Види понять

 

Ділення понять на види здійснюється за змістом та обсягом.

По змісту поняття діляться на конкретні і абстрактні, позитивні і негативні, співвідносні і безспіввідносні .

 

Конкретні поняття – це поняття, в яких мисляться предмети і явища в їх цільності.

 

Це, наприклад, такі поняття як „економіка”, „університет”, „ректор”.

 

Абстрактні – це поняття, в яких відтворюються властивості або відношення між предметами.

 

Дані відношення і властивості самостійно не існують. Абстрактними поняттями, наприклад, є „електропровідний”, „гідний”, „боязливий”. Якщо мова йде про електропровідність, то мається на увазі електропровідність якогось предмета.

Слід зазначити, що кожне поняття, в іншому сенсі, є абстрактним, бо його формування здійснюється шляхом абстрагування від неістотних ознак і виділення найбільш загальних, істотних ознак.

 

Позитивні поняття - це поняття, в яких відтворюються ознаки, що притаманні предметам чи явищам.

 

Наприклад: „охайний”, „юридичний”, „депутат”.

 

Негативні – це поняття, в яких виражається відсутність у предмета тих чи інших ознак, властивостей.

 

Наприклад: такі поняття як „неграмотний”, „необачливий”, „недієздатний” є негативними, бо в них говориться про відсутність у предметів певних ознак.

Зміст і обсяг негативних понять визначається через їх відношення до відповідних позитивних понять. Так, зміст негативного поняття ”безвідповідальність” можна визначити через зміст позитивного поняття „відповідальність”. Негативні поняття можуть виражатися з допомогою таких часток як „не”, „без”, „а” та ін.

Наприклад: „небезпечний”, „безініціативний, „аморальний”.

Поняття з точки зору логіки можуть бути позитивними, а з точки зору моралі негативними. Поняття „крадій” є позитивним, бо в ньому виражається належність ознаки предмету, а з точки зору моралі воно є негативним.

Співвідносними називають поняття зміст одного з яких можна визначити тільки через відношення до іншого поняття.

 

Наприклад: „плюс” і „мінус”, „добро” і „зло”, „асиміляція” і „дисиміляція”. Дійсно, поняття „плюс” немає ніякого сенсу без поняття „мінус” і навпаки.

 

Безспіввідносними називаються поняття, зміст яких розкривається без відношення до яких-небудь інших понять.

 

Це, наприклад, такі поняття як „суспільно-економічна формація”, „столиця”, „студент” та ін.

За обсягом поняття поділяються на одиничні і загальні, а також пусті, непусті, збірні, незбірні.

 

Одиничним називається поняття, в якому мислиться один предмет.

Наприклад: “Земля”, “Конституція України”, “Кобзар” тощо.

 

Загальним називається поняття, в якому мислиться більше одного предмета.

Наприклад: “людина”, “країна”, “планета”, тощо.

Пустими називаються поняття в яких мисляться предмети реально неіснуючі.

 

Це поняття з нульовим обсягом. Наприклад: „вічний двигун”, „дерев’яне залізо” та ін.

Загальні поняття можуть бути реєструючими і нереєструючими.

 

Збірні поняття відображають істотні ознаки деякої групи предметів, а не ознаки окремого предмета який є складовою частиною певної групи.

Збиральними поняттями , наприклад, є „студентська група”, „партизанський загін”, „популяція”.

 

Незбірні поняття - це поняття в яких мисляться перш за все ознаки окремого предмета тієї чи іншої групи предметів.

 

Наприклад: „конституція України”, „перший космонавт світу”, „Дніпро”.

 

2.6. Відношення між поняттями

 

По характеру ознак і відношень, які відображаються в поняттях, вони діляться на порівнювані і непорівнювані. Порівнювані поняття у своєму змісті і обсязі мають дещо спільне. Між поняттями „електрон” і ”позитрон” спільним є те що в них відображаються дві елементарні частки і тому вони є порівнюваними. В непорівнюванихпоняттях спільних ознак немає. Не можна, наприклад, визначити що є спільним між поняттями „комп’ютер” і „інфляція”. Правда, можна сказати, що спільним між ними є те, що це дві форми мислення, в яких відображаються реально існуючи предмети. Але з точки зору логіки, як було зазначено, спільне між поняттями виражається між їх ознаками та обсягом.

Порівнювані поняття бувають сумісні й несумісні. У сумісних поняттях обсяг цілком або частково співпадає, а зміст різний.

У несумісних поняттях обсяг не співпадає. Між сумісними поняттями є три види відношень: тотожності, перехрещення, підпорядкування.

 

Відношення тотожності існує між поняттями, які мають один і той же обсяг, але різний зміст.

 

Графічно їх відношення можна виразити за допомогою двох кругів, які повністю збігаються (рис. 1).

 

Рис. 1

 

А і В - рівнозначні поняття, а круг їх спільний обсяг.

Наприклад: “засновник науки логіки” і “Вчитель Олександра Македонського” або “Київ” і “столиця України”.

 

Відношення перехрещенняіснує між поняттями, обсяги яких збігаються частково, неповністю.

Графічно це відношення зображується на рис. 2.

 

Рис. 2

 

А і В – це поняття, які перехрещуються, а частина яка заштрихована позначає співпадання їх обсягів. У відношенні перехрещення будуть такі поняття як „художник” і „скульптор”, „економіст” і „декан”, „офіцер” і „футболіст”.

 

У відношенні підпорядкування знаходяться поняття обсяг одного з яких повністю входить в обсяг іншого поняття.

 

Наприклад: “адвокат” і “юрист”, “засіб виробництва” і “рабовласницький засіб виробництва”. Графічно це відношення між поняттями зображене на рис. 3.

 

Рис. 3

 

Поняття, яке є більшим по обсягу, називають підпорядковуючим, а поняття з меншим обсягом - підпорядкованим. Якщо у відношенні підпорядкування знаходяться загальні поняття, то підпорядковуюче поняття називається родом, а підпорядковане - видом. А якщо у відношенні підпорядкування знаходяться загальне і одиничне поняття, то загальне буде видовим, а одиничне індивідуальним.

Наприклад: загальне поняття „полководець” буде видовим по відношенню до поняття „полководець Богдан Хмельницький”, яке є індивідуальним. Одне і теж поняття може бути як видовим, так і родовим.

Наприклад: поняття „планета” буде родовим по відношенню до поняття „планета Земля”, а по відношенню до поняття „небесне тіло” буде видовим.

 

Несумісні поняття знаходяться в таких відношеннях як відношення протилежності (контрарності), суперечності (контрадікторності), супідрядності (координації).

 

Відношення протилежності існує між двома поняттями, в одному із яких заперечуються ознаки іншого через заміщення новими, несумісними з ним ознаками.

 

Рис. 4

 

У відношенні протилежності, наприклад, будуть такі поняття як „чорний” і „білий”, „добрий” і „злий”, „малолітній” і „повнолітній”. Кожне з протилежних понять виражає належність у предметів певних ознак, які є протилежними і які не виключають обсягу родового поняття. Так, у родовому понятті „колір” окрім білого і чорного мислиться і такий колір як синій, жовтий, червоний та ін.(рис. 4)

 

Відношення суперечності існує між двома поняттями, в одному з яких просто заперечуються ознаки іншого поняття без ствердження нових ознак.

 

Рис. 5

 

Відношення суперечності є між такими поняттями як „грамотний” і „неграмотний”, „електропровідний” і „неелектропровідний”, „справедлива війна” і „несправедлива війна” Відношення між поняттями, які знаходяться у відношенні суперечності зображено на рис. 5.

Із схеми видно, що позитивне поняття А і негативне поняття не-А виключають весь обсяг родового поняття „війна”. Тому між двома суперечливими поняттями не може бути третього. Проміжного поняття.

 

У відношенні супідрядності знаходяться два або більше неперехрещуванних понять, підпорядкованих родовому для них поняттю.

 

Наприклад: „феодальний засіб виробництва”, „капіталістичний засіб виробництва”, „засіб виробництва”; „шахрай”, „крадій”, „розбійник”, „злочинець”. Круговими схемами це відношення зображено на рис. 6.

Рис. 6

 

А – засіб виробництва

В – феодальний засіб виробництва

С – капіталістичний засіб виробництва

Обсяг супідрядних понять не збігається і не завжди співпадає з обсягом родового поняття, якому вони підпорядковані.

 

Схема типології понять за логічним відношенням

 

супідрядності

підпорядкування

Рис.7

2.7. Логічні операції над поняттями

Логічна операція над поняттями – це процес формування нового поняття з допомогою інших понять.

 

Розглянемо такі логічні операції над поняттями:

а) обмеження й узагальнення понять;

б) визначення понять;

в) поділ понять;

г) операції з класами.

 

а) Обмеження й узагальнення понять

Щоб обмежити поняття необхідно перейти від поняття з більшим обсягом до поняття з меншим обсягом, від родового до видового поняття.

 

Наприклад: „підприємство” – „прибуткове підприємство”, “людина” – “жінка”.

Обмеження поняття полягає в тому, що до родового поняття добавляється одна або декілька істотних ознак. В наведеному прикладі до поняття „підприємство” добавилась одна ознака – „прибуткове”.

 

Щоб узагальнити поняття необхідно перейти від поняття з меншим обсягом, але з більшим змістом до поняття з більшим обсягом, але з меншим змістом.

 

Наприклад: „ринкова економіка” – „економіка.” Нове поняття по відношенню до вихідного буде родовим, більшим по обсягу, але меншим за змістом , бо втрачена така ознака як „ринкова”.

Узагальнення і обмеження поняття не може бути безмежним. Межею узагальнення є найбільш широка по обсягу категорія – „буття”, а межею обмеження – окремий предмет якогось класу предметів.

Наприклад: „юрист” – „юрист прокуратури” – „юрист районної прокуратури” – „адвокат Петренко М.Г.” Якщо йдеться про одну й ту ж людину, то обмежити поняття „адвокат Петренко М.Г.” неможливо.

 

б) Визначення понять.

Визначенням або дефініцією (від лат. definitio) називається логічна операція, в якій розкривається зміст поняття, його суттєві ознаки.

 

Поняття, зміст якого визначається, називається визначуваним (дефінієндумом, скорочено Dfd). Поняття або сукупність понять, які розкривають зміст визначуваного поняття, називаються визначаючими (дефінієнсом, скорочено Dfn ).

Визначення поняття виконує три важливі пізнавальні функції. По –перше, у визначенні розкривається зміст і обсяг поняття; по-друге, указується на відмінність, предмета, який визначається, від усіх інших предметів; по-третє, уточнюється значення терміна, яким позначається предмет. Визначити поняття - значить перерахувати його істотні ознаки, які виражають природу предмета та його відмінність від інших предметів. Є різні визначення понять.

 

Реальним (від лат. realis) називається визначення, у якому визначаємий предмет виділяється із класу подібних предметів по його відмінним ознакам.

Коли ми говоримо, що логіка це наука, яка вивчає закони і форми людського мислення, то якраз і указуємо в чому специфіка даної науки в порівнянні з психологією, педагогікою, антропологією та іншими науками, які вивчають мислення людини.

 

Номінальним (від лат. nomina –ім’я) називається визначення, в якому розкривається, уточнюється значення терміна, який вводиться в науку.

 

Наприклад: гносеологія – це термін, яким позначають розділ філософії, що вивчає питання пізнаваності світу.

Номінальні і реальні визначення виконують різні функції. В реальному визначенні розкриваються істотні ознаки предмета, а в номінальному розкривається значення терміна, яким позначають той чи інший предмет. Але і в номінальному визначенні можуть указуватися істотні ознаки предмета.

Наприклад: у номінальному визначенні “гуманізм” – це термін, яким називають вчення, в якому стверджується, що людина це найвища цінність і що кожна людина має право на щастя, свободу, визначаються суттєві ознаки гуманізму. Дане визначення можна перетворити у реальне: “гуманізм – це вчення, у якому стверджується, що людина це найвища цінність і що кожна людина має право на щастя і свободу”.

Існують також явні і неявні визначення.

 

Явними називаються такі визначення, в яких з’ясовується питання про належність чи неналежність істотних ознак дефінієндуму.

 

В даних визначеннях дефінієндум чітко визначається дефінієнсом. В неявних визначеннях зміст дефінієндума розкривається на основі певного контексту.

Наприклад: поняття „власність” можна визначити в певному параграфі підручника по економічній теорії, де йде мова, скажімо, про суспільну, колективну та інші форми власності.

Часто неявне визначення використовується при перекладі тексту з іноземної мови, коли значення невідомого терміна з’ясовується із уривку, який перекладається без використання словника.

 

Визначення через рід і видову відмінність – це визначення, в якому визначуване поняття підводиться під більш широке по обсягу поняття, що є найближчим його родом і вказуються ознаки, по яким визначуване поняття відрізняється від інших понять даного роду.

 

Родове поняття містить у собі деяку частину ознак визначуваного поняття.

Наприклад: для поняття „крадіжка” родовим поняттям буде поняття „злочин”, а для поняття „адвокат” – „юрист”.

Ми допустимо логічну помилку, якщо при визначенні поняття обмежимося тільки підведенням визначуваного поняття під родове. Потрібно обов’язково вказати на його відмінні ознаки. Так, відмінною ознакою поняття „крадіжка” є тайне привласнення чужого майна.

Визначення через род і видову відмінність найбільш розповсюджений вид визначення, який широко застосовується в різних науках, в тому числі в економічних і юридичних.

Наприклад: в економічній теорії поняття, „виробничі відносини” визначається як відносини (родове поняття), які складаються між людьми в процесі виробництва, обміну, розподілу та споживання матеріальних благ (видова відмінність).

 

Генетичним (від грецького слова genesis – походження, джерело) називається визначення, в якому указується на походження предмета, спосіб його формування.

 

Наприклад: в математиці поняття куля визначається як геометричне тіло, яке утворюється внаслідок обертання кола навкруги одного із своїх діаметрів.

У генетичному визначенні як і в родовидовому визначенні є дефінієндум і дефінієнс. Але на відміну від родовидового визначення поняття в генетичному визначенні суттєві ознаки поняття визначаються засобом вказівки на походження чи виникнення предмета.

 

Визначення через відношення предмета до своєї протилежності. Дане визначення використовується при визначенні найбільш широких по обсягу понять – категорій, коли немає можливості підвести дефінієндум під родове поняття.

 

Наприклад: у філософії поняття „реальність” визначається як реалізована можливість. В даному випадку категорії реальність протиставляється протилежна категорія можливість. Категорія свобода визначається як усвідомлена необхідність. Категорія свобода протиставляється категорії необхідність.

 

У функціональному визначенні визначається призначення предмета, його роль та функції.

 

Наприклад: розкриваючи зміст поняття середній термін простого категоричного умовиводу ми не тільки стверджуємо, що він є загальним для обох засновків, але й зазначаємо, що він виконує функцію посередника між більшим і меншим засновками. Визначаючі поняття “анемометр” ми стверджуємо, що це прилад, який виміряє силу вітру.

 

У визначенні через перелік предметів або явищ називаються предмети, які входять до складу обсягу поняття, що визначається.

 

Наприклад: „Близькі родичі – це батьки, діти, усиновителі, рідні брати і сестри, дід, баба, онуки, а також дружина.”

Є такі способи визначення понять, які не в повній мірі відносяться до визначень. До них відносяться: остенсивне визначення, опис, характеристика.

 

В остенсивному визначенні (лат. ostendere - показувати) дається вказівка на предмет і його назву, або називаються елементи, з яких складається предмет.

 

Остенсивне визначення використовується і в процесі спілкування з людьми, які говорять на незнайомій один одному мові. В таких випадках показується незнайомий предмет і одночасно промовляється слово, яким позначається даний предмет.

 

В описі перераховуються ознаки предметів чи явищ, які визначаються, причому як суттєві так несуттєві.

 

Опис використовується в науково-дослідницькій діяльності, коли описуються експериментальні процеси чи природні явища; в художній літературі, коли описуються герої, історичні події тощо; в судово-слідчий діяльності, коли описуються місце і події, пов’язані із злочином, риси злочинця.

 

В характеристиці, на відміну від опису, фіксуються найбільш важливі, істотні ознаки предмета.

 

Наприклад, коли дається характеристика епохи Відродження, то указуються такі її суттєві ознаки як виникнення капіталістичного засобу виробництва, розвиток науки, мистецтва та ін. В характеристиці людини теж указуються суттєві ознаки: місце і рік народження, освіта, спеціальність, моральні, вольові та інші якості.

 

в) Правила визначення понять.

1. Визначення повинно бути співмірним – це означає, що обсяг визначуваного поняття має дорівнювати обсягу визначаючого поняття.

 

Інакше кажучи, обсяг Dfd і Dfn повинні бути однаковими .

Наприклад: визначення: „Крадіжка є тайне привласнення чужого майна” – співмірне, бо обсяг поняття „крадіжка” дорівнює обсягу „тайне привласнення чужого майна”.

Коли порушується правило співмірності визначення, то можливі помилки “надто широкого визначення і надто вузького визначення”.

Помилка надто широкого визначення виникає у випадку коли обсяг Dfn є ширшим, а ніж обсяг Dfd. Прикладом цієї помилки є визначення: „Квадрат – прямокутник з рівними сторонами”. Обсяг поняття „квадрат” і „прямокутник з рівними сторонами” не є тотожними, бо ромб це теж фігура, яка має рівні сторони.

Помилка надто вузького визначення виникає у випадку коли обсяг Dfn є вужчим, ніж обсяг Dfd. Прикладом цієї помилки є визначення: „ Потерпілий – це особа, якій злочином нанесена фізична шкода”. Поняття „особа, якій злочином нанесена фізична шкода” менше по обсягу від поняття „потерпілий”, бо потерпілому може бути нанесена і моральна і майнова шкода.

 

2. Дефініція не повинна здійснюватися „по кругу”. Порушення даного правила має місце тоді, коли Dfd визначається через Dfn, а Dfn теж може бути визначеним через Dfd .

 

Прикладом порушення даного правила є визначення: „Логічне мислення – це правильне мислення”, а „Правильне мислення - логічне мислення”. В даному прикладі зміст визначуваного поняття розкривається через визначаюче, а зміст визначаючого поняття в свою чергу може бути розкритий через визначаюче.

Різновидністю визначення „по кругу” є тавтологія (лат. tauto– теж саме, loqos – слово) – помилкове визначення, в якому визначаюче поняття повторює визначуване.

Наприклад: „Шахрай – це людина, яка займається шахрайством”, „Виробничі відносини – це відносини, які складаються в процесі виробництва”. Такі помилки називаються “теж через теж” (лат. idem per idem).

Інколи зустрічаються вирази, які по формі схожі з тавтологією, але по змісту вони від неї відмінні.

Наприклад: вираз: „На війні як на війні” має вигляд тавтології, а зміст його полягає в тому, що на війні великі труднощі, гине багато людей і таке ін. Вираз „закон є закон” теж не є тавтологією, він є виразом, в якому стверджується думка про те, що до закону потрібно відноситися як до закону, його потрібно додержуватися.

 

3. Визначення по можливості не повинно бути заперечуваним. Дане правило ґрунтується на тому, що задача визначення полягає в тому, щоб розкрити істотні, найбільш загальні ознаки поняття. В заперечуваному визначенні лише говориться про ознаки, які непритаманні поняттю, що визначається.

 

Наприклад: „Психологія – це не педагогіка”, „Кажан – це не птиця”.

Слід зазначити, що бувають випадки, коли в науці більш важливе значення має вказівка на те, які ознаки непритаманні поняттю.

Наприклад: „Паралельні лінії – це такі лінії, які лежать на одній площині і які не перетинаються при необмеженому продовженні в обидва боки”. Бувають випадки коли поняттю не можна дати ніякого визначення, окрім заперечуваного.

Наприклад: Евклід визначив поняття „точка” як те, що не можна розділити на частини.

 

4. Дефініція повинна бути чіткою, ясною, вільною від двозначностей.

 

Перш за все зазначимо, що визначення не повинно даватися з допомогою таких понять, які самі не є чітко визначеними.

Наприклад: „Трансцендентальна єдність апперцепції у І.Канта – це категоріальний синтез, який відбувається в голові людини апріорі”. Чіткості у даному визначенні немає тому, що невизначеними є поняття „категоріальний синтез”, „апріорі”. Нечітким буде і таке визначення: „Індетермінізм – це філософська концепція, яка є протилежною детермінізму”. У даному визначенні поняття детермінізм теж потребує визначення.

В процесі визначення понять не повинні використовуватися метафори, образні порівняння. Такі визначення як „Діти – квіти життя”, „Зв’язок – це нерв армії”, „Бібліографія - це дивовижна галузь діяльності, вона виховує абсолютну точність, ерудицію і ґрунтовність, ґрунтовність у всьому” теж є нечіткими.

 

г) Поділ понять.

Логічна операція, за допомогою якої розкривається обсяг родового поняття через перелік його видів або елементів називається діленням поняття.

 

Наприклад: обсяг поняття „форма мислення” можна розділити на такі його складові як поняття, судження, умовивід.

Операція ділення понять використовується в пізнавальній діяльності для виділення можливих видів предметів на певній основі, що дає можливість в процесі формування поняття уточнити його зміст і обсяг.

В процесі ділення поняття слід виділяти поділюване поняття, підставу поділу, члени поділу.

 

Поділюваним називається поняття, обсяг якого потрібно розділити.

Підставою поділу є ознака, за якою здійснюється розподіл обсягу родового поняття на види або елементи.

Членами ділення називають видові поняття або елементи, на які розподіляють ділене поняття.

 

Наприклад: у поділі поняття „судження” на одиничні, часткові і загальні ділене поняття – судження, підстава поділу - кількість мислимих у суб’єкті предметів, члени поділу – одиничні, часткові і загальні судження.

Поділ поняття не повинен зводитись до мисленого розчленування цілого на частини.

Наприклад: у діленні: „Поняття рік ділиться на дванадцять місяців” ціле розподіляється на частини. А в діленні: „Поняття роки діляться на високосні і не високосні” обсяг поняття розподіляється на видові поняття.

Є два види поділу понять: поділ за видозмінюваною ознакою і дихотомічний поділ.

 

Поділ за видозмінюваною ознакою - поділ, в якому підставою поділу вибирається та ознака, по якій формуються видові поняття.

 

Наприклад: „Поняття бувають абстрактними, конкретними, позитивними, негативними, співвідносними, безвідносними”. В даному діленні видозмінюваною ознакою є тип елементів обсягу поняття як форми мислення.

 

Дихотомічним (грец. dicha – на дві частини і tome – переріз) називається ділення за допомогою якого формуються два суперечних поняття, які і є членами поділу.

 

Наприклад: „Дії людини можуть бути усвідомленими і неусвідомленими”, „Держави бувають демократичними і недемократичними”.

 

д) Правила поділу понять.

1. Поділ поняття повинен бути співмірним, тобто сума обсягів членів поділу повинна дорівнювати обсягу поділюваного поняття. Порушення даного правила призводить до двох помилок: „занадто вузький поділ” і „занадто широкий поділ”. Перша помилка має місце тоді, коли в результаті поділу не виділені усі види поділюваного поняття.

 

Наприклад: „типи вищої нервової діяльності” – це „холерик”, „сангвінік”, „флегматик”. Тут пропущений четвертий член поділу – „меланхолік”. Тому сума обсягів членів поділу не вичерпує обсягу діленого поняття. Це можна зобразити таким чином:

А> а₁ + а₂ +а₃

А – поділюване поняття;

а₁, а₂, а₃ - члени ділення.

 

2. Ділення поняття повинно здійснюватись на одній і тій підставі.

 

Наприклад: якщо ми ділимо поняття „народ України” по національній ознаці і в результаті поділу одержуємо такі члени ділення як українці, росіяни, євреї, пенсіонери, військовослужбовці, молодь, то останні три члени ділення це результат ділення по соціальній ознаці, а не по національній.

 

3. Члени ділення повинні виключати один одного. Ділиме поняття і члени ділення повинні знаходитися у відношенні координації, тобто, якщо один і той же член ділення буде входити одночасно в обсяги інших понять, то ділення буде неправильним.

 

Наприклад: ділення поняття „Озера бувають прісними і солоними” є вірним, тому що його члени не тільки обсяг ділимого поняття але й виключають один одного.

 

4. Ділення повинно бути безперервним або послідовним, тобто членами ділення повинні бути однопорядкові по відношенню до ділимого поняття види. Коли поряд з видами першого порядку називаються види інших порядків, виникає помилка, яка називається стрибок у діленні.

 

Наприклад: „Злочини людей бувають цілеспрямованими, нецілеспрямованими і посадовими” буде невірним, бо спочатку злочини діляться на цілеспрямовані і нецілеспрямовані, а потім останні діляться на посадові і не посадові.

 

е) Операції з класами.

Операція з класами - це теж дія, з допомогою якої із одних понять отримують інші поняття.

 

Між класами є такі операції: а) об’єднання; б) перетину (множення); в) віднімання; г) доповнення.

- об’єднання класів (складання), – перетин класів (помноження), (не - А) – доповнення до класу А.

 

Операція об'єднання полягає в об'єднанні двох або декількох класів в один клас, який складається із тих і тільки тих елементів, які належать хоча б одному із об'єднуваних класів.

 

Наприклад: при об'єднанні класів “депутати” і “міністри” ми одержимо універсальний клас, який об'єднує усіх міністрів і депутатів.

Операція об'єднання класів записується з допомогою знака складання А В (рис. 8).

 

Рис. 8

 

Таблиця об’єднання класів дана на рис. 9.

Таблиця об’єднання понять

Види відношень між поняттями	Вихідні поняття	Результат додавання у формальному вигляді	Результат додавання понять у діаграмах Ейлера
Тотожні	А – автор Кобзаря В – Т.Г.Шевченко	А А = А = В
Підпорядко- вані	А – місто В – столиця	А ∪ В = А
Перехресні (перетину)	А – студент В - спортсмен	А ∪ В = А ∪ В¢= = В ∪ А¢
Супідрядні	А – суддя В – прокурор С - юрист	А ∪ В = А ∪ В
Протилежні	А – суспільна власність В – приватна власність	А ∪ В = А ∪ В
Суперечні	А – феодальний засіб виробництва В – не феодальний засіб виробництва	А ∪ В = А ∪ не-А

Рис. 9

Перетином класів (позначається А В) є клас, який складається із тих і тільки тих елементів, які належать як до класу А так і до класу В.

 

Графічно операція перетину класів зображується на рис. 10:

 

Рис. 10

 

Наприклад:

поняття А – живописець,

поняття В – скульптор,

поняття С – скульптор-живописець.

Операція перетину класів полягає в знаходженні спільних елементів двох або більшої кількості класів.

Перетину класів відповідає операція над поняттями, яку називають помноженням понять. Її можна здійснювати тільки над сумісними поняттями.

Таблиця перетину класів дана на рис. 11.