Жесткость тонкостенных стержней замкнутого профиля при свободном кручении

Для того, чтобы определить угол закручивания используем равенство , где - потенциальная энергия деформация элемента длиной , - работа моментов , вызвавших деформацию элемента, которой является чистый сдвиг с напряжением . Энергия деформации, сосредоточенная в точке (плотность энергии) при чистом сдвиге будет , тогда для элемента стержня размером энергия имеет вид . Проинтегрировав по замкнутому контуру и использовав формулу Бредта, получим значение потенциальной энергии .

Работу момента получим как площадь диаграммы, определяющей связь между крутящим моментом и углом закручивания по закону Гука . Используя равенство , получим , где является жесткостью замкнутого сечения при свободном кручении.

В частном случае, жесткость круглого тонкостенного сечения равна .

Для замкнутого квадратного сечения, при : .

Для такого же стержня открытого сечения (если в произвольной стенке имеется разрез), при , получим Их отношение .

Например, при получим .

Таким образом, при одинаковых условиях углы закручивания замкнутого сечения будут в 300 раз меньше, чем у стержня с прорезью. Также распределения касательных напряжений будут существенно различаться, а деформация открытого профиля будет сопровождаться сильной депланацией.

Пример №1

Сравнить жесткость и прочность открытого и замкнутого круглого тонкостенного профиля при кручении (рис) для

Решение

Характеристики жесткости и прочности открытого профиля вычисляется по формулам и

Характеристики жесткости и прочности замкнутого профиля вычисляется по формулам и

Тогда и

Пример №2

Проверить выполнение условия прочности при кручении стержня двутаврового профиля и определить максимальный угол закручивания возникающий при этом

Решение:

Момент сопротивления при кручении стержней открытого профиля определяется по формуле

Тогда и условие прочности не выполнено.

Геометрическая характеристика жесткости сечения определяется по формуле , а угол закручивания равен . Такое большое значение угла означает плохую работу стержней тонкостенного открытого поперечного сечения на кручение.