рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Вид работы: Лекции
/
Бесконечно малые функции и их свойства

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Бесконечно малые функции и их свойства

Бесконечно малые функции и их свойства - Лекция, раздел Образование, Предел функции в точке и при Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций Определение 3. Функция Называется Бесконечно Малой Функци...

Определение 3. Функция называется бесконечно малой функцией в точке или функцией класса , если При этом пишут Таким образом,

Например, функция а функции не являются функциями класса

Теорема 3. Имеют место следующие свойства класса

Если то т.е.

Доказательство. Свойство очевидно. Докажем свойство (другие свойства доказываются аналогично). Пусть и Тогда для произвольного существуют числа такие, что

Выберем Тогда будут иметь место одновременно неравенства (2) и (3). Складывая их, получим, что

Это и означает, что т.е. верно свойство . Теорема доказана.

Следующая теорема устанавливает связь между бесконечно малыми функциями и функциями, имеющими предел при

Теорема 4. Если существует (конечный) предел то Обратно: если функция представляется в виде то имеет предел в точке и

Доказательство. Существование предела эквивалентно высказыванию

Высказывание (4), в свою очередь, эквивалентно тому, что функция т. е. что Теорема доказана.

Замечание 2. Равенство называют асимптотическим разложением функции имеющей предел в точке

И, наконец, дадим определение предела функции в бесконечности. Сделаем это кратко.

Определение 4. Множества

называются окрестностями точек соответственно. Следующие высказывания являются определениями предела функции в бесконечности:

Перейдем теперь к обоснованию арифметических действий над пределами.

Теорема 5. Если существуют (конечные) пределы то и существуют пределы при этом

Если (кроме существования пределов и ) выполняется ещё условие то существует предел причем

Доказательство. Докажем, например, теорему о пределе произведения. Так как существуют пределы то по теореме 4 имеют место асимптотические разложения Умножая эти равенста друг на друга, будем иметь Поскольку то (см. теорему 3). Далее, поскольку то функция представляется в виде По теореме 14 отсюда следует, что существует предел произведения при и он равен

Теорема доказана.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Предел функции в точке и при Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций

Лекция Предел функции в точке и при Односторонние пределы Действия над пределами Бесконечно малые функции таблица эквивалентных бесконечно... Обозначения...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Бесконечно малые функции и их свойства

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Понятие функции
Пусть даны два множества и Определение 1.Говорят, что на множеситве задана функция отображающая множество в множество если каждому элементу поставлен в

Предел функции
Сначала дадим понятие предела функции в конечной точке Различают проколотую - окрестность точки которая определяется как симметричный интервал с выброшенной точкой

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки Определение 5. Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) при если для всякого существует чи

Непрерывность функции в точке
Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Определение 2. Функция называется непрерывной в точке если т.е. если

Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
На рисунке изображены график функции точки секущая, касательная к кривой углы Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности . Сместимся из точки в точку Величина назы

Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
Приведем без доказательства некоторые утверждения, связанные с производными. Теорема 5.Пусть сложная функция определена в точке и некоторой ее окре

Производные простейших элементарных функций
Используя определение 4 производной, а также теоремы 6 и 7, можно доказать следующее утверждение. Теорема 8.В области определения соответствующих функци

Производные и дифференциалы высших порядков
Производная есть сама функция от поэтому можно взять от нее производную. Полученная таким образом функция (если она существует) называется второй производной от функции и обозначается И вообще:

Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
При вычислении пределов функций мы использовали таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела мы использовали формулы Однако этих формул не достаточно для вычисления пр

Правило Лопиталя
Другой способ раскрытия неопределенностей типаили доставляет так называемое правило Лопиталя, к изложению которого мы переходим. Теорема Лопиталя

Свойства функций, непрерывных на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке если а) она непрерывна в любой точке а на концах и отрезка непрерывна справа и слева соответственно, т.е. Функции, непрерывные

Локальный экстремум
Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности. Определение 2.Говорят, что функция достигает в точке локального максимума, если существует такое, что в

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
Пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке она имеет касательную, каждая точка удовлетворяет уравнению Определение 3.Говорят, что кривая выпукл