Реферат Курсовая Конспект
Свойства непрерывного преобразования Лапласа - Лекция, раздел Менеджмент, ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ В Основе Операционного Исчисления Лежит Интегральное Преобраз...
|
В основе операционного исчисления лежит интегральное преобразование Лапласа, которое является развитием преобразования Фурье.
В общем виде оно может быть представлено в виде выражения
¥
Fx(s) = ò e-st F(t) dt.
0
Преобразование Лапласа имеет следующие свойства:
1. Однозначность L[F(t)] = F(s), L-1[F(s)] = F(t);
2. Линейность
n n n n
S aiFi(s) = L[S aiFi(t) ], S aiFi(t) = L-1[S aiF(s) ];
i=1 i=1 i=1 i=1
3. Дифференцирование L[dF(t)/ dt] = sF(s);
4. Интегрирование
t
L[ ò F(t) dt ] = F(s)/s
0
5. Свертка оригиналов L[ F1(t)*F2(t) ] = F1(s)×F2(s);
6. Умножение оригиналов
x+jw
L[F1(t)×F2(t)] = [ò F1(s)×F2(s-s) ds]/[2pj];
x-jw
7. Смещение L[F(t-q)] = e-st F(s).
Примеры получения отображений по оригиналам
¥ ¥
1)L[1(t)] = ò 1×e-st dt = - [òe-st d(st)]/s = -(0 - 1)/s = 1/s;
0 0
¥ ¥
2)L[e-bt] = ò e-st e-bt dt = ò e-(s+b)t dt =
0 0
¥
= - [ò e-(s+b)t dt]/[s+b] = - [0 - 1]/[s+b] = 1/[s+b];
0
¥ ¥
3)L[sin(wt)] = ò e-st sin(wt) dt = [ò (e jwt - e-jwt)e-st dt]/[2j]=
0 0
¥ ¥
=[ò e(jw-s)t dt – ò e-(jw-s)t dt]/[2j]=[1/(s-jw)-1/(s+jw)]/[2j] = w/(s2+w2).
0 0
[(ejwt-e-jwt) = 2jsin(wt)]; sin(wt) = (e jwt – e -jwt)/2j.
При нулевых начальных условиях (F(t) = 0 при t £ 0) и отсутствии у функции F(jw) полюсов справа от мнимой оси комплексной плоскости преобразование Фурье совпадает с преобразованием Лапласа, если p = jw. Такое предположение справедливо для многих аналитических функций, применяемых для математического описания САУ. Большинство из них приведено в следующей таблице, где p = s.
Таблица преобразования Лапласа непрерывных функций
№ п/п | G(t) | G(p) |
d(t – kT) | e-kTp | |
d(t) | ||
1(t) | 1/p | |
t | 1/p2 | |
e-at | 1/(p+a) | |
te-at | 1/(p+a)2 | |
1 – e-at | a/[p(p+a)] | |
t – (1 – e-at)/a | a/[p2(p+a)] | |
e-at + e-bt | [(b-a)]/[(p+a)(p+b)] | |
(c-a)e-at + (b-c)e-bt | [(b-a)(p+c)]/ /[(p+a)(p+b)] | |
1 – {b/[a – b]}e-at – {a/[a – b]}e-bt | ab/[p(p+b)(p+c)] | |
c + {[b(c – a)]/[a – b]}e-at + {[a(b – c)]/[a – b]}e-bt | [ab(p+c)]/[p(p+a)(p+b)] | |
e-at/[(b – a)(c – a)] + + e-bt/[(c – b)(a – b)] + + e-ct/[(a – c)(b – c)] | 1/[(p+a)(p+b)(p+c)] | |
{[d – a]/[(b – a)(c – a)]}e-at + + {[d – b]/[ (c – b)(a – b)]}e-bt + + {[d – c]/[(a – c)(b – c)]}e-ct | [(p+d)]/ /[(p+a)(p+b)(p+c)] | |
1 – {[bc]/[(b – a)(c – a)]}e-at – – {[ca]/[(c – b)(a – b)]}e-bt – – {[ab]/[(a – c)(b – c)]}e-ct | abc/[p(p+a)(p+b)(p+c)] | |
1 – (1 + at)e-at | [a2]/[p(p+a)2] | |
e-bt – e-at + (a-b)te-at | [(a-b)2]/[(p+b)(p+a)2] | |
sin(w0t) | w0/[p2 + w02] | |
cos(w0t) | p/[p2 + w02] | |
1 – cos(w0t) | w02 /[p(p2+w02)] | |
a[1 – sec (f) cos(w0t + f)], где f = arctg [w0/a] | [w02(p+a)]/[p(p2+w02)] | |
e-atsin(w0t) | w0/[(p+a)2+w02] | |
e-atcos(w0t) | [p+a]/[(p+a)2+w02] | |
b[1 – e-at sec (f) cos(w0t + f)], где f = arctg [a2 + w02 – ab]/[bw0] | [(a2+w02)(p+b)]/ /{p[(p+a)2+w02]} | |
1 – e-at sec (f) cos(w0t + f), где f = arctg [a/w0] | [a2+w02]/ /{p[(p+a)2+w02]} | |
e-bt – e-at sec (f) cos(w0t + f), где f = arctg [(b – a)/w0] | [(a – b)2+w02]/ /{(p+b)[(p+a)2+w02]} | |
c + {[a2(a – b)]/[(a – b)2]}e-bt + + {[ab(c – a)+bc(a – b)]/[(a – b)2]}e-at + + {[ab(c –a)]/[a – b]}te-at | [a2b(p+c)]/ /[p(p+b)(p+a)2] | |
1 – {[a2]/[(a – b)2]}e-bt + + {[ab + b(a – b)]/[(a – b)2]}e-at + + {[ab]/[a – b]}te-at | [a2b]/[p(p+b)(p+a)2] | |
d – {[bc(d – a)]/[(b – a)(c – a)]}e-at – – {[ca(d – b)]/[(c – b)(a – b)]}e-bt – – {[ab(d – c)]/[(a – c)(b – c)]}e-ct | [abc(p+d)]/ /[p(p+a)(p+b)(p+c)] |
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ... Лекция...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Свойства непрерывного преобразования Лапласа
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов