III. Предлагаемый проект

 

Я не считаю любой проект, включая выдвинутый здесь, окончательным в том смысле, что он даёт определённую интерпретацию обычного употребления ‘истинный’ или определённое решение семантических парадоксов. Наоборот, в данный момент я продумал ясное философское оправдание проекта и не уверен в точных областях и ограничениях его приложимости. Я надеюсь, что данная здесь модель имеет два достоинства: во-первых, она обосновывает область, богатую по формальной структуре и математическим свойствам; во-вторых, при благоразумном расширении эти свойства охватывают важные интуиции. Итак, модель должна быть протестирована на предмет технической продуктивности. Ей не нужно охватывать каждую интуицию, но есть надежда, что она охватит многое.

Следуя литературе, упомянутой выше, мы предполагаем исследовать языки, допускающие истинностно-значные провалы. Под влиянием Стросона[65] мы можем считать предложение как попытку выразить высказывание, высказать пропозицию или нечто подобное. Осмысленность или правильное построение предложения основаны на том факте, что существуют специфицируемые обстоятельства, при которых оно предопределяет условия истинности (выражает пропозицию), а не то, что оно всегда выражает пропозицию. Предложение типа (1) всегда осмысленно, но при различных обстоятельствах оно может и не “выразить высказывание” или “высказать пропозицию”. (Я не стремлюсь здесь быть вполне философски точным.)

Для осуществления этих идей нам нужна семантическая схема для того, чтобы обращаться с предикатами, которые могут быть определены лишь частично. Зададим непустую область D, одноместный предикат Р(х) интерпретируется парой (S₁, S₂) непересекающихся подмножеств из D. S₁ есть объём Р(х), а S₂ – его антиобъём. Р(х) должен быть истинным на объектах в S₁, ложным на объектах в S₂, неопределённым в противном случае. Обобщение для случая n-местных предикатов очевидно.

Одна из подходящих схем для обращения со связками – это сильная трёхзначная логика Клини. Предположим, что ~Р является истинным (ложным), если Р является ложным (истинным), и неопределённым, если Р не определено. Дизъюнкция является истинной, если истинен по крайней мере один дизъюнкт, вне зависимости от того, является ли другой дизъюнкт истинным, ложным или неопределённым[66]. Она является ложной, если оба дизъюнкта ложны, и неопределённой в противном случае. Другие истинностные функции могут быть определены с точки зрения дизъюнкции и отрицания обычным способом. (В частности, тогда конъюнкция будет истинной, если оба конъюнкта истинны, ложной, если по крайней мере один конъюнкт ложен, и неопределённой в противном случае.) ($х)А(х) является истинным, если А(х) истинно при некотором заданном для х элементе из D, ложным, если А(х) ложно для всех значений х, и неопределенным в противном случае. (х)А(х) может быть определено как ~($х)~А(х). Оно, следовательно, является истинным, если А(х) истинно для всех значений х, ложным, если А(х) по крайней мере для одного такого значения, и неопределённым в противном случае. Для спокойствия вышеизложенное можно было бы преобразовать в более точное формальное определение, но это не будет нас беспокоить[67].

Мы стремимся схватить интуицию примерно следующего рода. Предположим, мы объясняем слово ‘истинный’ тому, кто его ещё не понимает. Мы можем сказать, что нам дано право утверждать (или отрицать) любое предложение так, что оно является истинным точно при тех обстоятельствах, когда мы можем утверждать (или отрицать) само предложение. Тогда наш собеседник сможет понять, что значит, например, приписать истинность (6) (‘Снег бел’), но он всё ещё будет озадачен приписыванием истинности предложениям, содержащим само слово ‘истинный’. Поскольку он изначально не понимал этих предложений, то изначально было бы равносильно бессмыслице объяснять ему, что называть такие предложения “истинными” (“ложными”) было бы эквивалентно утверждению (отрицанию) самого этого предложения. Тем не менее в процессе размышления понятие истинности, даже применённое к различным предложениям, которые сами содержат слово ‘истинный’, может постепенно проясняться. Предположим, мы рассматриваем предложение

 

(7) Какое-то предложение, напечатанное в New York Daily News

7 октября 1971г., является истинным.

 

Однако наш субъект, если он хочет утверждать ‘Снег бел’, будет согласно правилам стремиться утверждать и ‘(6) является истинным’. Но предположим, что среди утверждений, напечатанных в New York Daily News 7 октября 1971г., имеется само выражение (6). Так как наш субъект хочет утверждать ‘(6) является истинным’, а также утверждать ‘(6) напечатано в New York Daily News 7 октября 1971г.’, он выведет (7) с помощью экзистенциального обобщения. Как только он захочет утверждать (7), он будет также хотеть утверждать (8). Таким образом, субъект в конечном счёте будет способен приписывать истинность всё большему и большему количеству высказываний, включающих само понятие истины. Нет причины предполагать, что все высказывания, включающие ‘истинный’, будут определены таким способом, но большинство будет. В действительности наше предположение состоит в том, что “обоснованные” предложения могут быть охарактеризованы как те, которые в конечном счёте в результате этого процесса получают истинностное значение.

Разумеется, типично необоснованное предложение типа (3) не будет получать истинностного значения в только что указанном процессе. В частности, оно никогда не будет названо “истинным”. Но субъект не может выразить этот факт, говоря “(3) не является истинным”. Такое утверждение непосредственно вступило бы в конфликт с условием собственного отрицания субъектом того, что предложение является истинным только при тех обстоятельствах, при которых он должен был бы отрицать само это предложение. Мы обдуманно навязали это условие (см. ниже).

Рассмотрим, каким образом этим идеям можно дать формальное выражение. Пусть L будет интерпретированным первопорядковым языком классического типа с конечным (или даже счётным) списком примитивных предикатов. Предполагается, что переменные пробегают некоторую непустую область D и что примитивные n-местные предикаты интерпретируются (полностью определёнными) n-местными отношениями в D. Интерпретация предикатов из L сохраняется фиксированной на всём протяжении последующего обсуждения. Предположим также, что язык L достаточно богат для того, чтобы синтаксис L (например, через арифметизацию) мог быть выражен в L и что некоторая кодировочная схема кодирует конечные последовательности элементов из D в элементы из D. Мы не пытаемся сделать эти идеи строгими; это можно было бы осуществить с помощью понятия “приемлемой” структуры Мочавакиса[68]. Подчеркну, что большая часть того, что сделано ниже, проходит и при более слабых гипотезах относительно L[69].

Предположим, что мы расширили L до языка ℒ добавлением одноместного предиката Т(х), чья интерпретация нуждается только в частичной определённости. Интерпретация Т(х) задана “частным множеством” (S₁, S₂), где, как было сказано выше, S₁ есть объём Т(х), S₂ – антиобъём Т(х), и Т(х) является неопределенным для сущностей, находящихся вне (S₁ È S₂). Пусть ℒ(S₁, S₂) есть интерпретация ℒ, получаемая интерпретацией Т(х) с помощью пары (S₁, S₂), интерпретация других предикатов из L остаётся той же, что и выше[70]. Пусть S₁¢ будет множеством истинных предложений (кодами истинных предложений)[71] ℒ(S₁, S₂) и пусть S₂¢ будет множеством элементов из D, которые либо не являются предложениями (кодами предложений) ℒ(S₁, S₂), либо являются ложными предложениями (кодами ложных предложений) ℒ(S₁, S₂). S₁¢ и S₂¢ определены единственно выбором (S₁, S₂). Ясно, что если Т(х) должно интерпретироваться как истина для каждого языка L, содержащего само Т(х), необходимо, чтобы S₁ = S₁¢ и S₂ = S₂¢. [Это означает, что если А есть любое предложение, то А выполняет (фальсифицирует) Т(х), если А является истинным (ложным) в соответствии с правилами оценки.]

Пара (S₁, S₂), удовлетворяющая этому условию, называется фиксированной точкой. При заданной выборке (S₁, S₂), интерпретирующей Т(х), множество f((S₁, S₂)) = (S₁¢, S₂¢). Тогда f является унарной функцией, определённой на всех парах (S₁, S₂) непересекающихся подмножеств из D, а “фиксированные точки” (S₁, S₂) являются буквально фиксированными точками f; т.е. они суть такие пары (S₁, S₂), для которых f((S₁, S₂)) = (S₁, S₂). Если (S₁, S₂) является фиксированной точкой, то ℒ(S₁, S₂) мы также иногда называем фиксированной точкой. Наша основная цель – доказать существование фиксированных точек и исследовать их свойства.

Сконструируем первую фиксированную точку. При этом мы рассматриваем определённую “иерархию языков”. Мы начинаем, определяя интерпретированный язык ℒ₀ как ℒ(Ù,Ù), где Ù есть пустое множество; т.е. ℒ₀ есть язык, где Т(х) является полностью неопределённым. (Он никогда не является фиксированной точкой.) Предположим, что мы определили ℒ_a = ℒ(S₁, S₂) для любого целого числа a. Тогда множество ℒ_a+1 = ℒ(S₁¢, S₂¢), где, как и выше, S₁¢ является множеством истинных предложений (кодов истинных предложений) ℒ_a, а S₂¢ есть множество всех элементов D, которые либо не являются предложениями (кодами предложений) ℒ_a, либо являются ложными предложениями (кодами ложных предложений) ℒ_a.

Только что заданная иерархия языков аналогична иерархии Тарского при ортодоксальном подходе. Т(х) интерпретируется в ℒ_a+1 как предикат истинности для ℒ_a. Но при данном подходе возникает интересный феномен, данный в деталях ниже.

Будем говорить, что (S₁^†, S₂^†) расширяет (S₁, S₂) [символически (S₁^†, S₂^†) ³ (S₁, S₂) или (S₁, S₂) £ (S₁^†, S₂^†)], если и только если S₁ Í S₁^† и S₂ Í S₂^†. Интуитивно это означает, что если Т(х) интерпретируется как (S₁^†, S₂^†), эта интерпретация согласуется с интерпретацией посредством (S₁, S₂) во всех случаях, где (S₁, S₂) определено. Единственное различие состоит в том, что интерпретация посредством (S₁^†, S₂^†) может привести к определению Т(х) для некоторых случаев, где он не был определён, когда интерпретировался посредством (S₁, S₂). Итак, основное свойство наших правил приписывания значения следующее: f является монотонной (сохраняющей порядок) операцией на £ ; т.е., если (S₁, S₂) £ (S₁^†, S₂^†), то f((S₁, S₂)) £ f((S₁^†, S₂^†)). Иными словами, если (S₁, S₂) £ (S₁^†, S₂^†), тогда любое предложение, которое является истинным (или ложным) в ℒ(S₁, S₂), сохраняет своё истинностное значение в ℒ (S₁^†, S₂^†). Это означает, что если интерпретация Т(х) расширяется приданием ему определённых истинностных значений для случаев, которые прежде были неопределенными, первоначально установленное истинностное значение не изменяется и не становится неопределённым; самое большее некоторое первоначально неопределённое истинностное значение становится определённым. Это свойство – выражаясь технически, свойство монотонности f – является решающим для всех наших построений.

Задав монотонность f, мы можем вывести, что для каждого a интерпретация Т(х) в ℒ_a+1 расширяет интерпретацию Т(х) в ℒ_a. При a=1 этот факт очевиден; так как в ℒ₀ Т(х) является неопределённым для всех х, любая интерпретация Т(х) расширяет её автоматически. Если это утверждение имеет силу для ℒ_b, т.е. если интерпретация Т(х) в ℒ_b+1 расширяет интерпретацию Т(х) в ℒ_b, тогда любое предложение, истинное или ложное в ℒ_b остаётся истинным или ложным в ℒ_b+1. Если мы посмотрим на определения, то они говорят нам, что интерпретация Т(х) в ℒ_b+2 расширяет интерпретацию Т(х) в ℒ_b+1. Таким образом, по индукции мы доказываем, что интерпретация Т(х) в ℒ_a+1 всегда расширяет интерпретацию Т(х) в ℒ_a для любого конечного a. Из этого следует, что предикат Т(х) увеличивается как по своему объёму, так и по своему антиобъёму. По мере возрастания a всё больше и больше предложений приобретают явную истинность или ложность; но как только предложение объявляется истинным или ложным, оно сохраняет своё истинностное значение на всех более высоких уровнях.

До сих пор мы определяли в нашей иерархии только конечные уровни. Пусть (S_1,a, S_2,a) будет интерпретацией Т(х) ℒ_a для конечного a. Как S_1,a, так и S_2,a увеличиваются (как множества) при возрастании a. Тогда есть ясный способ определения первого “трансфинитного” уровня – назовём его “ℒ_w”. Для простоты определим ℒ_w = ℒ(S_1,w, S_2,w), где S_1,w есть единство всех S_1,a для конечного a, а S_2,w есть подобное единство S_2,a для конечного a. Тогда, задав ℒ_w, мы можем определить ℒ_w+1, ℒ_w+2, ℒ_w+3 и т.д. так же, как делали это для конечных уровней. Достигнув вновь “предельного” уровня, мы берём единство как и ранее.

Формально мы определяем языки ℒ_a для каждого ординала a. Если a есть последующий ординал (a = b+1), пусть ℒ_a = ℒ(S_1,a, S_2,a), где S_1,a есть множество предложений (кодов предложений) ℒ_b, а S_2,a есть множество, содержащее все элементы D, которые или являются ложными предложениями (кодами ложных предложений) ℒ_b или не являются предложениями (кодами предложений) ℒ_b. Если l есть предельный ординал, то ℒ_l = ℒ(S_1,l, S_2,l), где S_1,l = ∪_b<lS_1,b, S_2,l = ∪_b<lS_2,b. Таким образом, на “последующих” уровнях – предикат истинности над предшествующим уровнем, а для предельных (трансфинитных) уровней мы берём единство всех предложений, объявленных истинными или ложными на предыдущих уровнях. То, что объём и антиобъём Т(х) увеличивается с возрастанием a, остаётся истинным даже с включением трансфинитных уровней.

Нужно заметить, что ‘увеличивается’ не значит “строго увеличивается”. Мы утверждали S_i,a Í S_i,a+1 (i = 1,2); а это допускает равенство. Продолжается ли этот процесс бесконечно и всё больше и больше предложений объявляется истинными или ложными или же он в конце концов заканчивается? Иными словами, существует ли такой ординальный уровень s, для которого S_1,s = S_1,s+1 и S_2,s = S_2,s+1, так что новые высказывания не объявляются истинными или ложными на следующем уровне? Ответ должен быть утвердительным. Предложения ℒ образуют множество. Если новые предложения ℒ были определены на каждом уровне, мы должны были бы в конце концов исчерпать ℒ на некотором уровне и были бы неспособны определить что-либо ещё. То, что существует ординальный уровень s такой, что (S_1,s, S_2,s) = (S_1,s+1, S_2,s+1), можно легко преобразовать в формальное доказательство (техника элементарна и хорошо известна логикам). Но так как (S_1,s+1, S_2,s+1) = f((S_1,s, S_2,s)), это означает, что (S_1,s, S_2,s) является фиксированной точкой. Можно также доказать, что она является “минимальной” или “наименьшей” фиксированной точкой; любая фиксированная точка расширяет (S_1,s, S_2,s), т.е. если предложение оценивается как истинное или ложное в ℒ_s, оно имеет одно и то же истинностное значение в любой фиксированной точке.

Соотнесём только что заданную конструкцию фиксированной точки с нашими предварительными интуитивными идеями. На начальной стадии (в ℒ₀) Т(х) является полностью неопределённым. Это соответствует начальной стадии, в которой субъект не владеет пониманием понятия истины. Задавая характеристику истины с помощью правил оценивания Клини, субъект может легко подняться на уровень ℒ₁, т.е. он может оценить различные предложения как истинные или ложные без какого-либо знания о Т(х) – в частности, он может оценить все те предложения, которые не содержат Т(х). Как только оценивание произведено, он сразу же расширяет Т(х) как в ℒ₁. Затем он может использовать новую интерпретацию Т(х), с тем чтобы большее число предложений оценить как истинные или ложные и расшириться до ℒ₂ и т.д. В конце концов когда процесс “насыщается”, субъект достигает фиксированной точки ℒ_s. (Будучи фиксированной точкой, ℒ_s является языком, который содержит свой собственный предикат истины.) Таким образом, формальное определение как раз и задаёт непосредственные параллели предварительно установленным интуитивным конструкциям[72].

Мы говорим о языках, содержащих свой собственный предикат истины. Однако на самом деле более интересным было бы расширение произвольно взятого языка до языка, содержащего свой собственный предикат выполнимости. Если L содержит имя для каждого объекта из D и отношение обозначения определено (это означает, что если D не перечислимо, то и L содержит неперечислимое количество констант), понятие выполнимости может (в большинстве контекстов) эффективно заменяться понятием истины; например, вместо того, чтобы говорить, что А(х) выполняется объектом а, мы можем говорить, что А(х) становится истинным, когда переменная заменяется именем а. Тогда подходит первоначальная конструкция. В противном случае, если L не содержит имени для каждого объекта, мы можем расширить L до ℒ, добавлением бинарного предиката выполнимости Sat(s,x), где s пробегает конечные последовательности элементов из D, а х пробегает формулы. Мы определяем иерархию языков, параллельную первоначальной конструкции, использующей истину, достигая в конце концов неподвижной точки – достигая язык, который содержит свой собственный предикат выполнимости. Если L является неперечислимым, а D – нет, конструкция, использующая только истинность, заканчивается на вычислимых ординалах, а конструкция, использующая выполнимость, – на невычислимых ординалах. Упрощая экспозицию, мы далее будем продолжать, ориентируясь на конструкцию, использующую истинность, но конструкция, использующая выполнимость, является более базовой[73].

Эта конструкция может быть обобщена, так как допускает знаковую систему, более развитую, чем первопорядковая логика. Например, можно использовать квантор, обозначающий “для неперечислимого множества х”, квантор “большинство”, язык с бесконечными конъюнкциями и т.д. Существует достаточно строго установленный способ в стиле Клини расширить семантику таких кванторов и связок, с тем чтобы допустить истинностно-значные провалы, но мы не будем вдаваться в детали.

Проверим теперь, что наша модель удовлетворяет некоторым желаемым результатам, упомянутым в предыдущих разделах. Ясно, что это – теория в требуемом смысле: любой язык, включая те, что содержат теорию чисел или синтаксис, может быть расширен до языка, содержащего свой собственный предикат истинности, а соответствующее понятие истины является математически определенным посредством теоретико-множественной техники. В этой иерархии нет проблем с языками трансфинитного уровня.

Пусть задано предложение А из ℒ. Определим А как обоснованное, если оно имеет истинностное значение в наименьшей фиксированной точке ℒ_s; в противном случае – как необоснованное. То, что до сих пор, насколько я знаю, было интуитивным понятием без формального определения, становится точно определённым понятием в данной теории. Если А обоснованно, уровень А определяем как наименьший ординал a, такой, что А имеет истинностное значение в ℒ_a.

Проблем нет, если ℒ содержит теорию чисел или синтаксис, в котором конструируются гёделевские предложения, которые “говорят о самих себе”, что они являются ложными (предложения Лжеца) или истинными [как в (3)]; относительно всех них легко показать, что они необоснованны в смысле формального определения. Если использовать гёделевскую форму парадокса Лжеца, то предложение Лжеца, к примеру, может иметь форму

 

(9) (х)(Р(х) É ~ Т(х)),

 

где Р(х) является синтаксическим (или арифметическим) предикатом, удовлетворяемым единственно самим (9) (Гёделевым номером (9)). Сходным образом (3) получает форму

 

(10) (х)(Q(х) É Т(х)),

 

где Q(х) удовлетворяется единственно посредством (10) (Гёделевым номером (10)). При этой гипотезе индукцией по a легко доказать, что ни (9), ни (10) не будут иметь истинностного значения ни в каком ℒ_a, т.е., что они будут необоснованны. Сходным образом получаются другие интуитивные случаи необоснованности.

Черта, выделенная мной относительно обычных высказываний, что нет внутренней гарантии их надёжности (обоснованности) и что их “уровень” зависит от эмпирических фактов, проясняется следующей моделью. Рассмотрим, например, снова (9), за исключением того, что теперь Р(х) является эмпирическим предикатом, чей объём зависит от неизвестных эмпирических фактов. Если Р(х) оказывается истинным только на основании самого (9), то (9) будет необоснованным, как и ранее. Если объём Р(х) содержит полностью обоснованные предложения уровня, скажем, 2, 4 и 13, то (9) будет обоснованным на уровне 14. Если объём Р(х) содержит обоснованные предложения произвольного конечного уровня, то (9) будет обоснованным на уровне w. И так далее.

Рассмотрим теперь случаи (4) и (5). Мы можем формализовать (4) посредством (9), интерпретируя Р(х) как “х есть предложение, которое Никсон утверждает об Уотергейте”. [Для простоты забудем, что ‘об Уотергейте’ вводит в интерпретацию Р(х) семантическую компоненту.] Формализуем (5) как

 

(11) (х)(Q(х) É ~Т(х)),

 

интерпретируя Q(х) обычным способом. Чтобы дополнить параллель с (4) и (5), предположим, что (9) входит в объём Q(х), а (11) входит в объём Р(х). Теперь нет никакой гарантии, что (9) и (11) будут обоснованными. В параллель приведённым выше интуитивным соображениям предположим, однако, что некоторые истинные обоснованные предложения удовлетворяют Q(х). Если наименьший уровень любого такого предложения есть a, тогда (11) будет ложным и обоснованным на уровне a+1. Если в добавок все предложения, отличные от (11), удовлетворяющие Р(х), являются ложными, тогда (9) будет обоснованным и истинным. Из-за уровня (11) уровень (9) будет как минимум a+2. С другой стороны, если некоторое предложение, удовлетворяющее Р(х), является обоснованным и истинным, то (9) будет обоснованным и ложным на уровне b+1, где b есть наименьший уровень любого такого предложения. Для способности данной модели приписать уровень (4) и (5) [(9) и (11)] решающим является то, что этот уровень зависит от эмпирических фактов, а не приписывается заранее.

Мы говорили, что предложения подобные (3), хотя и необоснованны, интуитивно не являются парадоксальными. Рассмотрим это с точки зрения данной модели. Наименьшая фиксированная точка ℒ_s не является единственной фиксированной точкой. Формализуем (3) посредством (10), где Q(х) является синтаксическим предикатом истины (из L) единственно самого (10). Предположим, что вместо того, чтобы начинать нашу иерархию языков с полностью неопределённого Т(х), мы начали с введения Т(х) как истинного для (10) и неопределённого в противном случае. Тогда мы можем продолжать иерархию языков так же, как и до этого. Легко видеть, что если (10) является истинным в языке данного уровня, оно будет оставаться истинным и на следующем уровне [при использовании того факта, что Q(х) является истинным только для (10) и ложным в противном случае]. Отсюда, как и ранее, можно показать, что интерпретация Т(х) на каждом уровне распространяется на все предыдущие уровни и что на одном и том же уровне конструкция замыкается, чтобы дать фиксированную точку. Различие в том, что (10), у которого отсутствует истинностное значение в наименьшей фиксированной точке, теперь является истинным.

Это предполагает следующее определение: предложение является парадоксальным, если оно не имеет истинностного значения ни в одной фиксированной точке. То есть парадоксальное предложение А является таковым, что если f((S₁, S₂))= (S₁, S₂), тогда А не является элементом ни S₁, ни S₂.

(3) [или его формальная версия (10)] являются необоснованными, но не парадоксальными. Это означает, что мы можем последовательно использовать предикат ‘истинный’ с тем, чтобы придать (3) [или (10)] истинностное значение, хотя минимальная процедура для приписывания истинностного значения этого не позволяет. С другой стороны, предположим для (9), что Р(х) является истинным относительно самого (9) и ложным относительно всего другого, так что (9) является предложением Лжеца. Тогда аргумент парадокса Лжеца легко даёт доказательство того, что (9) не может иметь истинностного значения в любой фиксированной точке. Таким образом, (9) является парадоксальным в нашем техническом смысле. Заметим, что если то, что Р(х) является истинным относительно (9) и ложным относительно всего другого, является просто эмпирическим фактом, тот факт, что (9) является парадоксальным, сам будет эмпирическим. (Мы могли бы определить “внутренне парадоксальный”, “внутренне обоснованный” и т.д., но здесь этого делать не будем.)

Интуитивно ситуация, по-видимому, является следующей. Хотя наименьшая фиксированная точка, вероятно, является наиболее естественной моделью для интуитивного понятия истины и эта модель порождена нашими инструкциями воображаемому субъекту, другие фиксированные точки никогда не противоречат этим инструкциям. Мы можем последовательно использовать слово ‘истинный’ с тем, чтобы придать истинностное значение предложению типа (3) без нарушения той идеи, что относительно предложения должна утверждаться его истинность как раз тогда, когда утверждается само предложение. Это не имеет силы для парадоксальных предложений.

Используя лемму Цорна, мы можем доказать, что каждая фиксированная точка может быть расширена до максимальной фиксированной точки, где максимальная фиксированная точка есть такая фиксированная точка, не имеющая соответствующего расширения, которое также было бы фиксированной точкой. Максимальные фиксированные точки приписывают “столь много истинностных значений, сколько возможно”; в соответствии с интуитивным понятием истины больше истинностных значений приписать нельзя. Предложения, подобные (3), хотя и необоснованны, имеют истинностное значение в каждой максимальной фиксированной точке. Существуют, однако, необоснованные предложения, которые имеют истинностное значение в некоторых, но не во всех максимальных фиксированных точках.

Легко сконструировать фиксированную точку, которая делает (3) ложным, как легко сконструировать фиксированную точку, которая делает его истинным. Таким образом, приписывание истинностного значения (3) является произвольным. В самом деле, любая фиксированная точка, которая не приписывает истинностное значение (3), может быть расширена до фиксированных точек, которые делают его истинным, и до фиксированных точек, которые делают его ложным. Обоснованные предложения имеют одно и то же истинностное значение во всех фиксированных точках. Однако существуют и необоснованные и непарадоксальные предложения, которые имеют одно и то же истинностное значение во всех фиксированных точках, где они имеют истинностное значение. Например:

 

(12) Либо (12), либо его отрицание являются истинными.

 

Легко показать, что существуют фиксированные точки, которые делают (12) истинным, и нет таких, которые делают его ложным. Но (12) является необоснованным (не имеет значения в минимальной фиксированной точке).

Назовём фиксированную точку внутренней, если и только если она не приписывает предложению истинностного значения, противоречащего его истинностному значению в любой другой фиксированной точке. То есть фиксированная точка (S₁, S₂) является внутренней, если и только если не существуют другая фиксированная точка (S₁^†, S₂^†) и предложение А из L¢, такие что А Î (S₁ Ç S₂^†) È (S₂ Ç S₁^†). Мы говорим, что предложение имеет внутреннее истинностное значение, если и только если ему придаёт истинностное значение некоторая внутренняя фиксированная точка; т.е. А имеет внутреннее истинностное значение, если и только если существует внутренняя фиксированная точка (S₁, S₂) такая, что А Î (S₁ È S₂). (12) предоставляет хороший пример.

Существуют непарадоксальные предложения, которые имеют одно и то же истинностное значение во всех фиксированных точках, в которых они имеют истинностное значение, но у которых тем не менее отсутствует внутреннее истинностное значение. Рассмотрим РÚ~Р, где Р является любым необоснованным, непарадоксальным предложением. Тогда РÚ~Р является истинным в некоторой фиксированной точке (а именно, там, где Р имеет истинностное значение) и ни в одной не является ложной. Предположим, однако, что существуют фиксированные точки, которые делают Р истинным, и фиксированные точки, которые делают Р ложным. [Например, Р есть (3).] Тогда РÚ~Р не может иметь истинностное значение в любой внутренней фиксированной точке, поскольку согласно нашим правилам приписывания истинностного значения оно не может иметь истинностного значения, если его не имеет некоторый дизъюнкт[74].

Не существует “наибольшей” фиксированной точки, расширяющей любую другую; действительно, любые две фиксированные точки, придающие разные истинностные значения одной и той же формуле, не имеют общего расширения. Однако не трудно показать, что существует наибольшая внутренняя фиксированная точка (а в действительности, что внутренние фиксированные точки образуют решётку относительно £). Наибольшая внутренняя фиксированная точка является единственной “наибольшей” интерпретацией Т(х), которая соответствует нашей интуитивной идее истины и не создаёт произвольность выборов в приписывании истины. Она, таким образом, как модель является объектом специального теоретического интереса.

Любопытно сравнить “иерархию языков Тарского” с данной моделью. К несчастью, это едва ли может быть сделано без введения трансфинитных уровней, задачи, выведенной за рамки этого очерка. Но мы можем кое-что сказать о конечных уровнях. Интуитивно кажется, что предикат Тарского éистинный_nù во всех специальных случаях является единственным предикатом истины. Например, выше мы говорили, что ‘истинный₁’ означает “быть истинным предложением, не включающим истину”. Проведём эту идею формально. Пусть А₁(х) будет синтаксическим (арифметическим) предикатом истины именно тех формул ℒ, которые не включают Т(х), т.е. всех формул L. А₁(х), будучи синтаксическим, само является формулой L, как и все другие синтаксические формулы, следующие ниже. Определим ‘Т₁(х)’ как ‘Т(х) Ù А₁(х)’. Пусть А₂(х) будет синтаксическим предикатом, приписанным всем тем формулам, чьи атомарные предикаты суть атомарные предикаты из L плюс ‘Т₁(х)’. [Более точно класс таких формул может быть определён как наименьший класс, включающий все формулы L и Т(х_i) Ù А₁(х_i) для любой переменной х₁ и замкнутый относительно истинностных функций и квантификации.] Определим затем Т₂(х) как Т(х) Ù А₂(х). В общем виде мы можем определить А_n+1(х) как синтаксический предикат, приписанный точно тем формулам, которые построены из предикатов из L и Т_n(х), а Т_n+1(х) – как Т(х) Ù А_n+1(х). Предположим, что Т(х) интерпретируется посредством наименьшей фиксированной точки (или любой другой). Тогда индукцией легко доказать, что каждый предикат Т_n(х) полностью определён, что расширение Т₀(х) состоит в точности из истинных формул L, в то время как расширение Т_n+1(х) состоит из истинных формул языка, получающего добавление Т_n(х) к L. Это означает, что все предикаты истины конечной иерархии Тарского определимы внутри ℒ_s, а все языки этой иерархии являются подъязыками ℒ_s[75]. Эта разновидность результата могла бы быть расширена до трансфинитного, если бы мы определили трансфинитную иерархию Тарского.

Имеет место и обратный результат, который труднее обосновать в данном очерке. В иерархии Тарского предложения характеризует то, что они являются безопасными (внутренне обоснованными) и что их уровень является внутренним, заданным независимо от эмпирических фактов. Естественно предположить, что любое обоснованное предложение внутреннего уровня n есть в некотором смысле “эквивалент” предложению уровня n в иерархии Тарского. Задав подходящие определения ‘внутреннего уровня’, ‘эквивалентные’ и т.п., можно сформулировать и доказать теоремы соответствующего вида и даже распространить их на трансфинитное.

До сих пор мы предполагали, что имеем дело с истинностными провалами согласно методам Клини. Это ни в коем случае не означает необходимость делать так. Применимость истинностнозначных провалов относительно любой схемы как раз обеспечивает то, что сохраняется основное свойство монотонности f; т.е. обосновывается то, что обеспечивается расширение интерпретации Т(х), которое никогда не изменяет истинностного значения любого предложения из ℒ, но в лучшем случае задаёт истинностные значения ранее неопределённым случаям. Задав любую такую схему, мы можем использовать предшествующие аргументы, чтобы сконструировать минимальную фиксированную точку и другие фиксированные точки, определить уровни предложений и понятия ‘обоснованности’, ‘парадоксальности’ и т.д.

Одна из схем, применимая таким способом, есть понятие пресыщенных оценок ван Фраассена[76]. Её легко определить для языка ℒ. Задавая интерпретацию (S₁, S₂) для Т(х) в ℒ, назовём формулу А истинной (ложной), если и только если она становится истинной (ложной) посредством обычного классического оценивания при каждой интерпретации (S₁^†, S₂^†), которая расширяет (S₁, S₂) и является полностью определённой, т.е. такой, что S₁^† Ç S₂^† = D. Теперь мы можем определить иерархию {ℒ_s} и минимальную фиксированную точку ℒ_s, как и ранее. При интерпретации с пресыщенными оценками все формулы, доказуемые в классической квантифицированной теории, становятся истинными в ℒ_s; при оценках Клини можно сказать только то, что они будут истинными везде, где будут определены. Благодаря тому, что ℒ_s содержит свой собственный предикат истины, нам не нужно выражать этот факт с помощью схемы или метаязыковым высказыванием. Если PQT(x) является синтаксическим предикатом истинности именно для предложений ℒ, доказуемых в квантифицированной теории, мы можем утверждать:

 

(13) (х)(PQT(x) É T(x))

 

и (13) будет истинным в минимальной фиксированной точке.

Здесь мы использовали пресыщенные оценки, в которых все полные расширения интерпретации Т(х) приняты в расчёт. Естественно рассмотреть ограничения семейства полных расширений, мотивированные интуитивными свойствами истины. Например, мы можем рассмотреть только последовательные интерпретации (S₁^†, S₂^†), где (S₁^†, S₂^†) является последовательной, если и только если S₁ не содержит предложения вместе со своим отрицанием. Тогда мы можем определить А как истинное (ложное), где Т(х) интерпретировано посредством (S₁, S₂), если и только если А является классически истинным (ложным), когда А интерпретировано посредством любого последовательного полного определённого расширения (S₁, S₂).

 

(13) (х) ~(Т(х) Ù Т(neg(х))

 

будет истинным в минимальной фиксированной точке. Если мы ограничим допустимые полные расширения теми, что определяют максимальные последовательные множества предложений в обычном смысле, то не только (14), но даже

 

(х)(Sent(x) É. T(x)Ú Т(neg(х))

 

станет истинным в минимальной фиксированной точке[77]. Однако формула, упомянутая последней, должна интерпретироваться с осторожностью, поскольку она всё же не подпадает под случай (даже при рассматриваемой интерпретации с пресыщенными оценками), что существует какая-то фиксированная точка, которая делает каждую формулу или её отрицание истинными. (Парадоксальным формулам всё ещё недостаёт истинностного значения во всех фиксированных точках.) Этот феномен ассоциируется с тем фактом, что при интерпретации с пресыщенными оценками дизъюнкция может быть истинной без того, чтобы это влекло истинность некоторого дизъюнкта.

Цель настоящей работы не в том, чтобы дать какие-то отдельные рекомендации, следуя строгому трёхзначному подходу Клини, подходу с пресыщенными оценками ван Фраассена или любой другой схеме (такой, как слабая фрегеанская трёхзначная логика, предложенная Мартином и Вудруфом, хотя фактически я предварительно склоняюсь к тому, чтобы рассматривать последнюю как исключительно громоздкую). Моей настоящей целью не является даже то, чтобы дать какие-либо твёрдые рекомендации об отношении минимальной фиксированной точки отдельной схемы оценивания с различными другими фиксированными точками[78]. В самом деле, если бы не было неминимальной фиксированной точки, мы не могли бы определить интуитивное различие между ‘обоснованным’ и ‘парадоксальным’. Скорее, моя цель – предоставить семейство приспособлений, которые можно было бы изучать одновременно и чью продуктивность и согласие с интуицией можно было бы проверить.

Я не вполне уверен в том, существует ли определённый фактический вопрос относительно того, имеют ли силу для естественного языка истинностнозначные провалы – по крайней мере те, которые возникают в связи с семантическими парадоксами – по схеме Фреге, Клини, ван Фраассена или, вероятно, какой-то другой. Я даже совершенно не уверен в том, что существует определённый фактический вопрос относительно того, должен ли естественный язык оцениваться посредством именно минимальной фиксированной точки или посредством какой-то другой, заданной выбором схемы для имеющих место провалов[79]. В данный момент мы не ищем определённую корректную схему.

Настоящий подход можно применить к языкам, содержащим модальные операторы. В этом случае мы не просто рассматриваем истину, но даём в обычном стиле модальной теории моделей систему возможных миров и оцениваем истинность и T(x) в каждом возможном мире. Соответственно модифицируется индуктивное определение языка ℒ_s, приближающегося к минимальной фиксированной точке. Здесь мы не можем вдаваться в детали[80].

По иронии применение данного подхода к языкам с модальными операторами может вызвать некоторый интерес тех, кто не расположен к интенсиональным операторам и возможным мирам и предпочитает рассматривать модальности и пропозициональные установки как предикаты истинности предложений (или знаков предложений). Монтегю и Каплан указывали, используя элементарные приложения техники Гёделя, что такие подходы, вероятно, приводят к семантическим парадоксам, аналогичным Лжецу[81]. Хотя эта проблема известна достаточно давно, обширная литература, защищающая такую трактовку, обычно просто игнорирует эту проблему, а не показывает, как она должна быть разрешена (скажем, с помощью иерархии языков?). Теперь, если принять оператор необходимости и предикат истинности, мы можем определить предикат необходимости Nec(x), применённый к предложениям либо посредством ÿТ(х), либо посредством Т(nec(x))[82], кому как нравится, и трактовать его в соответствии со схематикой возможных миров, о которой говорилось в предыдущем параграфе. (Я думаю, что любой предикат необходимости предложений интуитивно должен рассматриваться как производный, определённый с точки зрения оператора и предиката истинности. Также я думаю, что то же самое имеет силу для пропозициональных установок.) Мы можем даже “отбросить лестницу” и рассматривать Nec(x) как примитивный, трактуя его в схематике возможных миров так, как если бы он определялся посредством оператора плюс предикат истинности. Сходное замечание применимо к пропозициональным установкам, если мы хотим трактовать их как модальные операторы, используя возможные миры. (Сам я думаю, что такая трактовка затрагивает значительные философские затруднения.) Возможно, что данный подход может быть применён к предполагаемым предикатам предложений, рассматриваемым нами, без использования интенсиональных операторов или возможных миров, но в настоящий момент у меня нет идеи, как это сделать.

Кажется вероятным, что многие из тех, кто разрабатывал подход к семантическим парадоксам, основанный на истинностных провалах, уповали на универсальный язык, язык, в котором всё, что вообще может быть установлено, может быть выражено. (Доказательство Гёделем и Тарским, что язык не может содержать свою собственную семантику, применимо только к языкам без истинностных провалов.) Языки данного подхода содержат свои собственные предикаты истинности и даже свои собственные предикаты выполнимости и, таким образом, в некоторой степени надежда была реализована. Тем не менее данный подход, конечно, не претендует на то, что задал универсальный язык, и я сомневаюсь, что такая цель когда-либо может быть достигнута. Во-первых, индуктивное определение минимальной фиксированной точки выполнено в теоретико-множественном языке, а не в самом объектном языке. Во-вторых, существуют утверждения, которые мы можем сделать об объектном языке, но которые не можем сделать в объектном языке. Например, предложение Лжеца не является истинным в объектном языке в том смысле, что индуктивный процесс никогда не делает его истинным; но наша интерпретация отрицания и предиката истинности препятствует нам сказать об этом в объектном языке. Если мы рассматриваем минимальную фиксированную точку, скажем, используя оценивание Клини как модель естественного языка, тогда смысл, в котором мы можем говорить в естественном языке, что предложение Лжеца не является истинным, должен мыслиться как привязанный к некоторой более поздней стадии в развитии естественного языка, к стадии, на которой говорящий рефлексирует над процессом порождения, ведущим к минимальной фиксированной точке. Сама она не является частью этого процесса. Необходимость подняться к метаязыку может быть одним из уязвимых мест данной теории. Дух иерархии Тарского всё ещё с нами[83].

Адаптированный здесь подход предполагал следующую версию “Конвенции Т” Тарского, приспособленной к трёхзначному подходу: Если ‘k’ использовать как сокращённое имя предложения А, то Т(k) должно быть истинным или ложным, если А является истинным или ложным соответственно. Интуицию пленяет то, что Т(k) должно иметь те же самые истинностные условия, как и само А; отсюда следует, что Т(k) допускает истинностнозначный провал, если его допускает А. Альтернативная интуиция[84] утверждала бы, что, если А является либо ложным, либо неопределённым, то А не является истинным, Т(k) должно быть ложным, а его отрицание – истинным. С этой точки зрения Т(х) будет полностью определённым предикатом, а истинностнозначных провалов не существует. Вероятно, Конвенция Т Тарского должна быть каким-то способом ограничена.

Не трудно модифицировать данный подход с тем, чтобы приспособить такую альтернативную интуицию. Возьмём любую фиксированную точку L¢(S₁, S₂). Модифицируем интерпретацию Т(х) так, чтобы сделать его ложным для любого предложения вне S. [Это мы называем “замыканием” Т(х).] Модифицированная версия Конвенции Т Тарского имеет силу в смысле условия Т(k) Ú Т(neg(k) . É . A º Т(k). В частности, если А является парадоксальным предложением, мы теперь можем утверждать ~Т(k). Равносильно если А имеет истинностное значение до замыкания Т(х), то А º Т(k) является истинным.

Поскольку объектный язык, полученный замыканием Т(х) является классическим языком, где полностью определён каждый предикат, то предикат истины для этого языка можно определить в обычной манере Тарского. Этот предикат не будет совпадать по объёму с предикатом Т(х) объектного языка, и, конечно, разумно предположить, что он является действительно метаязыковым предикатом, который выражает “подлинное” понятие истинности для замкнутого объектного языка. Т(х) замкнутого языка определяет истинность для фиксированной точки до того, как она замкнётся. Поэтому мы всё-таки не можем избежать необходимости в метаязыке.

На основании того факта, что цель универсального языка кажется неуловимой, некоторые заключили, что подходы с истинностными провалами или любые подходы, которые пытаются приблизиться к естественному языку ближе, чем ортодоксальный подход, являются непродуктивными. Я надеюсь, что гибкость предлагаемого подхода и его согласие с интуицией естественного языка в большом числе примеров отбросит сомнение, основанное на таких негативных установках.

Есть математические приложения и чисто технические проблемы, которые я не упомянул в этом очерке; они выходят за рамки статьи для философского журнала. Так, есть вопрос, на который можно ответить в значительно более общей форме и охарактеризовать ординал s, на котором замыкается конструкция минимальной фиксированной точки. Если L есть язык первопорядковой арифметики, оказывается, что s есть w₁, первый нерекурсивный ординал. Множество является расширением формулы с одной свободной переменной в ℒ_s, если оно есть П¹₁, и оно есть расширение полностью определённой формулы, если является гиперарифметическим. Язык ℒ_s, приближающийся к минимальной фиксированной точке, даёт интересную, “со свободным обозначением” версию гиперарифметической иерархии. Более общо, если L есть язык приемлемой структуры в смысле Мочавакиса и используется оценивание Клини, множество является расширением одноместной формулы в минимальной фиксированной точке, если является индуктивным в смысле Мочавакиса[85].

 

 

Джон Сёрл

ЧТО ТАКОЕ ИНТЕНЦИОНАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ?[86]