Матрица парных сравнений. Мера согласованности. Вектор приоритетов.

 

Если для сравнения выбрано n объектов (A₁, …, A_n ), то квадратная -мерная матрица парных сравнений имеет вид

 

	А1	А2	…..	Аn
А1	a11	a12	…..	a1n
А2	a21	a22	.....	a2n
…..	.....	.....	.....	.....
Аn	an1	an2	.....	ann

 

 

где а_ij – мера предпочтения объекта А_i по сравнению с объектом А_j

 

Мера предочтения выражается экспертом по шкале Саати и принимает значения от 1 до 9. На диагонале матрицы А находятся 1 и для элементов а_ij выполняется условие . Таким образом, экспертом заполняется только верхняя половина матрицы А над диагональю. Так, для 4-х объектов матрица А имеет вид

 

 

Экспертная оценка важности объектов осуществляется в 2-х ситуациях:

 

1) если мера сравниваемого свойства объектов выражена в сильных шкалах.

Тогда, если мера свойства объекта А_i равна w_i, а мера свойства объекта A_j равна w_j, то . Тогда, матрица сравнений для этой ситуации является согласованной. В общем случае под согласованностью подразумевают то, что при наличии основного массива необработанных данных все другие данные могут быть получены из них. Если сравнивается n объектов, то достаточно (n-1) утверждения, в которых сравниваемые объекты представлены хотя бы 1 раз.

Например. Пусть имеется 3 объекта А₁, А₂, А₃. Путем измерения было получено : А₁ в 3 раза превосходит А₂ ( ) и в 6 раз превосходит объект А₃ (). При n=3 достаточное число сравнений равно n-1=3-1=2

	A1	A2	A3
A1
A2			? 2
A3		?

 

2) наиболее распространенная ситуация состоит в том, что свойства сравниваемых объектов могут быть оценены только в шкале порядка. Очевидно, что добиться согласованности матрицы парных сравнений при оценке объектов с разной квалиметрической основой шкал - невозможно. В этом случае эксперты заполняют матрицу парных сравнений, основываясь на своем опыте и знаниях, используя шкалу Саати.

Естественно, после экспертных оценок следует поставить вопрос о степени согласованности полученных данных. В качестве меры согласованности рассматривают 2 показателя:

­ индекс согласованности (ИС)

­ отношение согласованности (ОС)

 

 

l_max – максимальное собственное число матрицы А парных сравнений

 

n- число сравниваемых объектов.

 

Для того, чтобы оценить, является ли полученное согласование приемлемым или нет, его сравнивают со случайным индексом (СИ).

СИ рассматривается для квадратной матрицы, положительно определенной, обратно симметричной, на диагонали которой все 1, а остальные элементы принимают случайным образом значения 9, 8, … , 1, , , …, с равной вероятностью . Для этого используется датчик псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения значений. Рассчитывается случайным образом l_max и берется средне-арифметическое для выборки из 100 экспериментов, проведенных подобным образом. В результате чего строится следующая таблица

 

n
СИ			0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49	1,51	1,54	1,56	1,57	1,59

 

 

Отношение согласованности определяется как

 

 

СИ берется из вышеприведенной таблицы.

Если ОС < 0,1 , то данные матрицы сравнений, составленной экспертами, - приемлемы. В противном случае экспертам следует пересмотреть свои суждения и оценки и вновь построить матрицу парных сравнений А.

После получения приемлемой матрицы парных сравнений А необходимо построить вектор приоритетов сравниваемых объектов. Это сводится к отысканию для соответствующего l_max главного собственного вектора, который после нормализации становится векторов приоритетов.

 

 

для вычисления главного собственного вектора Х можно использовать функции из MS Excel или пакета MathCad. Однако, существует простой способ определения компонент х_i вектора Х.

 

 

Если еще пронормировать делением на , то получим вектор приоритетов

П=(П₁,П₂,…, П_n), где

 

.

 

 

Теперь возвратимся к задаче о повышении рентабельности ВЦ. Для этого строим 5 матриц сравнений: 1-ю между 0 и 1 уровнями, 4-е между 1 и 2 уровнями.