Р 1 , Р 2 ….Рn.

Функция распределеия величины Y, соответствует значению Х = х, характери­зуется математическим ожиданием , дисперсией .

Распределение величины Y, соответствующие выбранным значениям вели­чины Х, называется условиями распределениями, а дисперсии - условными дис­персиями. Геометрическое место точек, соответствующих центрам условных распределений , называется линией регрессии, а уравнение этой линии – уравне­нием регрессии.

Система из двух случайных величин всегда будут соответствовать две линии регрессии:

- регрессия y по x

- регрессия x по y

Если линии регрессии прямые, то регрессия двух величин называется линей­ной.

В прямоугольной системе координат линии регрессии могут быть заданы ана­литически. Имеем следующую пару уравнений.

- регрессия y по x

- регрессия x по y

Уравнения нелинейной регрессии зависят от вида кривой.

Например, для параболической регрессии

Регрессия может быть однозначно описана, если известен вид уравнения и значения коэффициент а, в, с и т.д.

В системе двух уравнений линейной регрессии коэффициент а1 и а2 опреде­ляют положения начальных точек линии регрессии.

; ;

; ;

 

При а₁ и а₂ = 0, линии проходят через начало координат. Степень зависимо­сти случайных величин определяется коэффициент в₁ и в₂ , которые называются ко­эффициент линейной регрессии.

Они представляют собой tgуглов наклона прямых регрессии к осям абсцисс и ординат. Координаты точки пересечения равны математическим ожиданиям вели­чин хи у. Угол между ними изменяется от 0 до 90 чем меньше этот угол тем силь­нее связь между величинами..

Основными числовыми характеристиками двумерного распределения случай­ных величин являются показатели их связи:

1.Ковариация или корреляционный момент (момент связи)

2. Коэффициент корреляции

3. Корреляционное отношение

 

1. Ковариация или корреляционный момент – представляют собой математи­ческое ожидание произведения отклонений двух случайных величин от их матема­тического ожидания.

 

2. Коэф. корреляции представляет собой ковариацию, нормализованную по стандартам :

 

Приведем изменения = -1 до + 1.

Значения +_ 1 соответствуют функциональной связи, р=0, отсутствие связи, знак ( +) – прямая связь, (-) – обратная связь.

Если оба уравнения регрессии – линейное

, то коэф. корреляции

3. Корреляционным отношением называется отношение дисперсии ( стан­дартов) центров условных распределений к общей дисперсии (стандарту) величины.

Таких отношений в двумерном распределении два: ;

В случае линейности обоих уравнений они совпадают, т.е.

Величины корреляционных отношений меняются от 0 до 1: = 0- свидетельствует о независимости величин.

Выявление корреляционной связи между различными свойствами геологиче­ских объектов способствуют решению многих геологических задач.

Например, наличие корреляционных связей между петрогенными и редкими элементами способствует оценке роли процессов дифференциации магмы и ассиме­ляции ею вмещающих пород; между концентрацией рудных элементов в породах и рудах – выяснению источников рудного вещества; между физическими свойствами и минеральным составом пород – демифрированию геофизических аномалий при геологическом картировании и т.д.

При отсутствии корреляционной связи коэф. корреляции, условные коэф. ли­нейной регрессии и корреляционные отношения равны нулю.

Поэтому проверка гипотезы о наличии корреляционной связи заключается в расчете выборочных оценок этих характеристик и оценке значимости их отличия от «0».

Выборочная оценка коэф. корреляции вычитается по формуле:

 

;

 

При расчете вручную удобнее пользоваться формулой:

 

Когда математическое ожидание выборочного коэф. корреляции = 0, величина

,

имеет распределение Стьюдента с n – 2 степенями свободы если t расч. > t табл. то гипотеза об отсутствии корреляционной связи отвергается, т.е. связь суще­ственная

Приблиз. Оценка коэф. корреляции – графическим путем строим точки по значению х и у в системе координат х и у

 

 

Следует помнить, что при проверке гипотез корреляционной связи случайных величин по коэф. корреляции необходимо учитывать функцию их эммирических распределений.

(пример стр. 53

 

Если не удается) проверить гипотезу о соответствии эмпирического распреде­ления определенному закону, то для проверки гипотезы о наличии корреляционной связи используют ранговый коэффициент корреляции Спирмена.

Его расчет основан на замене выборочных значений случайных величин их рангами.

При этом предполагается, что если между значениями случайных величин нет корреляции, то и ранги их будут независимыми.

Ранговый коэф. корреляции вычисляется по формуле :

 

,

di - разность рангов,

n – количество пар

Для проверки значимости рангового коэффициент корреляции можно исполь­зовать величину:

 

- значение обратной функции нормального распределения при довери­тельной вероятности . (Шарапов прил. 29)

Если то гипотеза о независимости исследуемой величины отверга­ется.

 

Пример (К - стр. 54)

 

Результаты вычисления рангового коэффициента корреляции заносятся в след.

Таблицу:

№№ пп	mr	рк	di	di
Знач.	ранг	Знач.	ранг