Производные и дифференциалы высших порядков - Лекция, раздел Образование, Предел функции в точке и при Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций Производная Есть Сама Функция От Поэтому Можно Взять От Нее Производную. Полу...
Производная есть сама функция от поэтому можно взять от нее производную. Полученная таким образом функция (если она существует) называется второй производной от функции и обозначается И вообще:
если известна производная ( порядка), то производная го порядка определяется так: При этом функция называется раз дифференцируемой в точке
Аналогично определяются дифференциалы высшего порядка. Именно:
если известен дифференциал порядка то дифференциал го порядка определяется так: при этом дифференциал независимой переменной и все его степени считаются постоянными дифференцирования.
Имеем И вообще, справедливо утверждение: если функция дифференцируема раз в точке то
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема 1. В области определения выписанных ниже функций справедливы равенства:
Производные порядка являются линейными операциями, т.е.
Производная порядка для произведения вычисляется довольно сложно.
Формула Лейбница. Если функции дифференцируемы раз в точке то имеет место равенство
Здесь: число сочетаний из элементов по нулевая производная функции совпадает с ней самой: Легко видеть, что формула (1) напоминает формулу бинома Ньютона; только в ней вместо произведения степеней стоит произведение производных Учитывая это, легко записать, например, третью производную от произведения:
Лекция Предел функции в точке и при Односторонние пределы Действия над пределами Бесконечно малые функции таблица эквивалентных бесконечно... Обозначения...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Производные и дифференциалы высших порядков
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Понятие функции
Пусть даны два множества и
Определение 1.Говорят, что на множеситве задана функция отображающая множество в множество если каждому элементу поставлен в
Предел функции
Сначала дадим понятие предела функции в конечной точке Различают проколотую - окрестность точки которая определяется как симметричный интервал с выброшенной точкой
Бесконечно малые функции и их свойства
Определение 3. Функция называется бесконечно малой функцией в точке или функцией класса , если При этом пишут Таким образом,
Например, функция а фун
Непрерывность функции в точке
Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке если
т.е. если
Производные простейших элементарных функций
Используя определение 4 производной, а также теоремы 6 и 7, можно доказать следующее утверждение.
Теорема 8.В области определения соответствующих функци
Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
При вычислении пределов функций мы использовали таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела мы использовали формулы Однако этих формул не достаточно для вычисления пр
Правило Лопиталя
Другой способ раскрытия неопределенностей типаили доставляет так называемое правило Лопиталя, к изложению которого мы переходим.
Теорема Лопиталя
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке если а) она непрерывна в любой точке а на концах и отрезка непрерывна справа и слева соответственно, т.е. Функции, непрерывные
Локальный экстремум
Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности.
Определение 2.Говорят, что функция достигает в точке локального максимума, если существует такое, что в
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
Пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке она имеет касательную, каждая точка удовлетворяет уравнению
Определение 3.Говорят, что кривая выпукл
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов