Случайные величины бывают прерывистыми (дискретными) и непре­рывными

Примером дискретных случайных величин – количество зерен определен­ного минерала при изучении шлифов под микроскопом; количество скважин, коли­чество отобранных проб и т.д.

Примером непрерывной случайной величины - содержание Pb в рудах по­лиметаллических месторождений, или любого другого металла в руде.

Число появлений события в серии испытаний называется его частотой, а от­ношение числа появлений события к общему числу опытов в серии – его частно­стью.

Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями слу­чайной величины и соответствующими им вероятностями, называются законом или функцией.

Функция распределения представляет собой наиболее полную характери­стику случайной величины, т.к. устанавливает связь между возможными значе­ниями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Интегральная функция распределения F(х) выражает вероятность того, что выборочное значение случайных величин меньше некоторого предела, ограничен­ного x, где x – заданная переменная, т.е. вероятность события - x.

Дифференциальна функция распределения (функция плотности распределе­ния) f (х) характеризует вероятность попадания выборочного значения случайной величины в заданный интервал от x до x + x

Интегральная и дифференциальная функции распределения связаны отноше­нием:

F(х) = , причем = 1

Функции F(х) и f(х) можно изобразить графически.

F(х)

 

 

 

x

Интегральная кривая – кривая накопления.

f(х)

 

x

 

Дифференциальная кривая – кривая плотности вероятности.

 

 

Наиболее существенные особенности распределения могут быть выражены с помощью числовых характеристик положения и рассеивания.

К важнейшим характеристикам положения относятся:

математическое ожидание (среднее значение ), мода и медиана.

1. Математическое ожидание (Мх) - среднее значение случайной величины.

МХ() = Рi xi , если Х() дискретна

МХ() =хf(х) dх, если Х() = непрерывна

=

2. Мода (Мo) – наиболее часто встечаемое содержание в пробах исследуемой выборки.

3. Медиана (Ме) – средняя точка распределения, т.е. такое значение, для ко­торого вероятности (Р) встречи больших и меньших значений в выборе равны

Р (Ме) = P (> Ме).

f(х)

Мо, Ме, Мх Lод норм. распред.

 

x

Мо Мx Ме

Главной характеристиой рассеяния случайных величин служит централь­ный момент второго порядка – т. е. дисперсия.

Дисперсия - мера рассеяния или отклонения значений случайной величины от ее среднего.

1) для дискретных случ. величин

2) для непрерывных случ. величин

Производными характеристиками от дисперсии является стандарт (среднее квадратичное отклонение) и коэффициент вариации:

Стандартслучайной величины – корень квадратный из дисперсии.

Коэффициент вариации - стандартное отклонение выраженное в единицах среднего.

Для характеристики степени асссиметрии распределения случайной вели­чины относительно ее математического ожидания используется центральный мо­мент третьего порядка:

, для дискретных случ. величин

 

; для непрерывных случ. величин

;

 

Для симметричного распределения значение третьего центрального момента = 0.

Если распределение ассиметрично, то его значение отличается от нуля в по­ложительную сторону или отрицательную сторону тем сильнее, чем больше выра­жена асимметрия.

Коэффициентом асимметрии называют безразмерную величину:

;

 

Если А > 0 - положительная асммметрия

Если А < 0 отрицательная асимметрия

 

f(х)

- +

 

 

x

 

Для кривой нормального распределения А = 0 т.к.

Для характеристики большего или меньшего подъема или понижения графика кривой распределения, по сравнению с нормальной кривой, используется показатель - эксцесса (Е).

Для определения Е используется центральный момент четвертого порядка :

;

 

Для нормального распределения величины

 

Эксцесса (Е) вычисляется по формуле:

f(х) +

 

-

x

 

 

Кривые, более островершин, по сравнению с нормальными имеют положение (+), а более пологие – отрицательные (-) Е.