Основные операции над множествами
1. Сумма (Объединение) двух множеств А и В называется такое множество, которое состоит только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
В виде характеристического свойства - А U В={x, xÎA или xÎB}
Если изображают
в виде кругов A B А U В
Пример:
А={1,2,3} B={2,4,5} А U В={1,2,3,4,5}
2. Произведение (Пересечение) двух множеств А и В состоит из тех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству А и множеству В: А I В={x, xÎA и xÎB}
для рассмотренного
выше примера: A B А I В
А I В={2}
3. Разность двух множеств А и В (обозначается АВ) – называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В
АВ={x, xÎA и xÎ B} A B АВ
Для рассмотренного выше
примера:
АВ={1,3}
Логические символы
Для краткости записи, вместо слов: существует, найдется, будет использован символ $,
вместо слов любой, каждый, всякий ".
Примеры: $x, x+1ÎN ; "xÎX,X:2
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Операции над матрицами
Определение: Матрица А равна матрице В, если в этих матрицах равны между собой все соответствующие элементы:
aij = bij для всех i,j
Матрицы одинакового порядка можно складывать и вычитать.
1. Сумма (разность) двух матриц:
a11 a12 b11 b21
A = a21 a22 B = b12 b22
a11 ± b11 a12 ± b12
A ± B = a21 ± b21 a22 ± b22
2. Умножение матрицы на число, отличное от нуля:
l*a11 l*a12
l*A = l*a21 l*a22 , l ¹ 0
3. Произведение двух матриц:
Умножать можно только те матрицы, для которых выполняется условие: число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Сумма произведений элементов первой строки первой матрицы на элементы первого столбца второй матрицы определит элемент С11 матрицы произведения. И таким образом для всех Cij элементов произведения:
a11 a12 b11 b12
A*B = a21 a22 * b21 b22 =
a11 * b11 + a12 * b21 a11 * b12 + a12 * b22
= a21 * b11 + a22 * b21 a21 * b12 + a22 * b22
Пример:
1 1
1 2 3 * 2 1 1+4+9 1+2+12 14 15
A*B = 4 5 6 3 4 = 4+10+18 4+5+24 = 32 33
Для суммы и произведения матриц справедливы следующие соотношения:
1) A+B=B+A 4) A+(B+C) = (A+B)+C
2) C*(A+B)=C*A+C*B 5) (a*A)*B = a*(A*B)
3) (A*B)*C=A*(B*C) 6) (a + b)*A = a*A+b*A
7) a*(A+B) = a*A+a*B
8) A*E=E*A=A , где E –единичная матрица.
Для матриц, в общем случае, умножение не перестановочно:
A*B ¹ B*A
Определение: Матрица А-1 называется обратной для квадратной матрицы А, если выполняется следующее соотношение:
А*А-1=А-1*А = Е
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.
Теорема:Матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда определитель матрицы не равен нулю:
1 A11 A21 A31
A-1 = * A12 A22 A32
DA A13 A23 A33
a11 a12 a13
для A = a21 a22 a23 DA – определитель матрицы А
a31 a32 a33
Доказательство:
Чтобы доказать, что матрица А-1 является обратной для матрицы А, необходимо показать выполнение следующего равенства:
А*А-1=А-1*А=Е
1 A11 A21 A31 a11 a12 a13 1
A-1 *A = * A12 A22 A32 * a21 a22 a23 = *
DA A13 A23 A33 a31 a32 a33 DA
A11*a11+A21*a21+A31*a31 A11*a12+A21*a22+A31*a32 A11*a13+A21*a23+A31*a33
* A12*a11+A22*a21+A32*a31 A12*a12+A22*a22+A32*a32 A12*a13+A22*a23+A32*a33 =
A13*a11+A23*a21+A33*a31 A13*a12+A23*a22+A33*a32 A13*a13+A23*a23+A33*a33
1 DA 0 0 1 0 0
= * 0 DA 0 = 0 1 0
DA 0 0 DA 0 0 1
что и требовалось доказать.
Пример: Вычислить матрицу, обратную данной:
1 1 -1 1 1 -1
A = 4 -3 1 ; DA = 4 -3 1 = 1*(-3)*(-1) + 1*1*2 + 4*1*(-1) -
2 1 -1 2 1 -1
- 2*(-3)*(-1) – 1*1*1 – 4*1*(-1) = 3+2-4-6-1+4 = -2
-3 1 4 1
A11 = (-1)1+1 1 -1 = 2 ; A12 = (-1)1+2 2 -1 = 6;
4 -3 1 -1
A13 = (-1)1+3 2 1 = 10 ; A21 = (-1)2+1 1 -1 = 0;
1 -1 1 1
A22 = (-1)2+2 2 -1 = 1 ; A23 = (-1)2+3 2 1 = 1;
1 -1 1 -1
A31 = (-1)3+1 -3 1 = - 2 ; A32 = (-1)3+2 4 1 = - 5;
1 1
A33 = (-1)3+3 4 -3 = - 7
1 A11 A21 A31 1 2 0 -2
A-1 = * A12 A22 A32 = - * 6 1 -5
DA A13 A23 A33 2 10 1 -7
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Основные понятия
Все величины математики разделяются на скалярные и векторные.
Скалярными называются величины, которые полностью определяются при помощи числа, полученного в результате их измерения однозначной величиной, принятой за эталон (единицу эталона).
Векторныминазываются величины, для которых кроме числовых значений их размера необходимо указывать их направление в пространстве (скорость, сила).
Для геометрического изображения векторных величин служат направленные отрезки, т.е. отрезки, имеющие фиксированное направление в пространстве.
Вектором называют направленный отрезок, у которого указывают начало и конец.
B
a
A
AB или a - обозначают вектор.
Длиной вектора называют длину направленного отрезка.
Вектор называется нулевым, если его длина равна 0. Для нулевого вектора, естественно, нет определенного направления.
Два вектора называются равными, если равны их длины и они одинаково направлены.
Два вектора называются противоположными если их длины равны, а направления противоположны.
Два вектора называются коллинеарными, если эти вектора лежат на одной прямой или на параллельных прямых. тогда угол между коллинеарными векторами равен 180о или 00 ( a b ).
Три вектора называются компланарными, если эти вектора лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.
Ортомназывается вектор единичной длины.
Частные случаи общего уравнения прямой
1) Если в общем уравнении коэффициент С=0,
то прямая проходит через O(0,0).
2) Если в общем уравнении коэффициент А=0,
то прямая параллельна оси OX.
3) Если в общем уравнении коэффициент В=0,
то прямая параллельна оси OY.
4) Если в общем уравнении коэффициенты А=С=0,
то это уравнение оси OX.
5) Если в общем уравнении коэффициенты В=С=0,
то это уравнение оси OY.
Уравнение прямой на плоскости в отрезках
Пусть дана прямая линия l: A*x + B*y + C = 0
Преобразуем данное уравнение:
A*x + B*y = - C , (A/-C)*x + (B/-C)*y = 1, откуда
x/a + y/b = 1 - уравнение прямой в отрезках,
где a = - C/A b = - C/B.
Модули коэффициентов a и b равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на осях.