Инструментов

 

 

В предыдущем параграфе мы рассматривали диверсификацию, как

 

метод управления финансовыми рисками и, прежде всего, ценовым риском.

 

При построении диверсифицированного портфеля целью инвестора является

 

снижение риска путем инвестирования в различные активы, то есть снижение

 

несистематического риска.

 

Другой важный метод управления риском – это хеджирование. Его

 

цель состоит в уменьшении риска возможных убытков инвестора в

 

результате неблагоприятного изменения цен, курсов или процентных ставок.

 

Говорят, что для этого хеджер в соответствии с имеющимися у него

 

базовыми активами занимает позиции по производным финансовым

 

инструментам.

 

Базовый актив – биржевой товар, который поставляется или стоимость

 

которого является базой для расчета при исполнении срочного контракта.

 

Базовым активом могут являться ценные бумаги, акции, товары или

 

фондовые индексы.

 

Производные финансовые инструменты – договоры, порождающие

 

права и обязанности, исполнение которых ведет к передаче от одной стороны

 

финансового инструмента к другой одного или более финансовых рисков,

 

присущих базисному финансовому инструменту. Производные финансовые

 

70

 

инструменты не имеют своим результатом передачу базисного финансового

 

инструмента на этапе заключения договора, причем такая передача не

 

обязательно имеет место по истечении срока договора.22 То есть можно

 

сказать, что производные финансовые инструменты тоже являются ценными

 

бумагами, стоимость которых является производной от стоимости и

 

характеристик базового актива.

 

Таким образом, в портфельном инвестировании хеджирование – это

 

включение в портфель производных финансовых инструментов, доходность

 

которых противоположна доходности базовых активов портфеля. При этом

 

снижение риска портфеля достигается за счет снижения его ожидаемой

 

доходности.

 

Часто применяется следующая терминология: говорят, что хеджер

 

формирует портфель, составленный из длинной позиции и короткой позиции.

 

Длинная позиция – это покупка актива с намерением его последующей

 

продажи (закрытие позиции). Это делается в ожидании повышения цены на

 

этот актив. Короткую позицию инвестор занимает в ожидании снижения

 

цены на актив. Для этого он должен занять актив на рынке, затем продает его

 

и после снижения цены инвестор выкупает его обратно и возвращает

 

кредитору. Понятно, что на практике осуществить такую операцию

 

невозможно, поэтому для занятия короткой позиции инвесторы используют

 

производные финансовые инструменты. Наиболее популярными являются

 

фьючерсные, форвардные и опционные контракты.

 

Рассмотрим опционный контракт. Это такой контракт, который, в

 

обмен на премию, предоставляет покупателю право (но не обязательство!) на

 

покупку или продажу базового актива по заранее оговоренной цене (цена

 

исполнения) у продавца опциона в течение определенного периода времени

 

или на определенную дату. Эта дата является сроком истечения действия

 

опциона. Опцион, который может быть предъявлен к исполнению в любое

 

 

22 Словарь по экономике и финансам/Глоссарий.ru© 2000-2006 EDI-Press & Web Miss//

http://slovari.yandex.ru

 

 

время до истечения срока его действия, называется американским.

 

Европейским опционом называют опцион, который может быть предъявлен к

 

исполнению только в последний день срока его действия.

 

Также выделяют опционный контракт, который дает право покупки

 

актива (опцион колл) и который дает право продажи актива (опцион пут).

 

Опцион колл – опцион, покупатель которого приобретает право купить

 

определенное количество базового актива по оговоренной цене по истечении

 

срока опциона или ранее. Продавец колл-опциона предоставляет это право в

 

обмен на полученную при продаже опциона премию.

 

Опцион пут – опцион, в соответствии с которым покупатель имеет

 

право на продажу определенного актива по истечении срока опциона или

 

ранее по определенной цене, уплатив за это право продавцу, обязующемуся

 

выкупить актив на этих условиях, денежную премию.

 

При хеджировании инвестор (хеджер) жертвует ожидаемой

 

доходностью портфеля для уменьшения его риска. Соответственно возникает

 

важнейший вопрос – какую цену готов заплатить инвестор за передачу

 

риска?

 

Будем считать, что инвестор действует на финансовом рынке,

 

описанном в параграфе 4.1:

 

· инвесторы могут осуществлять продажи/покупки, в том числе

 

короткие с нулевыми комиссионными, без налогов и других платежей в

 

любое время и в любых количествах;

 

· есть безрисковый актив, с доходностью r (с непрерывным

 

начислением);

 

· нет арбитражных возможностей;

 

· на маржевые счета начисляется процент r.

 

Рассмотрим ценообразование производных финансовых инструментов

 

на примере европейского опциона колл. Вначале для простоты будем считать,

 

что доходность безрискового актива равна нулю (r=0).

 

 

Пусть рыночная стоимость базового актива на момент исполнения

 

равна S, а цена исполнения E. Тогда на дату исполнения доход владельца

 

опциона может составить либо ноль (если цена исполнения будет выше или

 

равна рыночной стоимости актива) либо S-E (если цена исполнения будет

 

ниже рыночной стоимости актива). Тогда на момент исполнения цена

 

опциона колл С будет равна:

 

 

C = S − E при S > E



C = 0 при S ≤ E

 

Таким образом, цена опциона определяется исходя всего из двух

 

параметров – цены исполнения (которая задается в момент заключения

 

опционного контракта) и текущей рыночной цены актива:

 

 

C = max{0, S − E}

 

То есть, говоря о ценообразовании производных финансовых

 

инструментов, мы по существу возвращаемся к теме ценообразования

 

рыночных активов (базовых активов). Используем биномиальную модель

 

ценообразования активов.

 

Пусть цена актива на момент исполнения опциона колл будет равна:

 

Sn = S0 + x1 + x2 + ... + xn

 

и цена опциона соответственно

 

 

Cn = max{0, Sn − S0} = max{0, x1 + x2 + ... + xn }

 

Возьмем один период времени. На момент его окончания опцион будет

 

стоить

 

1. Инвестор берет кредит в размере  0 −  рублей;

73

 

C1 = max{0, x1}

 

 

Разумеется, цена опциона С1 является случайной величиной. Чтобы

инвестор не смог делать деньги из «воздуха», покупая или продавая опцион,

 

его цена, должна быть равна:

 

 

C1 = M [max{0, x1}]

 

 

При этом мы проводим так называемое риск-нейтральное оценивание –

 

продавец опциона ничего не получает за то, что принимает на себя риск. То

 

есть, он за вырученную от продажи опциона сумму должен суметь

 

обеспечить только его исполнение и не более того. В среднем (при

 

доходности безрискового актива равной нулю) продавец не ожидает никакой

 

прибыли. Таким образом, при использовании биномиальной модели

 

ценообразования активов, цена будет равна С1=1/2.

Рассмотрим схему построения инвестором безрискового портфеля:

 

S 1

 2 2 

 

2. Продает опцион колл за

 

1

 

рубля;

 

3. Покупает базовый актив на сумму

S0

 

рублей.

В результате инвестор располагает портфелем, состоящим из длинной

 

позиции (базовый актив на сумму

S0

 

) и короткой (опцион колл). Кроме того,

 

на момент исполнения опциона инвестор должен погасить кредит в размере

 

 S0

−  . Тогда на дату исполнения имеем:



 2

1 

2 

 

74

 

S0+1

 

S0

S0 -1

 

 

Если цена опциона будет меньше С1 (то есть в нашем случае 1/2), то

продавец не сможет обеспечить их исполнение опциона, если же больше – то

 

его прибыль будет неограниченна, он сможет делать деньги из «воздуха».

 

Усложняя модель поведения цены базового актива, мы соответственно

 

усложним и модель ценообразования производного финансового

 

инструмента (опциона). Однако принцип ценообразования останется таким

 

же. Например, возьмем не один период, а n периодов. Тогда цена опциона

 

будет равна:

 

 

Cn = M [max{0, x1 + x2 + ... + xn }]

 

Если считать, что n достаточно велико, то можно применить

 

Центральную предельную теорему (ЦПТ). Тогда:

 

M [Cn ] =

 

n

2ð

 

Усложним ситуацию – поведение базового актива описывается не

 

биномиальной моделью. Тем не менее, можно ввести допущение, что к

 

моменту исполнения цена актива может либо повысится или понизиться

 

(u>1, d<1). Представим поведение цены в виде биномиального дерева. Пусть

 

мы занимаем короткую и длинную позиции.

 

75

 

SU

fU

S

f Sd

fd

 

В случае, если цена базового актива увеличится, то он будет стоить SU,

 

а производный финансовый инструмент fU. В случае, если цена базового

актива уменьшится, то он будет стоить Sd, а производный финансовый

 

инструмент fd. Попробуем ответить на вопрос: сколько должен стоить

производный финансовый инструмент в начальный момент времени при

 

безрисковой ставке r>0. Воспользуемся рассмотренным выше подходом –

 

стоимость безрискового портфеля, состоящего из базового актива и

 

производного к нему производного финансового инструмента должна быть

 

постоянной при любом движении цены:

 

HSU − fU = HSd − fd

 

где H –это коэффициент хеджирования, определяет количество базового

 

актива в нашем портфеле.

 

Если переписать эту формулу, то получим, что коэффициент

 

хеджирования равен:

 

H =

 

 

fU − f d

SU − Sd

 

 

Как мы уже отмечали, мы проводим риск-нейтральное оценивание –

 

плата за передачу риска отсутствует. То есть, доходность нашего портфеля

 

должна равняться безрисковой ставке r. Соответственно за промежуток

 

времени от t0 до T цена портфеля должна вырасти в e

r(T −t0 )

 

раз:

 

76

 

[HS − f ]er(T −t0 ) = HSU − fU

 

В левой части стоимость портфеля в начальный момент времени с

 

дисконтирующим множителем, а в правой – цена в случае повышения цены

 

актива. В случае понижения цены актива стоимость портфеля не изменится:

 

 

[HS − f ]er(T −t0 ) = HSd − f d

 

Тогда можно выразить цену опциона в начальный момент времени:

 

Ufd − dfU −r (T −t0 )

f =

 

 

fU − f d

U − d

 

+

 

 

U − d

 

e

 

 

Можно уточнить цену производного финансового инструмента,

 

построив двухступенчатую модель. Но в любом случае алгоритм оценки

 

производного финансового инструмента будет следующим:

 

· оценивается стоимость базового актива на момент исполнения

 

производного финансового инструмента;

 

· находится стоимость производного финансового инструмента на

 

момент исполнения;

 

· полученная стоимость производного финансового инструмента

 

дисконтируется к начальному моменту времени.

 

Если предположить, что ценообразование базового актива подчиняется

 

процессу Ито можно получит следующую модель ценообразования для

 

европейского опциона колл. С учетом дисконтирования опцион будет стоить

 

 

C = e −r(T −t0 )M {max(ST − E,0)}

 

 

Причем цену базового актива представим следующим образом:

 

77

 

ST = eî

 

где î - нормально распределенная случайная величина с математическим

 

(T − t0 )+ ln S и стандартным отклонением ó ∗ = ó T − t0 .



ожиданием m∗ =  r −



 

ó 2 

2 

 

Исходя из этого, можно найти значение математического ожидания:

 

 

С = e−r(T −t0 )M {max(ST − E,0)} = e−r(T −t0 )M {max(еî − E,0)} =

 

 +∞ y



= e

 

−r(T −t0 )

+∞

 ∫ e ϕ ( y)dy − E ∫ ϕ ( y)dy 

 ln E ln E 

 

где ϕ ( y) - плотность нормального распределения с параметрами m∗ и ó ∗ .

 

Вычислив значения этих интегралов, мы получим формулу Блэка-

 

Шоулза:

 

 

С = S0Ö 0 (d1 ) − Ee −r(T −t0 )Ö 0 (d 2 )

 

где Ф0 – это функция Лапласа.

 

ln 0  +  r −

(T − t0 )

d2 =

 

 

m∗ − ln E

ó ∗

 

=

 

 S   ó 2 



 E   2 

ó T − t0

 

 

+  r +

(T − t0 )

 S   ó 2 

2 

d1 = d2 + ó ∗ =

 

ln 

 E  

ó T − t0

 

Цену европейского опциона пут можно вычислить, исходя из теоремы

 

паритета цены опционов колл и пут. Эта теорема позволяет установить связь

 

между ними с помощью следующей формулы:

 

 

P = C + E(1 + r)−(T −t0 ) − S

 

78

 

В настоящее время формула Блэка-Шоулза является основной при

 

определении стоимости опционов. Как мы уже отмечали выше, у всех

 

производных финансовых инструментов подход к ценообразованию

 

одинаков.

 

Очевидно, что рассмотренные в главе 3 количественные меры будут не

 

совсем адекватны для случая, когда в качестве актива выступают

 

производные финансовые инструменты. В связи с этим был разработан

 

целый ряд показателей, обозначаемых в основном греческими буквами и

 

называемых поэтому «греческими» мерами.

 

Так как цена производных инструментов зависит от цены базового

 

актива, нас будет интересовать их чувствительность к изменению цены

 

базового актива. Для этого используется коэффициент дельта. Он

 

показывает величину изменения стоимости данного финансового

 

инструмента при малом изменении цены базового актива (или другого

 

ценового фактора, например, ставки процента):

 

DeltA =

 

 

∆f

∆S

 

 

где f – стоимость данного финансового инструмента;

 

S – цена базового актива.

 

Если изобразить зависимость стоимости инструмента от базового

 

ценового фактора линией, то дельта характеризует угол наклона, при этом ее

 

величина равна тангенсу этого угла. Как и цена базисного пункта и дюрация,

 

дельта отражает тот же самый риск – чувствительность стоимости

 

инструмента к изменению процентной ставки:

 

DUrAtion = −DeltA ⋅

 

 

1 + r

f

 

79

 

На рынке инструментов с фиксированным доходом чувствительность к

 

движению процентных ставок измеряется дюрацией.

 

Показатель гамма измеряет изменение дельты при изменении базового

 

ценового фактора23:

 

GAmmA =

 

 

∆DeltA

∆S

 

 

Гамма измеряет тот же риск, что и выпуклость. Если график

 

зависимости стоимости производного инструмента от базового ценового

 

фактора выпуклый, то гамма положительна, при вогнутом графике гамма

 

отрицательна, а если профиль риска – прямая линия, то гамма равна нулю.

 

Показатель гамма прежде всего актуален для опционов. Оба показателя

 

измеряют чувствительность второго порядка (или квадратичную

 

чувствительность) к изменениям финансовых переменных.

 

Вега – показатель риска производных инструментов; она измеряет

 

изменение стоимости финансового инструмента при изменении

 

волатильности базового ценового фактора:

 

VegA =

 

 

∆f

∆σ

 

 

И последний показатель из популярных «греков» - это тета. Тета

 

измеряет изменение стоимости финансового инструмента при изменении

 

срока, оставшегося до его исполнения:

 

ThetA =

 

 

∆f

∆t

 

 

 

Энциклопедия финансового риск-менеджмента/Под ред. Лобанова А.А. и Чугунова А.В. – М.: Альпина

Бизнес Букс, 2007.

 

 

Общее правило при расчете всех этих показателей: берутся малые,

 

стремящиеся к нулю изменения актива, времени и т.д.