Математические модели и характеристики САУ и ее элементов

 

В практике проектирования САУ пользуются их физическими, аналоговыми или математическими моделями.

Всякая модель реального объекта управления должна отображать часть его свойств, интересующих исследователя.

В тех случаях, когда свойства объекта не удается описать математически или найти его аналог, прибегают к физическому моделированию. Этот метод моделирования наиболее длительный и дорогостоящий, но наиболее достоверный.

Аналоговые модели реальных объектов обычно исследуют на аналоговых вычислительных машинах. Эти машины универсальны, просты в обращении и недороги, но точность моделирования ограничена.

Математические модели требуют минимума материальных затрат при их исследовании и точность моделирования ограничена лишь принятыми при ее составлении допущениями.

В теории автоматического управления пользуются математическими моделями объекта управления в виде дифференциальных и алгебраических уравнений.

Модели должны давать возможность определить реакцию объекта или системы на стандартные воздействия. В качестве стандартных воздействий чаще всего применяются:

1) ступенчатое воздействие [ U(t) = 1(t) ];

2) импульсное воздействие [U(t) = d(t)];

3) гармоническое воздействие [U(t)=А×sin(wt)].

названные воздействия позволяют определить следующие количественные характеристики объекта или системы:

1. временные:

а) переходная функция;

б) импульсная (весовая) переходная функция,

2. частотные:

а) амплитудно-частотная характеристика ( АЧХ );

б) фазо-частотная характеристика ( ФЧХ );

в) амплитудно-фазо-частотная характеристика ( АФЧХ );

г) логарифмическая амплитудно-частотная характеристика ( ЛАЧХ ).

Временные характеристики могут быть получены путем решения дифференциальных уравнений математической модели.

где H(t) - переходная функция.

 

где W(t) - импульсная переходная функция.

 

Частотные характеристики могут быть выведены из передаточной функции после замены оператора р на jw.

W(p) - W(jw) = U(w) + j×V(w) - АФЧХ (частотная передаточная функ­ция), где U(w) - вещественная часть АФЧХ; V(w) - мнимая часть АФЧХ.

 

- АЧХ.

- ФЧХ.

L(w) = 20×lg[ A(w) ] - ЛАЧХ.

 

Перечисленные модели и характеристики могут быть определены следующим образом.

 

Переходной функцией называют реакцию элемента или САУ на единичное ступенчатое воздействие:

 

H(t) = F[X(t),U(t)],

где H(t) - переходная функция; X(t) - выходная переменная; U(t)=1(t) - входная переменная, представляющая собой единичную ступенчатую функцию.

 

Импульсной переходной функцией называют реакцию элемента или САУ на импульсное воздействие:

 

W(t) = F[X(t),U(t)],

где W(t) - импульсная переходная (весовая) функция; X(t) - выходная переменная; U(t)=б(t) - входная переменная, представляющая собой импульсную функцию бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности (дельта-функцию).

 

К частотным характеристикам относят амплитудно-частотную (АЧХ), фазо-частотную (ФЧХ), амплитудно-фазо-частотную (АФЧХ) и логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ).

 

Амплитудно-частотной характеристикой называют графическое или ма­тематическое отображение отношения амплитуды выходной переменной к амплитуде входной переменной в установившемся режиме при изменении частоты синусоидальных колебаний входной переменной от 0 до ¥:

 

,

где А(w) - амплитудно-частотная характеристика; А_вых(w) - зависимость амплитуды колебаний выходной переменной от частоты изменения входной переменной; А_вх(w) - зависимость амплитуды колебаний входной переменной от частоты. Обычно амплитуда колебаний входной переменной принимается постоянной, независящей от частоты.

 

Фазо-частотная характеристика представляет собой графическое или математическое отображение зависимости разности фаз колебаний входной и выходной переменных в установившемся режиме при изменении частоты синусоидальных колебаний входной переменной от 0 до ¥:

 

F(w) = F_вых(w)-F_вх(w),

где F(w) - фазо-частотная характеристика; F_вых(w) - фаза колебаний выходной переменной; F_вх(w) = 0 - фаза колебаний входной переменной. Фаза колебаний входной переменной принимается равной нулю независимо от частоты ее колебаний.

 

Амплитудно-фазо-частотная характеристика (функция) представляет собой математическое или графическое отображение траектории конца вектора на комплексной плоскости, длина которого изменяется в соответствии с амплитудно-частотной характеристикой, а угол поворота в соответствии с фазо-частотной характеристикой. Эту траекторию называют годографом:

,

где W(jw) - амплитудно-фазо-частотная характеристика (частотная передаточная функция);

А(w) - амплитудно-частотная характеристика;

- комплексная часть АФЧХ;

F(w) - фазо-частотная характеристика;

j - мнимая единица.

 

Пример

Пусть поведение объекта или системы характеризуется дифференци­альным уравнением

или передаточной функцией

.

Тогда переходная функция определяется выражением:

H(t) = K×(1 - e^-t/T).

Импульсная переходная функция:

W(t) = [K/Т]×e^-t/T/T.

Амплитудно-фазо-частотная характеристика:

.

Амплитудно-частотная характеристика:

.

Фазо-частотная характеристика:

F(w) = arctg (-T×w).

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика:

L(w) = 20×lg K - 20× lg [(1 + T2×w²)1/2].