ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИ,
ИСПОЛЬЗУЮЩЕЕ СЛУЧАЙНЫЕ ИМПУЛЬСЫ
Мы видим, что линейная модель может быть представлена как выход линейного фильтра.
(9)
входом которого является белый шум.
Иногда полезно представить модель АРПСС в форме (8). Покажем, что веса процесса АРПСС можно получить прямо из представления модели в виде разностного уравнения.
Если применить к обеим сторонам (9) обобщенный оператор авторегрессии f(B), получим: . Однако, т.к. , отсюда следует, что
(10)
Следовательно, веса можно получить, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях В в уравнении
(11)
Заметим, что для j, больших, чем p+d-1 и q, т.е. для таких, что
j>p+d-1, если p+d-1q,
j>q, если p+d-1<q,
веса удовлетворяют разностному уравнению, определенному обобщенным оператором авторегрессии, т.е. (12)
где В действует на индекс j. Тогда для достаточно больших j веса представлены совокупностью полиномов, затухающих экспонент и затухающих синусоид от аргумента j.
Пример,
Рассмотрим АРПСС (1,1,1), для которого
Подстановка в (11) приводит к:
отсюда:
Отсюда мы можем представить модель () эквивалентным выражением:
(13)
Т.к. , веса при больших j приближаются к , так что импульсы , которые внесли свой вклад в отдаленном прошлом, получают постоянный вес .
ИНДЕНТИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
Конкретная цель состоит в том, чтобы , во-первых, получить некоторое указание на то, какие значения p, d и q нужны в общей линейной модели АРПСС, и, во-вторых, выбрать некоторые начальные значения параметров. Полученная таким способом пробная модель является отправной точкой для применения более формальных и эффективных (способов) методов оценивания.
Наша задача – идентифицировать подходящий подкласс моделей их общего семейства моделей АРПСС которые может быть использован для описания данного временного ряда (иногда целесообразно рассматривать слегка обобщенную форму модели АРПСС, полученную добавлением постоянного члена ).
Наш подход состоит в следующем:
a) Мы будем брать конечную разность от столько раз, сколько необходимо, чтобы обеспечить стационарность, в надежде свести изучаемый процесс к смешанному процессу авторегрессии – скользящего среднего , где .
b) Идентифицировать результирующий процесс АРПСС.
Наш основной инструмент для реализации a) и b) автокорреляционная и частная автокорреляционная функции.
ИДЕНТИФИКАЦИЯ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО
НАЧАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ
ОЦЕНИВАНИЕ МОДЕЛИ
После того, как процесс идентификации привел к пробному варианту модели, нам необходимо получить эффективные оценки параметров. После этого подогнанная модель будет подвергнута диагностической проверке и тестам на качество подгонки.
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
(и гармонический)
(Выявление скрытых периодичностей
с помощью гармонического и спектрального анализа)
(Т.Андерсен “Стохастический анализ временных рядов”)
СВЯЗЬ ВЫБОРОЧНОГО СПЕКТРА С