Реферат Курсовая Конспект
Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа - Лекция, раздел Образование, Предел функции в точке и при Односторонние пределы. Действия над пределами. Бесконечно малые функции, таблица эквивалентных бесконечно малых и ее применение при вычислении пределов функций При Вычислении Пределов Функций Мы Использовали Таблицу 1 Эквивалентных Беско...
|
При вычислении пределов функций мы использовали таблицу 1 эквивалентных бесконечно малых. Например, при вычислении предела мы использовали формулы Однако этих формул не достаточно для вычисления предела
Нужны более точные формулы или так называемые асимптотические разложения высших порядков. Переходя к описанию таких разложений, введем следующее понятие.
Определение 5.Пусть функция определена в некоторой проколотой окрестности
точки Говорят, что функция имеет в точке асимптотическое разложение го порядка, если существуют числа такие, что в некоторой в некоторой проколотой окрестности представляется в виде
Здесь Равенство (3) означает, что функция аппроксимируется (приближенно равна) в некоторой малой окрестности точки многочленом. В каком случае функция имеет асимптотическое разложение порядка? Ответ на этот вопрос содержится в следующем утверждении.
Теорема 2.Пусть функция имеет в точке производные до го порядка включительно. Тогда имеет в точке асимптотическое разложение порядка вида
(формулу (4) называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора).
Если в (4) положить то получим формулу называемую формулой Маклорена-Тейлора. Приведем формулы Маклорена-Тейлора для основных элементарных функций.
Теорема 3.Имеют место следующие разложения:
Доказательствоэтих формул базируется на подсчёте производной го порядка соответствующей функции. Докажем, например, формулу (2) .
Итак, пусть По теореме 1 имеем
Значит, в формуле
будут отсутствовать все четные степени а слагаемые с нечетными степенями имеют вид Следовательно имеет место формула 2.
Замечание 1.В формуле 2 остаточный член можно записать в виде а в формуле 3–
в виде (почему?).
Теорема 2 аппроксимирует функцию лишь в достаточно малой окрестности точки Условия представления функции на некотором отрезке (где может быть достаточно большим) по формуле Тейлора описаны в следующем утверждении.
Теорема 4.Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:
1) существуют и непрерывны на отрезке ;
2) производная существует и конечна по-крайней мере на интервале
Тогда для всехфункция представляется в виде
где точка находится между и
Формулу (5) называют (глобальной) формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Если в формуле (5) положить то получим равенство или, обозначая будем иметь
Эту формулу называют формулой Лагранжа. Она верна в случае, когда функция непрерывна отрезке а существует и конечна по-крайней мере на интервале
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Лекция Предел функции в точке и при Односторонние пределы Действия над пределами Бесконечно малые функции таблица эквивалентных бесконечно... Обозначения...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Формула Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов