Свободное кручение тонкостенных стержней замкнутого профиля

Пусть стержень имеет замкнутую форму контура сечения, которое по длине стержня постоянно (рис 6.2). Поверхность, делящая толщину стенки пополам, называется срединной поверхностью стержня. Линия пересечения срединной поверхности и поперечного сечения называется средней линией тонкостенного поперечного сечения (или его контуром). Вследствие малости толщины контура касательные напряжения распределены по толщине равномерно. Толщина стенки в общем случае является переменной вдоль контура сечения те . Поскольку боковая поверхность сечения свободна от напряжений, то по закону о парности касательных напряжений, равные им напряжения, направленные по нормали к контуру также отсутствуют. Касательные напряжения действуют только по касательной к контуру. Произведение называется потоком касательных сил. Поток имеет размерность и представляет собой силу, приходящуюся на единицу длины контура.

Для определения связи между касательным напряжением и вызывающим его крутящим моментом рассмотрим равновесие части стержня вырезанной из него поперечными и продольными сечениями, проведенными в произвольных точках и контура (рис 63). По закону о парности касательных напряжений в продольных площадках стенки возникают такие же напряжения, как и в поперечном сечении. Проецируя все силы но ось стержня , для данной части стержня получим . Поскольку точки и выбраны произвольно то , т.е. при свободном кручении интенсивность потока касательных усилий вдоль замкнутого контура сечения постоянна для всей длины контура сечения.

Суммарный момент относительно оси создаваемый потоком усилий по всему контуру соответствует внутреннему крутящему моменту . В соответствии с рис. 6.4 и получим где - удвоенная площадь сектора в виде элементарного треугольника с основанием ; - удвоенная площадь, охватываемая контуром сечения.

Окончательно формула для касательных напряжений принимает вид (формула Бредта).

Поскольку при выводе этой формулы использовались только уравнения статики, то задача по определению касательных напряжений при свободном кручении стержня замкнутого одноконтурного сечения является статически-определимой.

В частном случае, для круглого тонкостенного сечения формула для касательных напряжений принимает вид .