рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Философия
/
Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов

Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов - раздел Философия, Математическая модель. Решение нелинейных уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений В Инженерной Деятельности Часто Возникает Необходимость Описать В Виде Функци...

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (x_i, y_i), i = 0, 1, 2,... , n, где n - общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности (рис. 2.5)

Рис.4.2

При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, вычислять значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.

Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость f(x), при которой

S =, (4.12)

обращается в минимум.

Погрешность приближения оценивается величиной среднеквадратического уклонения

= . (4.13)

В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен

P_m(x)=a₀+ a₁x+a₂x²+...+a_mx^m. (4.14)

Формула (4.12) примет вид

S =

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по всем переменным a₀, a₁, a₂, … , a_m. Получим систему уравнений

= -= 0, или

= 0, k = 0, 1, … , m. (4.15)

Систему уравнений (4.15) перепишем в следующем виде:

a₀+ a₁+ … +a_m= , k = 0, 1, … , m (4.16)

Введем обозначения:

c_k = , b_k = .

Система (4.16) может быть записана так:

a₀c_k + a₁c_k₊₁ + … + c_k₊_ma_m = b_k, k = 0, 1, … , m. (4.17)

Перепишем систему (4.17) в развернутом виде:

c₀a₀+ c₁a₁ + c₂a₂… + c_ma_m = b₀

c₁a₀+ c₂a₁ + c₃a₂… + c_m₊₁a_m = b₁

(4.18)

c_ma₀+ c_m₊₁a₁ + c_m₊₂a₂… + c₂_ma_m = b_m

Матричная запись системы (4.18) имеет следующий вид:

Ca = b. (4.19)

Для определения коэффициентов a_k, k = 0, 1, … , m, и, следовательно, искомого многочлена (4.14) необходимо вычислить суммы c_k, b_k и решить систему уравнений (4.18). Матрица C системы (4.19) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при решении.

Погрешность приближения в соответствии с формулой (4.13) составит

= . (4.20)

Рассмотрим частные случаи m =1 и m = 2.

1. Линейная аппроксимация (m = 1).

P₁(x) = a₀ + a₁x.

c₀ = = n + 1; c₁ = = ; c₂ = ; (4.21)

b₀ = = ; b₁ = = . (4.22)

c₀ c₁n+1

C = = ,

c₁c₂

b = (b₀, b₁)^T = (,)^T.

Решение системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:

a₀ = , a₁ = ,

где C - определитель матрицы C, аC_i - определитель матрицы C_i, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b, i = 1, 2.

Таким образом,

a₀ = , a₁ = . (4.23)

Алгоритм 4.1 (Алгоритм метода наименьших квадратов. Линейная аппроксимация).

Шаг 1. Ввести исходные данные: x_i, y_i, i=0, 1, 2, ... , n.

Шаг 2. Вычислить коэффициенты c₀, c₁, b₀, b₁по формулам (4.21), (4.22).

Шаг 3. Вычислить a₀, a₁ по формулам (4.23).

Шаг 4. Вычислить величину погрешности

₁ = . (4.24)

Шаг 5. Вывести на экран результаты: аппроксимирующую линейную функцию P₁(x) = a₀ + a₁x и величину погрешности ₁.

2. Квадратичная аппроксимация (m = 2).

P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x².

c₀ == n+1; c₁ ==; c₂ =; c₃ =; c₄ =. (4.25)

b₀ ==; b₁ ==; b₂ = . (4.26)

c₀ c₁ c₂

C = c₁c₂ c₃ .

c₂ c₃ c₄

b = (b₀, b₁, b₂)^T .

Решение системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:

a_i = , i = 0, 1,

где C - определитель матрицы C, аC_i - определитель матрицы C_i, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b.

C = c₀c₂c₄+ 2c₁c₂c₃- c - сc₄ - cc₀. (4.27)

b₀ c₁ c₂

C₁ = b₁ c₂ c₃ = b₀c₂c₄ + b₂c₁c₃+ b₁c₂c₃ - b₂c- b₁c₁c₄- b₀c. (4.28)

b₂ c₃ c₄

c₀ b₀ c₂

C₂ = c₁ b₁ c₃ = b₁c₀c₄ + b₀c₂c₃+ b₂c₁c₂ - b₁c- b₀c₁c₄- b₂c₀c₃. (4.29)

c₂ b₂ c₄

c₀ c₁ b₀

C₃ = c₁ c₂ b₁ = b₂c₀c₂ + b₁c₁c₂+ b₀c₁c₃ - b₀c- b₂c - b₁c₀c₃. (4.30)

c₂ c₃ b₂

a₀ = , a₁ = , a₂ = . (4.31)

Алгоритм 4.2 (Алгоритм метода наименьших квадратов. Квадратичная аппроксимация).

Шаг 1. Ввести исходные данные: x_i, y_i, i=0, 1, 2, ... , n.

Шаг 2. Вычислить коэффициенты c₀, c₁, c₂, c₃, c₄, b₀, b₁, b₂, по формулам (4.25), (4.26).

Шаг 3. Вычислить C, C₁, C₂, C₃ по формулам (4.27) - (4.30).

Шаг 4. Вычислить a₀, a₁, a₂ по формулам (4.31).

Шаг 5. Вычислить величину погрешности

₂ = . (4.32)

Шаг 5. Вывести на экран результаты : аппроксимирующую квадратичную функцию P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² и величину погрешности ₂.

Пример 4.6.

Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения y_i в точках x_i , i =0, 1, 2, 3, 4 приведены в таблице 2.3.

Таблица 4.1


i
x_i
y_i	-1

Вычислим коэффициенты c₀, c₁, c₂, c₃, c₄, b₀, b₁, b₂, по формулам (4.25), (4.26):

c₀ = 5; c₁ = 15; c₂ = 55; c₃ = 225; c₄ = 979;

b₀ = 12; b₁ = 53; b₂ = 235.

1. Линейная аппроксимация (m =1).

Система уравнений для определения коэффициентов a₀ и a₁многочлена первой степени P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² имеет вид

5a₀ + 15a₁ = 12

15a₀ + 55a₁ = 53

По формулам (4.23) найдем коэффициенты a₀ и a₁:

a₀ = -2.7, a₁ = 1.7.

P₁(x) = a₀ + a₁x = -2.7 + 1.7x.

2. Квадратичная аппроксимация (m =2).

Система уравнений для определения коэффициентов a₀, a₁ и a₂многочлена второй степени P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² имеет вид

5a₀ + 15a₁+ 55a₂ = 12

15a₀ + 55a₁ + 225a₂ = 53

55a₀ + 225a₁ + 979a₂ = 235

По формулам (4.31) найдем коэффициенты a₀, a₁ и a₂:

a₀ -2.20, a₁ 1.27, a₂ 0.07.

P₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x² = -2.20 + 1.27x + 0.07x².

Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл.2.4.

Таблица 4.2


i
x_i
y_i	-1
P₁(x_i)	-1	0.7	2.4	4.1	5.8
P₂(x_i)	-1	0.62	2.24		6.9

Погрешность приближения в соответствии с формулами (4.24) и (4.32) составит

₁ = = 0.245.

₂ = = 0.084.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математическая модель. Решение нелинейных уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Погрешность математической модели связана с ее приближенным описанием реального объекта Например если при моделировании экономической системы не... Исходные данные... Исходные данные как правило содержат погрешности так как они либо неточно измерены либо являются результатом...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Корректность
Определим вначале понятие устойчивости решения. Решение задачи y* называется устойчивым по исходным данным x*, если оно зависит от исходных данны

Вычислительные методы
Под вычислительными методами будем понимать методы, которые используются в вычислительной математике для преобразования задач к виду, удобному для реализации на ЭВМ. Подробнее с различными к

ЛЕКЦИЯ 9
Тема: Элементы теории погрешностей Определение. Пусть u и — точное и приближенное значение некоторой величины соответственно. Тогда абсолютной погрешностью п

Метод деления отрезка пополам является самым простым и надежным способом решения нелинейного уравнения.
Пусть из предварительного анализа известно, что корень уравнения (2.1) находится на отрезке [a0, b0], т. е. x*[a0, b0], так, что f(x

Пусть уравнение (2.1) можно заменить эквивалентным ему уравнением
x = (x). (2.4) Например, уравнение - 0.5 = 0 можно заменить эквивалентным ему уравнением x = 0.5sinx. Выберем каким-либо образом начальное прибл

Метод Ньютона (метод касательных)
вать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство |xn - xn -

Метод ложного положения
Рассмотрим еще одну модификацию метода Ньютона. Пусть известно, что простой корень x* уравнения f(x) = 0 находится на отрезке [a, b] и на одном из ко

Постановка задачи
Требуется найти решение системы линейных уравнений: a11x1 + a12 x2 + a13x3

Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
Хотя метод Гаусса является точным методом, ошибки округления могут привести к существенным погрешностям результата. Кроме того исключение по формулам (3.7) нельзя проводить, если элемент главной ди

Вычисление определителя методом исключения Гаусса
Из курса линейной алгебры известно, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. В результате метода исключений Гаусса система линейных уравнений (3.2) с квадратн

Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса
Обратной матрицей к матрице A называется матрица A-1, для которой выполнено соотношение: A A-1 = E, (3.18) где

Метод простой итерации Якоби
Метод Гаусса обладает довольно сложной вычислительной схемой. Кроме того, при вычислениях накапливается ошибка округления, что может привести к недостаточно точному результату. Рассмотрим метод про

Метод Зейделя
Модификацией метода простых итераций Якоби можно считать метод Зейделя. В методе Якоби на (k+1)-ой итерации значения x, i = 1, 2, …, n. вычисляются подстановкой

Постановка задачи
Задача приближения (аппроксимации) функций заключается в том, чтобы для данной функции построить другую, отличную от нее функцию, значения которой достаточно близки к значениям данной функции. Така

Приближение функции многочленами Тейлора
Пусть функция y = f(x) определена в окрестности точки a и имеет в этой окрестности n + 1 производную. Тогда в этой окрестности справедлива формула Тейлора:

Интерполяция функции многочленами Лагранжа
Рассмотрим другой подход к приближению функции многочленами. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a, b] и известны значения этой функции в некоторой системе узл

Постановка задачи численного интегрирования
Далеко не все интегралы можно вычислить по известной из математического анализа формуле Ньютона - Лейбница: I == F(b) - F(a), (5.1) где

Метод прямоугольников
Формулу прямоугольников можно получить из геометрической интерпретации интеграла. Будем интерпретировать интеграл как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x

Метод трапеций
Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f(x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим

Метод Симпсона (метод парабол)
Заменим график функции y = f(x) на отрезке [xi, xi+1], i = 0, 2, … , n - 1, параболой, проведенной через точки (xi

Правило Рунге практической оценки погрешности
Оценки погрешности по формулам (5.4), (5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят от длины элементарного отрезка h, и при достаточно малом h справедливо приближенное равенство:

Постановка задачи Коши
Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: y (t) = f(t, y(t)). (6.1) Решением уравнения (6.1) являе

Метод Эйлера
Простейшим методом решения задачи Коши является метод Эйлера. Будем решать задачу Коши y (t) = f(t, y(t)). y(t0

Модифицированные методы Эйлера
Первый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции y в точках t = ti + с помощ

Метод Рунге - Кутта
Метод Рунге - Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге - Кутта. Рассмотрим задачу Кош