рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Философия
/
Метод Рунге - Кутта

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Метод Рунге - Кутта

Метод Рунге - Кутта - раздел Философия, Математическая модель. Решение нелинейных уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений Метод Рунге - Кутта Является Одним Из Наиболее Употребительных Методов Высоко...

Метод Рунге - Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге - Кутта.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения

y (t) = f(t, y(t))

с начальным условием y(t₀) = y_0.

Как и в методе Эйлера, выберем шаг h = и построим сетку с системой узлов t_i = t₀ + ih, i = 0, 1, …, n.

Обозначим через y_iприближенное значение искомого решения в точке t_i.

Приведем расчетные формулы метода Рунге - Кутта четвертого порядка точности:

y_i+₁ = y_i + h(k+ 2k+ 2k + k),

k = f(t_i, y_i),

k = f(t_i+ , y_i + k), (6.17)

k = f(t_i+ , y_i + k),

k = f(t_i+h, y_i + hk),

i = 0, 1, …, n.

Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге - Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так как метод Рунге - Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6) примет вид

R |y- y|. (6.18)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью . Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда будет выполнено условие:

R |y- y| < . (6.19)

Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.

Пример 6.4.

Методом Рунге - Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке [0, 1] следующей задачи Коши.

y (t) = 2ty, y(0) = 1. (6.20)

Возьмем шаг h = 0.1. Тогда n = = 10.

В соответствии с (6.17) расчетные формулы примут вид:

y_i+₁ = y_i + h(k+ 2k+ 2k + k),

k = 2t_iy_i,

k = 2(t_i+ )(y_i + k), (6.21)

k = 2(t_i+ )(y_i + k),

k = 2(t_i +h)(y_i + hk),

i = 0, 1, …, 10.

Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e, поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями _i = | y(t_i) - y_i|.

Найденные по формулам (6.21) приближенные значения решения y_iи их погрешности _i представлены в таблице 6.5:

Таблица 6.5


t_i	y_i	_i	t_i	y_i	_i
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5	1.01005 1.04081 1.09417 1.17351 1.28403	10^-9 410^-9 210^-8 610^-8 210^-7	0.6 0.7 0.8 0.9 1.0	1.43333 1.63232 1.89648 2.24790 2.71827	510^-7 210^-6 310^-6 610^-6 210^-5

Список литературы 1. Амосов А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1994. 2. Бахвалов Н. С. Численные методы. - М.: Наука, 1973. 3. Волков Е. А. Численные методы. - М.: Наука, 1987. 4. Дьяконов В. П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. - М.: Изд-во "СОЛОН", 1998. 5. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. 6. Копченова Н.В., Марон И. А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 1972.

7. Пирумов У.Г. Численные методы.: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 199

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математическая модель. Решение нелинейных уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Погрешность математической модели связана с ее приближенным описанием реального объекта Например если при моделировании экономической системы не... Исходные данные... Исходные данные как правило содержат погрешности так как они либо неточно измерены либо являются результатом...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Метод Рунге - Кутта

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Корректность
Определим вначале понятие устойчивости решения. Решение задачи y* называется устойчивым по исходным данным x*, если оно зависит от исходных данны

Вычислительные методы
Под вычислительными методами будем понимать методы, которые используются в вычислительной математике для преобразования задач к виду, удобному для реализации на ЭВМ. Подробнее с различными к

ЛЕКЦИЯ 9
Тема: Элементы теории погрешностей Определение. Пусть u и — точное и приближенное значение некоторой величины соответственно. Тогда абсолютной погрешностью п

Метод деления отрезка пополам является самым простым и надежным способом решения нелинейного уравнения.
Пусть из предварительного анализа известно, что корень уравнения (2.1) находится на отрезке [a0, b0], т. е. x*[a0, b0], так, что f(x

Пусть уравнение (2.1) можно заменить эквивалентным ему уравнением
x = (x). (2.4) Например, уравнение - 0.5 = 0 можно заменить эквивалентным ему уравнением x = 0.5sinx. Выберем каким-либо образом начальное прибл

Метод Ньютона (метод касательных)
вать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство |xn - xn -

Метод ложного положения
Рассмотрим еще одну модификацию метода Ньютона. Пусть известно, что простой корень x* уравнения f(x) = 0 находится на отрезке [a, b] и на одном из ко

Постановка задачи
Требуется найти решение системы линейных уравнений: a11x1 + a12 x2 + a13x3

Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
Хотя метод Гаусса является точным методом, ошибки округления могут привести к существенным погрешностям результата. Кроме того исключение по формулам (3.7) нельзя проводить, если элемент главной ди

Вычисление определителя методом исключения Гаусса
Из курса линейной алгебры известно, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. В результате метода исключений Гаусса система линейных уравнений (3.2) с квадратн

Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса
Обратной матрицей к матрице A называется матрица A-1, для которой выполнено соотношение: A A-1 = E, (3.18) где

Метод простой итерации Якоби
Метод Гаусса обладает довольно сложной вычислительной схемой. Кроме того, при вычислениях накапливается ошибка округления, что может привести к недостаточно точному результату. Рассмотрим метод про

Метод Зейделя
Модификацией метода простых итераций Якоби можно считать метод Зейделя. В методе Якоби на (k+1)-ой итерации значения x, i = 1, 2, …, n. вычисляются подстановкой

Постановка задачи
Задача приближения (аппроксимации) функций заключается в том, чтобы для данной функции построить другую, отличную от нее функцию, значения которой достаточно близки к значениям данной функции. Така

Приближение функции многочленами Тейлора
Пусть функция y = f(x) определена в окрестности точки a и имеет в этой окрестности n + 1 производную. Тогда в этой окрестности справедлива формула Тейлора:

Интерполяция функции многочленами Лагранжа
Рассмотрим другой подход к приближению функции многочленами. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a, b] и известны значения этой функции в некоторой системе узл

Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами (xi

Постановка задачи численного интегрирования
Далеко не все интегралы можно вычислить по известной из математического анализа формуле Ньютона - Лейбница: I == F(b) - F(a), (5.1) где

Метод прямоугольников
Формулу прямоугольников можно получить из геометрической интерпретации интеграла. Будем интерпретировать интеграл как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x

Метод трапеций
Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f(x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим

Метод Симпсона (метод парабол)
Заменим график функции y = f(x) на отрезке [xi, xi+1], i = 0, 2, … , n - 1, параболой, проведенной через точки (xi

Правило Рунге практической оценки погрешности
Оценки погрешности по формулам (5.4), (5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят от длины элементарного отрезка h, и при достаточно малом h справедливо приближенное равенство:

Постановка задачи Коши
Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: y (t) = f(t, y(t)). (6.1) Решением уравнения (6.1) являе

Метод Эйлера
Простейшим методом решения задачи Коши является метод Эйлера. Будем решать задачу Коши y (t) = f(t, y(t)). y(t0

Модифицированные методы Эйлера
Первый модифицированный метод Эйлера. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляются вспомогательные значения искомой функции y в точках t = ti + с помощ