рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Вид работы: Лекции
/
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба - Лекция, раздел Образование, Предел функции в точке и при Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций Пусть Функция Дифференцируема В Точке Тогда В Точке Она Имеет Касательную, Ка...

Пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке она имеет касательную, каждая точка удовлетворяет уравнению

Определение 3.Говорят, что кривая выпукла вверх в точке если существует такое, что в окрестности кривая находится

ниже своей касательной (3) в точке т.е. если Если же

то кривая называется выпуклой вниз в точке (часто говорят, о выпуклости или вогнутости в точке ). Говорят, что кривая выпукла вверх (выпукла вниз) на интервале если она выпукла вверх (выпукла вниз) в каждой точке этого интервала.

На рисунке Р.2 функция выпукла вверх в точке а на Р.3 – выпукла вниз.

Теорема 3.Пусть функция дважды дифференцируема на интервале . Тогда справедливы высказывания:

1. если то криваявыпукла вверх на

2. если то кривая выпукла вниз на

Доказательство.Пусть произвольная точка интервала Окружим её отрезком Так как функция удовлетворяет на этом отрезке всем условиям теоремы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, то для всех имеет место представление

С другой стороны, в точке функция имеет касательную с уравнением .Значит, Отсюда видно, что если (тогда и ), то значит,

кривая выпукла вверх в точке Если же то то значит, кривая выпукла вниз в точке Теорема доказана.

Определение 4.Точка называется точкой перегиба кривой если:а) дифференцируема в точке ; б) кривая при переходе через точку изменяет направление выпуклости (это равносильно тому, что разность изменяет знак при переходе через точку ).

Необходимое условие точки перегиба.Если - точка перегиба и если существут то

Доказательствовытекает из локальной формулы Тейлора и из равенства

Замечание 4.К точкам, подозрительным на “перегиб”, следует отнести, прежде всего, точки , для которых Однако “перегиб” может иметь место и в точках, в которых вторая производная не существует или равна Например, в точке функция имеет производную И в этой точке эта функция имеет “перегиб”. Очевиден следующий результат.

Теорема 4 (достаточное условие точки перегиба).Пусть функциядифференцируема в точке и некоторой её окрестности и дважды дифференцируема в некоторой проколотой окрестности этой точки. Тогда если при переходе через точку вторая производная изменяет знак, то точка перегиба кривой

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Предел функции в точке и при Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций

Лекция Предел функции в точке и при Односторонние пределы Действия над пределами Бесконечно малые функции таблица эквивалентных бесконечно... Обозначения...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Понятие функции
Пусть даны два множества и Определение 1.Говорят, что на множеситве задана функция отображающая множество в множество если каждому элементу поставлен в

Предел функции
Сначала дадим понятие предела функции в конечной точке Различают проколотую - окрестность точки которая определяется как симметричный интервал с выброшенной точкой

Бесконечно малые функции и их свойства
Определение 3. Функция называется бесконечно малой функцией в точке или функцией класса , если При этом пишут Таким образом, Например, функция а фун

Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки Определение 5. Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) при если для всякого существует чи

Непрерывность функции в точке
Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Определение 2. Функция называется непрерывной в точке если т.е. если

Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
На рисунке изображены график функции точки секущая, касательная к кривой углы Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности . Сместимся из точки в точку Величина назы

Производная сложной и обратной функций и функции, заданной параметрически
Приведем без доказательства некоторые утверждения, связанные с производными. Теорема 5.Пусть сложная функция определена в точке и некоторой ее окре

Производные простейших элементарных функций
Используя определение 4 производной, а также теоремы 6 и 7, можно доказать следующее утверждение. Теорема 8.В области определения соответствующих функци

Производные и дифференциалы высших порядков
Производная есть сама функция от поэтому можно взять от нее производную. Полученная таким образом функция (если она существует) называется второй производной от функции и обозначается И вообще:

Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
При вычислении пределов функций мы использовали таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела мы использовали формулы Однако этих формул не достаточно для вычисления пр

Правило Лопиталя
Другой способ раскрытия неопределенностей типаили доставляет так называемое правило Лопиталя, к изложению которого мы переходим. Теорема Лопиталя

Свойства функций, непрерывных на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке если а) она непрерывна в любой точке а на концах и отрезка непрерывна справа и слева соответственно, т.е. Функции, непрерывные

Локальный экстремум
Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности. Определение 2.Говорят, что функция достигает в точке локального максимума, если существует такое, что в