АНАЛIТИЧНА ГЕОМЕТРIЯ
3 АНАЛIТИЧНА ГЕОМЕТРIЯ
прямокутна система коорди-нат xОyz (рис. 3.1), заданi векторi точка , отже, i ра-дiус-вектор цiєї точки
. Скла-демо рiвняння площини Q, що проходить через точку перпендикуляно до… Нехай довiльна точка площини,її радiус-вектор. Побудуємо вектор . Очевидно, що , i або . Це i є векторне рiвняння…
1) Якщо D=0, то рiвняння (2*) має вигляд . В цьому випадку коордиати точки задовольняють цьому рiвнянню, тобто площина про-ходить через початок… 2) Якщо A=0, то Q½½Оx або площина Q ^ площинi yОz.
3) Якщо B=0, то Q½½Оy або площина Q ^ площинi xОz.
.
Iснує тiльки одна площина Q, яка перпендикулярна орту i вiдстоїть вiд початку… Нехай довiльна точка цiєї площини. Розглянемо радiус-вектор i скалярний добуток цього вектора на орт . З однiєї…
i задана точка . Потрiбно знайти вiддаль вiд точки до площини Q. Опустимо iз… ,
Умови паралельностi i перпендикулярностi двох площин.
Отже, вiдомi координати їх нормальних векторiв
Векторне рiняння прямої. Нехай в просторi задано напрямний вектор i точка . Потрiбно скласти рiвняння прямої, що проходить через точку паралельно… довiльна точка прямої. Розгля-немо радiус-вектори точок , i , , .
Але||,звiдки ;
Параметричне та канонiчне рiвняння прямої.
Розглянемо проекцiї (9*) на оci:
Це параметричне рiвняння прямої в просторi. Вилуча-ючи iз параметричного рiвняння параметр t, одержимо кано- нiчне рiвняння прямої
(10*)
Рiвняння прямої, що проходить через двi дані точки.
Нехай в просторi заданi двi точки своїми коорди-натами i (рис. 3.7).
Запишемо канонiчне рiвняння прямої, що проходить через цi точки. Нехай довiльна точка цiєї пря-мої. Розглянемо вектори
; .
Iз умови їх паралельностi одержимо потрiбне рiвняння:
(11*)
. (12*)
Системi piвнянь (12*) задовольняють координати точок, розташованих на лiнiї… , де ; .
; .
Тодi вiдомi координати їх напрямних векторiв
,
Тодi вiдомi координати нор-мального вектора i на-прямного
;
Потрiбно знайти координати спiльної точки . Координати точки повиннi… (13*)
Нехай на площинi вибрана прямокутна система коор-динат xОy (рис. 3.10).
Пряма на площинi може бути задана по-рiзному. Якщо вона задана за допомогою… (15*)
або канонiчними
;.
Лiнiєю другого порядку, розташованою на площинi xОy, називається всяка лiнiя, координати точок якої задовольняють алгебраїчному рiвнянню другого… Коло. Колом називають множину всiх точок площини xОy, рiвновiддалених вiд… .
Множина точок простору, координати яких задовольняють алгебраїчному рiвнянню другого степеня вiдносно x, y та z називається поверхнею другого… Сферична поверхня. Сферичною поверхнею називають множину вciх точок простору,…