Свойства непрерывного преобразования Лапласа

 

В основе операционного исчисления лежит интегральное преобразование Лапласа, которое является развитием преобразования Фурье.

В общем виде оно может быть представлено в виде выражения

_¥

Fx(s) = ò e^-st F(t) dt.

⁰

Преобразование Лапласа имеет следующие свойства:

 

1. Однозначность L[F(t)] = F(s), L^-1[F(s)] = F(t);

 

2. Линейность

_{n n n n}

S a_iFi(s) = L[S a_iFi(t) ], S a_iFi(t) = L^-1[S a_iF(s) ];

^{i=1 i=1 i=1 i=1}

3. Дифференцирование L[dF(t)/ dt] = sF(s);

 

4. Интегрирование

_t

L[ ò F(t) dt ] = F(s)/s

⁰

5. Свертка оригиналов L[ F1(t)*F2(t) ] = F1(s)×F2(s);

 

6. Умножение оригиналов

_x+jw

L[F1(t)×F2(t)] = [ò F1(s)×F2(s-s) ds]/[2pj];

^x-jw

7. Смещение L[F(t-q)] = e^-st F(s).

 

Примеры получения отображений по оригиналам

_{¥ ¥}

1)L[1(t)] = ò 1×e-st dt = - [òe-st d(st)]/s = -(0 - 1)/s = 1/s;

^{0 0}

_{¥ ¥}

2)L[e^-bt] = ò e^-st e^-bt dt = ò e^-(s+b)t dt =

^{0 0}

_¥

= - [ò e^-(s+b)t dt]/[s+b] = - [0 - 1]/[s+b] = 1/[s+b];

⁰

_{¥ ¥}

3)L[sin(wt)] = ò e^-st sin(wt) dt = [ò (e ^jwt - e^-jwt)e^-st dt]/[2j]=

^{0 0}

_{¥ ¥}

=[ò e(jw-s)t dt – ò e-(jw-s)t dt]/[2j]=[1/(s-jw)-1/(s+jw)]/[2j] = w/(s²+w²).

^{0 0}

[(ejwt-e-jwt) = 2jsin(wt)]; sin(wt) = (e ^jwt – e ^-jwt)/2j.

 

При нулевых начальных условиях (F(t) = 0 при t £ 0) и отсутствии у функции F(jw) полюсов справа от мнимой оси комплексной плоскости преобразование Фурье совпадает с преобразованием Лапласа, если p = jw. Такое предположение справедливо для многих аналитических функций, применяемых для математического описания САУ. Большинство из них приведено в следующей таблице, где p = s.

 

Таблица преобразования Лапласа непрерывных функций

№ п/п	G(t)	G(p)
	d(t – kT)	e-kTp
	d(t)
	1(t)	1/p
	t	1/p2
	e-at	1/(p+a)
	te-at	1/(p+a)2
	1 – e-at	a/[p(p+a)]
	t – (1 – e-at)/a	a/[p2(p+a)]
	e-at + e-bt	[(b-a)]/[(p+a)(p+b)]
	(c-a)e-at + (b-c)e-bt	[(b-a)(p+c)]/ /[(p+a)(p+b)]
	1 – {b/[a – b]}e-at – {a/[a – b]}e-bt	ab/[p(p+b)(p+c)]
	c + {[b(c – a)]/[a – b]}e-at + {[a(b – c)]/[a – b]}e-bt	[ab(p+c)]/[p(p+a)(p+b)]
	e-at/[(b – a)(c – a)] + + e-bt/[(c – b)(a – b)] + + e-ct/[(a – c)(b – c)]	1/[(p+a)(p+b)(p+c)]
	{[d – a]/[(b – a)(c – a)]}e-at + + {[d – b]/[ (c – b)(a – b)]}e-bt + + {[d – c]/[(a – c)(b – c)]}e-ct	[(p+d)]/ /[(p+a)(p+b)(p+c)]
	1 – {[bc]/[(b – a)(c – a)]}e-at – – {[ca]/[(c – b)(a – b)]}e-bt – – {[ab]/[(a – c)(b – c)]}e-ct	abc/[p(p+a)(p+b)(p+c)]
	1 – (1 + at)e-at	[a2]/[p(p+a)2]
	e-bt – e-at + (a-b)te-at	[(a-b)2]/[(p+b)(p+a)2]
	sin(w0t)	w0/[p2 + w02]
	cos(w0t)	p/[p2 + w02]
	1 – cos(w0t)	w02 /[p(p2+w02)]
	a[1 – sec (f) cos(w0t + f)], где f = arctg [w0/a]	[w02(p+a)]/[p(p2+w02)]
	e-atsin(w0t)	w0/[(p+a)2+w02]
	e-atcos(w0t)	[p+a]/[(p+a)2+w02]
	b[1 – e-at sec (f) cos(w0t + f)], где f = arctg [a2 + w02 – ab]/[bw0]	[(a2+w02)(p+b)]/ /{p[(p+a)2+w02]}
	1 – e-at sec (f) cos(w0t + f), где f = arctg [a/w0]	[a2+w02]/ /{p[(p+a)2+w02]}
	e-bt – e-at sec (f) cos(w0t + f), где f = arctg [(b – a)/w0]	[(a – b)2+w02]/ /{(p+b)[(p+a)2+w02]}
	c + {[a2(a – b)]/[(a – b)2]}e-bt + + {[ab(c – a)+bc(a – b)]/[(a – b)2]}e-at + + {[ab(c –a)]/[a – b]}te-at	[a2b(p+c)]/ /[p(p+b)(p+a)2]
	1 – {[a2]/[(a – b)2]}e-bt + + {[ab + b(a – b)]/[(a – b)2]}e-at + + {[ab]/[a – b]}te-at	[a2b]/[p(p+b)(p+a)2]
	d – {[bc(d – a)]/[(b – a)(c – a)]}e-at – – {[ca(d – b)]/[(c – b)(a – b)]}e-bt – – {[ab(d – c)]/[(a – c)(b – c)]}e-ct	[abc(p+d)]/ /[p(p+a)(p+b)(p+c)]