Реферат Курсовая Конспект
Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми - Лекция, раздел Образование, Предел функции в точке и при Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций Пусть Функция Определена В Некоторой Проколотой Окрестности Точки ...
|
Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности точки
Определение 5. Функция называется бесконечно большой функцией (ББФ) при если для всякого существует число такое, что
При этом пишут
Заметим, что – это не число, а символ, поэтому бесконечный предел – это всего лишь обозначение бесконечно большой функции. Тем не менее при вычислениях удобно относиться к бесконечному пределу как к обычному, хотя для бесконечных пределов и существуют свои правила действий, несколько отличные от правил действий над конечными пределами (см. ниже таблицу 2).
Если функция сохраняет знак в некоторой проколотой окрестности точки и является при этом бесконечно большой функцией, то естественно писать
(в зависимости от знака функции в указанной окрестности). Более точно:
В этих определениях и определении 5 фигурирует окрестность
конечной предельной точки Почти дословно определяются бесконечно большие функции на бесконечности. В этом случае под точкой следует понимать один из символов: а под окрестностью окрестность соответствующей бесконечно удаленной точки Например,
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема 7. Пусть функция не обращается в нуль в некоторой проколотой окрестности точки Тогда справедливо высказывание
Иначе говоря, для того чтобы функция была бесконечно малой при необходимо и достаточно, чтобы обратная к ней по величине функция была бесконечно большой при
Используя эту теорему, можно доказать истинность следующих операций над бесконечно большими функциями:
Таблица 2
И, наконец, отметим ещё ряд свойств, связанных с пределами функций.
Теорема 7 (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности точки выполняются неравенства и пусть, кроме того, крайние функции имеют пределы в точке и эти пределы равны друг другу, т.е.
Тогда существует предел промежуточной функции и он равен т. е. Теорема 8. Пусть в некоторой окрестности точки выполняются неравенства и пусть существуют пределы
Тогда (докажите это утверждение самостоятельно).
Теорема 9(о знаке предела). Если в некоторой проколотой окрестности функция неотрицательна (неположительна) и существует предел то (соответственно ).
В тех случаях, когда при вычислении того или иного предела непосредственный переход к пределу при приводит к одному из символов типа
возникает ситуация, в которой становятся неприменимы теоремы об арифметических действиях над пределами. В таких случаях возникает неопределенность при решении вопроса о существовании предела или его величины. Эта неопределенность может быть снята после некоторых тождественных преобразований. В этом случае говорят, что тождественные преобразования приводят к раскрытию неопределенности. Поясним сказанное примером.
Пусть требуется вычислить предел Если в указанном отношении мы сразу же перейдем к пределу, то получим неопределенность типа Что скрывается под этим символом, мы пока не знаем. Попрубуем избавиться от неопределенности. Применим для этого таблицу 1 стандартных асимптотических разложений и теорему 5. Получим
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Лекция Предел функции в точке и при Односторонние пределы Действия над пределами Бесконечно малые функции таблица эквивалентных бесконечно... Обозначения...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов