Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл
Производная функции в точке, ее геометрический и механический смысл - Лекция, раздел Образование, Предел функции в точке и при Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций
На Рисунке Изображены График Функции Точки Секущая, Касатель...
На рисунке изображены график функции точки секущая, касательная к кривой углы Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности . Сместимся из точки в точку Величина называется приращением аргумента в точке а величина = называется приращением функции в точке (соответствующим приращению аргумента).
Определение 4. Если существует (конечный) предел
то его называют производной функции в точке и обозначают При этом функцию называют дифференцируемой в точке а
величину называют дифференциалом функции в точке
Выясним, в чем состоит геометрический смысл производной и дифференциала. Так как и так как то т.е.
т.е. производная функции в точке является угловым коэффициентом касательной к кривой с точкой касания
С другой стороны, из рисунка видно,что поэтому
дифференциал равен приращению касательной к графику функции при переходе аргумента из точки в точку
Из геометрического смысла производной легко получить уравнения касательной и нормали к кривой в точке
(касательная), (нормаль).
Выясним теперь механический смысл производной. Если путь пройденный материальной точкой за время от момента до момента то средняя скорость материальной точки, а величина
мгновенная скорость материальной точки в момент
Нетрудно показать, что
любая дифференцируемая в точке функция непрерывна в точке (обратное, вообще говоря, неверно; пример: непрерывна в точке но не существует).
Лекция Предел функции в точке и при Односторонние пределы Действия над пределами Бесконечно малые функции таблица эквивалентных бесконечно... Обозначения...
Понятие функции
Пусть даны два множества и
Определение 1.Говорят, что на множеситве задана функция отображающая множество в множество если каждому элементу поставлен в
Предел функции
Сначала дадим понятие предела функции в конечной точке Различают проколотую - окрестность точки которая определяется как симметричный интервал с выброшенной точкой
Бесконечно малые функции и их свойства
Определение 3. Функция называется бесконечно малой функцией в точке или функцией класса , если При этом пишут Таким образом,
Например, функция а фун
Непрерывность функции в точке
Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке если
т.е. если
Производные простейших элементарных функций
Используя определение 4 производной, а также теоремы 6 и 7, можно доказать следующее утверждение.
Теорема 8.В области определения соответствующих функци
Производные и дифференциалы высших порядков
Производная есть сама функция от поэтому можно взять от нее производную. Полученная таким образом функция (если она существует) называется второй производной от функции и обозначается И вообще:
Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
При вычислении пределов функций мы использовали таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела мы использовали формулы Однако этих формул не достаточно для вычисления пр
Правило Лопиталя
Другой способ раскрытия неопределенностей типаили доставляет так называемое правило Лопиталя, к изложению которого мы переходим.
Теорема Лопиталя
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Функция называется непрерывной на отрезке если а) она непрерывна в любой точке а на концах и отрезка непрерывна справа и слева соответственно, т.е. Функции, непрерывные
Локальный экстремум
Пусть функция определена в точке и некоторой её окрестности.
Определение 2.Говорят, что функция достигает в точке локального максимума, если существует такое, что в
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
Пусть функция дифференцируема в точке Тогда в точке она имеет касательную, каждая точка удовлетворяет уравнению
Определение 3.Говорят, что кривая выпукл
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов