Законы статических распределений.

Поскольку совокупности, обладающие одинаковыми свойствами, имеют и равные функции распределения, последние могут использоваться как объективный критерий при оценке однородности или разнородности различных совокупностей.

При решении большинства статистических задач в геологии и разведке ши­роко используются норм., Lоg нормальной и биноминальный законы распределения.

Н.З. и Lоg н.з. подчиняются распределению большинства изучаемых непре­рывных случайных величин, а биноминальному - дискретные случайные величины.

Нормальным законом распределения называется закон, для которого инте­гральная функция распределения имеет следующий вид:

; ; стандарта

Функция плотности нормального распределения имеет следующий вид :

;

Кривая плотности нормального распределения симметрична относительно ма­тематического ожидания Мо, Ме, и Мх (математическое ожидание) – для Н.З. рас­пределения совпадают.

Нормальное распределение возникает, когда случайная величина может рас­сматриваться как сумма очень большого числа независимых случайных величин, влияние каждой из которых является равномерным и малым.

Нормальному закону следуют распределения случайных ошибок измерений химических и спектральных анализов, измерений объемного веса, плотности, по­ристости, влажности, распределение наблюденных мощностей геологических тел и реже содержаний минералов и элементов.

Логариф. нормальным называется закон распределения, при котором нор­мально распределены логарифмы значений случайных величин.

Логариф.нормальное распределение является положительным (+) ассимет­ричным и имеет положительный (+) эксцесс.

Математическое ожидание случайных величин, Мо, Ме Log нор. Распреде­ления не совпадают, причем Мо < Ме < Мх

Кривая плотности Log норм. распределения имеет вид нормальной кривой, если по оси абсцисс откладываются значения логарифмов величин. Для логариф­мов величин

Мо_lnx = Me_lnx = Mx_lnx

 

Функция распределения для логарифмов случайной велтчины имеет вид :

 

;

Функция плотности Log норм. распределения :

;

Проявление логнормальности связана с отчетливым эффектом пропорцио­нальности. Колмогоровым было показано, что Log норм. распределяется частиц при дроблении, содержание редких элементов и минералов в горных породах, со­держание цветных, редких и благородных металлов рудах, абсолютным отметкам рельефа и т.д.

 

Биноминальное распределениеиспользуется в статистике для описания та­ких явлений или объектов, при изучении которых в результате каждого испытания может произойти либо событие А, либо событие В.

При проведении n независимых испытаний, число появлений события А будет случайной величиной x, х/n - будет соответствовать Р – вероятности события А, ве­роятность события Вбудет – q = 1 – Р

Биноминальный закон распределения описывает совокупность вероятностей случайных величин x при х = 0, 1, 2… и фиксированных количествах испытаний n

Величины n и p – называются параметрами биноминального распределения.

Вероятность события х выражается формулой:

 

Pn(x)=C^x _nP^x *q^n-x= C^x _nP^x(1-P)^n-x,

 

Где C^x _n-число сочетаний из n по x,т.е.

C^x _n=

 

Основные числовые характеристики биноминального распределения :

 

Мх(мат. ожидаемая ) = nP

Дисперсия: ;

 

С увеличением n биноминальное распределение стремится к нормальному распределению

Биноминальный закон распределения используется для определения % со­держания зерен определенных минералов в шлихах, для оценки коэф. рудоносности залежей, показывающего, какая часть объема залежей сложена кондиционными ру­дами.