Реферат Курсовая Конспект
С помощью преобразования Лапласа - Лекция, раздел Менеджмент, ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ Диф. Уравнение ® Диф. Исчисление ® Оригинал Решения ...
|
Диф. уравнение ® Диф. исчисление ® Оригинал решения
¯ (Мат. аппарат)
Преобр. Лапласа Обратное преобр. Лапласа
¯
Алгебр. уравнение ® Алгебра ® Изображение решения
(Мат. аппарат)
1. Решение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях
Пусть имеется дифференциальное уравнение записанное в стандартной форме
an[dnX(t)/dtn] + an-1[dn-1X(t)/dtn-1 + ...+ a1[dX(t)/ dt + a0X(t) =
= bm[dmU(t)/dtm] + bm-1[dm-1U(t)/dtm-1] + ... + b1[dU(t)/dt] + b0U(t), (9.1)
где n > m.
После преобразования его по Лапласу оно принимает вид
anpnX(p) + an-1pn-1X(p) + ...+ a1pX(p) + a0X(p) =
= bmpmU(p) + bm-1pm-1U(p) + ... + b1pU(p) + b0U(p). (9.2)
Алгебраическое уравнение (9.2) решается в следующем порядке
(anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0)X(p) =
= (bmpm + b m-1pm-1 + ... + b1p + b0)U(p);
X(p) = [(bmpm + b m-1pm-1 + ... + b1p + b0)U(p)]/[anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0];
X(t) = L-1{[(bmpm + b m-1pm-1 + ... + b1p + b0)U(p)]/[anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0]}.
Пример 1
dX(t)/dt + 3X(t) = 2U(t); X(0) = 0; U(t) = 1(t).
После преобразования по Лапласу
pX(p) + 3X(p) = 2/p;
(p + 3)X(p) = 2/p;
X(p) = 2/[p(p + 3)] (9.3)
Для того чтобы воспользоваться таблицей обратного преобразования Лапласа, необходимо выражение (9.3) представить в следующем виде
X(p) = {2/3}×{3/[p(p + 3)]}.
Тогда в соответствии с таблицей
X(t) = (2/3)×L-1{3/[p(p + 3)]} = (2/3)×(1 – e -3t).
2.Решение дифференциального уравнения при ненулевых начальных условиях
Пусть имеется дифференциальное уравнение с ненулевыми начальными условиями, представленное в следующем виде
dnX(t)/dtn + an-1[dn-1X(t)/dtn-1] + ...+ a1[dX(t)/ dt] + a0X(t) = U(t). (9.4)
при начальных условиях:
[dn-1X(t)/dtn-1]0 – начальное значение (n-1)-ой производной функции X(t);
[dn-2X(t)/dtn-2]0 – начальное значение (n-2)-ой производной функции X(t);
[dX(t)/dt]0 – начальное значение первой производной функции X(t);
X0 – начальное значение функции X(t).
После преобразования уравнения (9.4) по Лапласу с учетом начальных условий получается уравнение вида
{pnX(p) – pn - 1×X0 – pn - 2×[dX(t)/dt]0 – … – p×[dn-2X(t)/dtn-2]0 – p0×[dn-1X(t)/dtn-1]0} +
+ an-1×{p n-1X(p) – pn - 2×X0 – pn - 3×[dX(t)/dt]0 – … – p0×[dn-2X(t)/dtn-2]0} + ... + a0X(p) =
= U(p). (9.5)
После алгебраических преобразований решение уравнения (9.5) можно представить в виде
X(p) = U(p)/[anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0] +
+ [(pn-1 + ... + a1p + a0)×X0]/[anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0] +
+ [(pn-2 + ... + a1p + a0)×(dX(t)/dt)0]/[anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0] +
+ ………………………………………………………………….. +
+ [(pn-3 + ... + a1p + a0)×(dn-1X(t)/dtn-1)0]/[anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0].
Решение уравнения (9.4) определяется из зависимости
X(t) = L-1{X(p)}.
Пример 2
Пусть имеется уравнение
dX(t)/dt + 2X(t) = U(t); X(0) = 2; U(t)=1(t). (9.6)
Чтобы воспользоваться таблицей преобразований Лапласа, необходимо уравнение (9.6) преобразовать по Лапласу и выполнить математические операции
pX(p) – p0X0 + 2X(p) = U(p);
(p + 2)X(p) = 1/p + X0;
X(p) = 1/[p(p+2)] + X0/(p+2);
X(t) = L-1{1/[p(p+2)]} + L-1{2/(p+2)}.
Воспользовавшись таблицей преобразования Лапласа, можно получить
X(t) = (1 – e-2t)/2 + 2e-2t. (9.7)
Из выражения (9.7) видно, что X(0) = 2, a X(¥) = 1/2.
Пример 3
Дифференциальное уравнение второго порядка
d2X(t)/dt2 + a1dX(t)/dt + a2X(t) = bU(t); X(0) = X0;
dX(0)/dt = [dX(0)/dt]0; U(t) = 1(t). (9.8)
После преобразования уравнения (9.8) по Лапласу получается алгебраическое уравнение вида
{p2X(p) – pX0 – [dX(0)/dt]0} + a1[ pX(p) – X0 ] + a0X(p) = bU(p);
(p2 + a1p + a0)X(p) = bU(p) + (p + a1)X0 + [dX(0)/dt]0; (9.9)
X(p) = bU(p)/(p2 + a1p + a0) +
+ [(p + a1)X0]/(p2 + a1p + a0) +
+ [dX(0)/dt]0/(p2 + a1p + a0). (9.10)
Для того чтобы воспользоваться таблицей преобразования Лапласа, необходимо найти корни характеристического уравнения
p2 + a1p + a0 = 0.
k1 = - a1/2 + (a12/4 – a0)1/2;
k2 = - a1/2 – (a12/4 – a0)1/2.
Если корни вещественны, то решение уравнения (9.9) имеет вид
X(p) = bU(p)/[(p – k1)(p – k2)] +
+ [(p + a1)X0]/[(p – k1)(p – k2)] +
+ [dX(0)/dt]0/[(p – k1)(p – k2)].
Если корни различны (k2 ¹ k1), то в соответствии таблицей Лапласа получается
X(t) = [b/(k1×k2)]×[1 – (k2×ek1t + k1×ek2t)/(k2 – k1)] +
+ [X0/(k2 – k1)]×[(a1 – k1)×ek1t + (k2 – a1)×ek2t] +
+ [dX(0)/dt]0×[k2 – a1]×[ek1t + ek2t]. (9.11)
Если корни одинаковы (k2 = k1 = k), то оригинал выражения (9.10) принимает вид
X(t) = b[1 + (kt – 1)×ekt]/k2 +
+ X0×[1 + (k + a1)]×ekt +
+ [dX(0)/dt]0×t×ekt. (9.12)
Решение (9.12) отличается от решения (9.11) возможностью возникновения колебаний решения X(t) при соответствующих соотношениях коэффициентов.
Если корни комплексно-сопряженные, то решение уравнения (9.9) отличается от приведенных в выше в данном примере тем, что решение обязательно имеет колебательный характер.
При a12/4 – a0 < 0 характеристическое уравнение
p2 + a1p + a0 = 0
имеет комплексно-сопряженные корни
k1 = - a1/2 + ( a12/4 – a0 )1/2; k2 = - a1/2 – ( a12/4 – a0 )1/2
или
k1 = k + jq ; k2 = k – jq, где k = - a1/2; q = (a12/4 – a0)1/2
Тогда решение X(p) уравнения (9.9) имеет вид
X(p) = b/{p[(p – k)2+q2]} +
+ [Xo(p + a1)]/[(p – k)2+q2] +
+ [dX(0)/dt]0/[(p – k)2+q2]. (9.13)
Оригинал решения (9.13) характеризуется выражением
X(t) = b[Aektsin(qt + f3) + K3] +
+ X0A1ektsin(qt + f1) +
+ [dX(0)/dt]0A2ektsin(qt), где
A1 = [(k+a1)2+q2]1/2/q; A2 = 1/q; A3 = 1/{[(k2+a12)1/2]q};
K3 = 1/(k2+a12); f1 = arctg [q/(k+a1)]; f3 = - arctg (q/k).
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ... Лекция...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: С помощью преобразования Лапласа
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов