рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

С помощью преобразования Лапласа

С помощью преобразования Лапласа - Лекция, раздел Менеджмент, ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ   Диф. Уравнение ® Диф. Исчисление ® Оригинал Решения ...

 

Диф. уравнение ® Диф. исчисление ® Оригинал решения

¯ (Мат. аппарат) ­

Преобр. Лапласа Обратное преобр. Лапласа

¯ ­

Алгебр. уравнение ® Алгебра ® Изображение решения

(Мат. аппарат)

 

1. Решение дифференциальных уравнений при нулевых начальных условиях

 

Пусть имеется дифференциальное уравнение записанное в стандартной форме

 

an[dnX(t)/dtn] + an-1[dn-1X(t)/dtn-1 + ...+ a1[dX(t)/ dt + a0X(t) =

 

= bm[dmU(t)/dtm] + bm-1[dm-1U(t)/dtm-1] + ... + b1[dU(t)/dt] + b0U(t), (9.1)

где n > m.

 

После преобразования его по Лапласу оно принимает вид

 

anpnX(p) + an-1pn-1X(p) + ...+ a1pX(p) + a0X(p) =

 

= bmpmU(p) + bm-1pm-1U(p) + ... + b1pU(p) + b0U(p). (9.2)

 

Алгебраическое уравнение (9.2) решается в следующем порядке

 

(anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0)X(p) =

 

= (bmpm + b m-1pm-1 + ... + b1p + b0)U(p);

 

X(p) = [(bmpm + b m-1pm-1 + ... + b1p + b0)U(p)]/[anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0];

 

X(t) = L-1{[(bmpm + b m-1pm-1 + ... + b1p + b0)U(p)]/[anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0]}.

 

Пример 1

 

dX(t)/dt + 3X(t) = 2U(t); X(0) = 0; U(t) = 1(t).

 

После преобразования по Лапласу

 

pX(p) + 3X(p) = 2/p;

 

(p + 3)X(p) = 2/p;

 

X(p) = 2/[p(p + 3)] (9.3)

 

Для того чтобы воспользоваться таблицей обратного преобразования Лапласа, необходимо выражение (9.3) предста­вить в следующем виде

 

X(p) = {2/3}×{3/[p(p + 3)]}.

 

Тогда в соответствии с таблицей

 

X(t) = (2/3)×L-1{3/[p(p + 3)]} = (2/3)×(1 – e -3t).

 

2.Решение дифференциального уравнения при ненулевых начальных условиях

 

Пусть имеется дифференциальное уравнение с ненулевыми начальными условиями, представленное в следующем виде

 

dnX(t)/dtn + an-1[dn-1X(t)/dtn-1] + ...+ a1[dX(t)/ dt] + a0X(t) = U(t). (9.4)

 

при начальных условиях:

 

[dn-1X(t)/dtn-1]0 – начальное значение (n-1)-ой производной функции X(t);

 

[dn-2X(t)/dtn-2]0 – начальное значение (n-2)-ой производной функции X(t);

 

[dX(t)/dt]0 – начальное значение первой производной функции X(t);

 

X0 – начальное значение функции X(t).

 

После преобразования уравнения (9.4) по Лапласу с учетом начальных условий получается уравнение вида

 

{pnX(p) – pn - 1×X0 – pn - 2×[dX(t)/dt]0 – … – p×[dn-2X(t)/dtn-2]0 – p0×[dn-1X(t)/dtn-1]0} +

+ an-1×{p n-1X(p) – pn - 2×X0 – pn - 3×[dX(t)/dt]0 – … – p0×[dn-2X(t)/dtn-2]0} + ... + a0X(p) =

= U(p). (9.5)

 

После алгебраических преобразований решение уравнения (9.5) можно представить в виде

X(p) = U(p)/[anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0] +

 

+ [(pn-1 + ... + a1p + a0)×X0]/[anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0] +

 

+ [(pn-2 + ... + a1p + a0)×(dX(t)/dt)0]/[anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0] +

 

+ ………………………………………………………………….. +

 

+ [(pn-3 + ... + a1p + a0)×(dn-1X(t)/dtn-1)0]/[anpn + an-1pn-1 + ...+ a1p + a0].

 

Решение уравнения (9.4) определяется из зависимости

 

X(t) = L-1{X(p)}.

 

Пример 2

 

Пусть имеется уравнение

 

dX(t)/dt + 2X(t) = U(t); X(0) = 2; U(t)=1(t). (9.6)

 

Чтобы воспользоваться таблицей преобразований Лапласа, необходимо уравнение (9.6) преобразовать по Лапласу и выполнить математические операции

 

pX(p) – p0X0 + 2X(p) = U(p);

 

(p + 2)X(p) = 1/p + X0;

 

X(p) = 1/[p(p+2)] + X0/(p+2);

 

X(t) = L-1{1/[p(p+2)]} + L-1{2/(p+2)}.

 

Воспользовавшись таблицей преобразования Лапласа, можно получить

 

X(t) = (1 – e-2t)/2 + 2e-2t. (9.7)

 

Из выражения (9.7) видно, что X(0) = 2, a X(¥) = 1/2.

 

Пример 3

 

Дифференциальное уравнение второго порядка

 

d2X(t)/dt2 + a1dX(t)/dt + a2X(t) = bU(t); X(0) = X0;

 

dX(0)/dt = [dX(0)/dt]0; U(t) = 1(t). (9.8)

 

После преобразования уравнения (9.8) по Лапласу получается алгебра­ическое уравнение вида

 

{p2X(p) – pX0 – [dX(0)/dt]0} + a1[ pX(p) – X0 ] + a0X(p) = bU(p);

 

(p2 + a1p + a0)X(p) = bU(p) + (p + a1)X0 + [dX(0)/dt]0; (9.9)

 

X(p) = bU(p)/(p2 + a1p + a0) +

 

+ [(p + a1)X0]/(p2 + a1p + a0) +

 

+ [dX(0)/dt]0/(p2 + a1p + a0). (9.10)

 

Для того чтобы воспользоваться таблицей преобразования Лапласа, необходимо найти корни характеристического уравнения

 

p2 + a1p + a0 = 0.

 

k1 = - a1/2 + (a12/4 – a0)1/2;

 

k2 = - a1/2 – (a12/4 – a0)1/2.

 

Если корни вещественны, то решение уравнения (9.9) имеет вид

X(p) = bU(p)/[(p – k1)(p – k2)] +

 

+ [(p + a1)X0]/[(p – k1)(p – k2)] +

 

+ [dX(0)/dt]0/[(p – k1)(p – k2)].

 

Если корни различны (k2 ¹ k1), то в соответствии таблицей Лапласа получается

 

X(t) = [b/(k1×k2)]×[1 – (k2×ek1t + k1×ek2t)/(k2 – k1)] +

 

+ [X0/(k2 – k1)]×[(a1 – k1)×ek1t + (k2 – a1)×ek2t] +

 

+ [dX(0)/dt]0×[k2 – a1]×[ek1t + ek2t]. (9.11)

 

Если корни одинаковы (k2 = k1 = k), то оригинал выражения (9.10) принимает вид

 

X(t) = b[1 + (kt – 1)×ekt]/k2 +

 

+ X0×[1 + (k + a1)]×ekt +

 

+ [dX(0)/dt]0×t×ekt. (9.12)

 

Решение (9.12) отличается от решения (9.11) возможностью возникнове­ния колебаний решения X(t) при соответствующих соотношениях коэффици­ентов.

Если корни комплексно-сопряженные, то решение уравнения (9.9) отли­чается от приведенных в выше в данном примере тем, что решение обяза­тельно имеет колебательный характер.

При a12/4 – a0 < 0 характеристическое уравнение

 

p2 + a1p + a0 = 0

 

имеет комплексно-сопряженные корни

 

k1 = - a1/2 + ( a12/4 – a0 )1/2; k2 = - a1/2 – ( a12/4 – a0 )1/2

 

или

 

k1 = k + jq ; k2 = k – jq, где k = - a1/2; q = (a12/4 – a0)1/2

 

Тогда решение X(p) уравнения (9.9) имеет вид

 

X(p) = b/{p[(p – k)2+q2]} +

 

+ [Xo(p + a1)]/[(p – k)2+q2] +

 

+ [dX(0)/dt]0/[(p – k)2+q2]. (9.13)

 

Оригинал решения (9.13) характеризуется выражением

 

X(t) = b[Aektsin(qt + f3) + K3] +

 

+ X0A1ektsin(qt + f1) +

 

+ [dX(0)/dt]0A2ektsin(qt), где

 

A1 = [(k+a1)2+q2]1/2/q; A2 = 1/q; A3 = 1/{[(k2+a12)1/2]q};

 

K3 = 1/(k2+a12); f1 = arctg [q/(k+a1)]; f3 = - arctg (q/k).

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ... Лекция...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: С помощью преобразования Лапласа

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
Курс лекций     Москва - 2011     СОДЕРЖАНИЕ Лекция № 1 Осно

Математические модели и характеристики САУ и ее элементов
  В практике проектирования САУ пользуются их физическими, аналоговыми или математическими моделями. Всякая модель реального объекта управления должна отображать часть его св

Постановка задач анализа и синтеза САУ
  При настройке действующих и проектирования новых САУ приходится решать задачи анализа и синтеза. Понятия анализа и синтеза трактуют следующим образом. АНАЛИЗ - процедура мы

Свойства преобразования Фурье
  Результат прямого преобразования Фурье можно представить в виде   F{f(t)} = F(jw) = F1(w) - jF2(w), ¥ ¥

Свойства непрерывного преобразования Лапласа
  В основе операционного исчисления лежит интегральное преобразование Лапласа, которое является развитием преобразования Фурье. В общем виде оно может быть представлено в вид

Z-преобразование и его применение при анализе дискретных САУ
  Преобразование Лапласа, применяемое для отображения непрерывных функций в частотном пространстве, позволяет преобразовать дифференци­альные уравнения в алгебраические, чем существен

Матричная передаточная функция
  При описании многомерных систем управления пользуются также понятием матричной передаточной функции. Матричная передаточная функция предс­тавляет собой таблицу, элементами которой я

Математическое описание случайных процессов в САУ
  Всякая реальная система управления подвержена воздействию внешних помех. Множество физических процессов, протекающих в окружающей среде, накладываются друг на друга и образуют измен

Библиографический список
  1) Юревич Е.И. Теория автоматического управления. – Л.: Энергия, 1975. - 416 с. 2) Клюев А.С. наладка средств автоматизации и автоматических систем регулирования. Справочно

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги