 – 10,3945 = 83,6856 Дж. (5.55)

Подставляя выражение (5.46) и значение (5.55) в теорему (5.18), получим

188,64= 83,6856.

Откуда скорость центра масс катка 4 при = 1,5 м равна 0,6661 м/с.

Скорость груза 1, которая вычисляется в данном примере по формуле (5.47), уменьшится по сравнению со значением в примере 5.1:

0,888 м/с.

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Теоретическая механика. Ч. 1. Программа, методические указания и контрольные задания. Для студентов-заочников всех специальностей. Л.Ш.… 2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебн. для вузов.- 11-е изд.… 3. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т. 1. Статика, кинематика. - 3-е изд. испр. - М:…

Хакимуллина Лариса Шарифовна,

Степанова Екатерина Михайловна,

Маркин Юрий Сергеевич

  ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ЧАСТЬ 1  

– Конец работы –

Используемые теги: Теоретическая, Механика, часть0.058

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теоретическая механика. Часть 1

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА- краткий курс КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования... МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ...

Часть 2 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ... Кафедра технической механики и гидравлики...

Теоретическая механика. Часть 1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ... ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение...

КОНСПЕКТ лекций по дисциплине ТМ 2206 Теоретическая механика: Введение в механику. Основные понятия и аксиомы статики
КОНСПЕКТ лекций по дисциплине... ТМ Теоретическая механика... Астана...

Истоки и теоретические основы паблик рилейшнз. Истоки и теоретические основы паблик рилейшнз (ПР)
Смоленский государственный университет... Н Н Розанова ПАБЛИК РИЛЕЙШНЗ Пособие к семинарским занятиям...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
И НАУКИ УКРАИНЫ... НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ... ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ...

Теоретическая Механика
Воронежский государственный технический университет...

Теоретическая политология (часть 1)
Их взаимозависимость, взаимообусловленность и влияние на легитимность власти. 18. Политические партии, партийные системы, их происхождение. 19.… Модели перехода к демократии. Пять возможных исходов переходного периода.

Теоретическая часть курсов вождения
При движении автомобиля коленчатый вал двигателя развивает до 5800 обмин, а ведущие колеса при этом вращаются со скоростью не более 1300… Выполнение всех этих действий становится возможным благодаря тому, что… Сцепление позволяет на непродолжительное время отсоединить силовую передачу от двигателя и обеспечивать плавное…

Раздел Теоретическая механика
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА... Раздел Теоретическая механика... Тверь г...

0.062
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам