Модель поведінки виробників

Максимізація прибутку – основний критерій, на який орієнтується виробник. Але це не єдиний критерій. Максимізація поточного прибутку повинна співвідноситися зі стратегічним прогнозом розвитку фірми тощо.

Нехай виробнича фірма випускає один продукт ( чи багато продуктів, але з постійною структурою ). Річний випуск у натурально – речовій формі Х – це кількість одиниць продукту одного виду ( чи кількість багато номенклатурних агрегатів ).

Використані ресурси: L –жива праця ( у вигляді середньої чисельності зайнятих за рік чи відпрацьованих за рік людино-годин); K- засоби праці (основні виробничі фонди); M- предмети праці ( витрачене за рік паливо, енергія, сировина, матеріали, комплектувальні вироби тощо).

Кожен з агрегованих видів ресурсів (праця, фонди, матеріали) має певну кількість різновидів.

Позначимо вектор-стовпчик можливих обсягів витрат різних видів ресурсів через х=(х₁,х₂,...х_п)'. Тоді технологія фірми визначатиметься її виробничою функцією, яка виражає зв’язок між витратами ресурсів і випуском:

Х=F(x) (2.44)

Припускається гіпотеза, що F(x) двічі неперервно диференційована і неокласична, до того ж матриця її других похідних є від’ємно визначеною.

Якщо w=(w₁,…w_j,…w_n) – вектор-рядок цін ресурсів, а р – ціна продукції, то кожному вектору витрат х відповідає прибуток:

П(х)=р F(x)- wх (2.45)

В останній рівності R=px=pF(x) – вартість річного випуску фірми або її річний дохід, С= wх – витрати виробництва чи вартість витрат ресурсів за рік.

Якщо не вводити інших обмежень, окрім невід’ємних витрат ресурсів, то задача на максимум прибутку набере вигляду:

(2.46)

Ця задача нелінійного програмування з n умовами невід’ємності, тобто , необхідними умовами її розв’язання є умови Куна-Таккера:

(2.47)

якщо в оптимальному розв’язку використовуються всі види ресурсів, тобто , то останні умови матимуть вигляд:

(2.48)

або j=1,

Тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його ціні.

Такий самий ( за формою ) розв’язок має задача на максимум випуску за заданого обсягу витрат: max F(x), wx»C, x»0. (2.49)

Ця задача нелінійного програмування з одним лінійним обмеженням і умовою невід'ємності змінних.

Побудуймо функцію Лагранжа: L(x,λ)=F(x)+λ(C-wx),

Тепер максимізуємо її за умови невід’ємності змінних.

Для цього необхідно, щоб виконувалась умови Куна-Теккера:

(2.50)

Як бачимо, останні умови цілком збігаються з (4), якщо покласти

Розв’язуючи задачу моделі фірми (2.46) на максимум прибутку, знаходимо єдиний оптимальний набір ресурсів (розглядається випадок, коли всі ресурси входять до набору). Цьому набору відповідає єдине значення витрат: . (2.51)

Розв’язуємо задачу моделі фірми (2.49) на максимум прибутку за заданих витрат Якщо F(x) – неокласична, то в оптимальному розв’язку причому цей розв’язок єдиний.

Таким чином, з одного боку, а з іншого –

Оскільки тому

Через те що розв’язок задачі (3) єдиний, то

Отже, якщо задача на максимальний прибуток має єдиний розв’язок то їй відповідає задача на максимальний випуск за заданих витрат причому остання має такий самий розв’язок, як і перша:

Геометричне місце точок дотику ізокост та ізоквант за різних значень витрат С визначає довготерміновий шлях розвитку фірми Х(С), тобто показує, як зростатиме ( спадатиме ) випуск, якщо витрати зростуть ( зменшаться ). Оскільки ця залежність монотонна, то існує обернена монотонна функція витрат С=С(Х).

Оскільки Х(С) – максимальний випуск за заданих витрат С, то витрати С(Х), які відповідають цьому максимальному випуску Х, - мінімальні, а оптимальний обсяг випуску знову ж визначається за умови максимального прибутку:

(2.50)

Прирівнюючи до нуля похідну бачимо, що в оптимальній точці граничні витрати дорівнюють ціні випуску:

Окрім того, максимум прибутку досягається за , (бо ).

Розглянемо n співвідношень (2.48): j=1,…n. Ці співвідношення можуть бути розв’язані відносно х в околі оптимальної точки х^*, якщо якобіан ׀J׀≠0, де