Механический, физический и экономический смысл производной

Механический смысл производной: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t₀ есть производная от пути по времени:

.

Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении. Обозначим S – путь, пройденный точкой, а t – время. Путь, пройденный точкой за время t, зависит от t и изменяется по некоторому закону S=S(t). Поставим задачу определить скорость материальной точки V₀ в некоторый момент времени t₀. Для этого рассмотрим другой момент времени по прошествии отрезка Dt, т.е. момент t₀+Dt. К моменту t₀ пройденный точкой путь составит S(t₀); к моменту t₀+Dt точка пройдет путь S(t₀+Dt). За промежуток времени Dt точка прошла путь DS = S(t₀+Dt) – S(t₀). Средняя скорость движения за время Dt составит отношение . Эта средняя скорость отличается от мгновенной скорости в момент t₀, и величина V_cp тем ближе к скорости V₀, чем меньше промежуток Dt. Устремим Dt к нулю (Dt®0). Тогда предел, к которому стремится средняя скорость, является скоростью точки V₀ в момент t₀:

Здесь рассматривается предел отношения приращения пути DS к приращению времени Dt.

Физический смысл производной: Обобщая предыдущий закон V = S'(t), можно сказать, что если функция у = f(t) описывает физический процесс, меняющийся со временем t, то производная у' = f'(t₀) есть скорость протекания этого процесса в момент t₀.

Экономический смысл производной.

Производительность труда в момент t₀ – предельное значение средней производительности за период времени от t₀ до t₀ + Δt при Δt ® 0, т. е.

Здесь ΔQ – количество произведенной продукции за интервал времени Δt. Производительность труда u – скорость роста объема продукции Q.

Предельный продукт. Пусть функция Q(x) – зависимость количества произведенной продукции от величины затрат ресурса х. Отношение – средняя величина продукта, соответствующая величине затрат в размере Δх. Предельный (маржинальный) продукт при затратах ресурса х₀: