Кривые второго порядка на плоскости

 

Определение:Окружностью называют множество точек плоскости равноудаленных от данной точки, называемой центром, на заданное расстояние, называемое радиусом окружности.

 

Y

R (x – a)² + (y – b)² = R² - уравнение окружности

a O

где O(a,b) – координаты центра окружности.

0 b X R - радиус окружности.

 

Определение: Эллипсом называют множество точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

 

Уравнение эллипса: x²/a² + y²/b² = 1

Y

 

B₁ b M A₁, A₂, B₁, B₂ – вершины эллипса

A₁ F₁ F₂ A₂ X отрезок A₁A₂ – большая ось эллипса.

-a -c O +c a OA₂ – большая полуось эллипса.

B2 -b B₁B₂ –малая ось эллипса

OВ₁ – малая полуось эллипса.

F₁, F₂ – фокусы эллипса.

 

F₁M, F₂M – фокальные радиусы.

 

По определению F₁M + F₂M = 2*a > F₁F₂ = 2*c

2*a > 2*c

b² = a² – c²

c = F₁F₂ / 2

Эксцентриситетом эллипса называют отношение величины с к величине а e = c/a < 1

 

 

Определение:Гиперболой называют множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до 2-х заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

 

x² y²

- = 1 - уравнение гиперболы.

a² b²

 

 

Y

M

-a B₁ a A₁, A₂ – вершины гиперболы

F₁ b F₂ A₁A₂ - действительная ось

A₁ A₂ X гиперболы

B₂ -b B₁B₂ - мнимая ось гиперболы.

F₁, F₂ - фокусы гиперболы.

 

êF₁M – F₂M ê = 2*a < F₁F₂ = 2*c ,

 

b² = c² – a² , эксцентриситет e = c/a > 1

 

 

Определение:Параболой называют множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от некоторой точки, называемой фокусом и от заданной прямой, называемой директрисой.

Y

FM = FN

F(p/2,0) – фокус параболы

x = -p/2 –директриса

 

- p/2 0 F X Уравнение параболы:

+ p/2

y² = 2*p*x ,

N M

где p – параметр параболы.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

1. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ. 3

1.1 Множества чисел и их обозначения................................................ 3

1.2 Основные операции над множествами............................................ 4

1.3 Логические символы........................................................................ 4

1.4 Специальные математические символы.......................................... 4

2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА......................................................................... 5

2.1 Определители и их свойства............................................................ 5

1.2 Свойства определителей.................................................................. 6

1.3 Матрицы и их свойства.................................................................... 9

1.4 Операции над матрицами................................................................ 9

1.5 Экономическая интерпретация действий над матрицами............ 11

1.6 Системы линейных уравнений...................................................... 12

1.7 Решение систем линейных уравнений
при помощи формул Крамера...................................................... 13

1.8 Решение систем линейных уравнений матричным способом...... 14

2.9 Линейные системы общего вида.................................................... 15

2.10 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса................ 18

2.11 Экономическая интерпретация систем линейных уравнений...... 20

3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ............................................. 21

3.1 Основные понятия.......................................................................... 21

3.2 Действия над векторами................................................................ 21

3.3 Свойства действий над векторами................................................. 22

3.4 Проекция вектора на ось............................................................... 22

3.5 Координаты точки на числовой оси
на плоскости и в пространстве..................................................... 23

3.6 Теоремы о проекции вектора на ось............................................. 24

3.7 Длина вектора. Направляющие косинусы вектора...................... 25

3.8 Понятие базиса. Разложение вектора по базису........................... 26

3.9 Скалярное произведение векторов............................................... 27

3.9.1 Свойства скалярного произведения......................................... 27

3.9.2 Следствия из Свойств скалярного произведения.................... 27

3.9.3 Скалярные произведения векторов через координаты........... 27

3.10 Векторное произведение двух векторов....................................... 28

3.11 Смешанное произведение векторов.............................................. 29

3.11.1 Свойства смешанного произведения........................................ 30

3.12 Геометрический смысл смешанного произведения векторов...... 30

3.13 N-мерные векторы......................................................................... 31

3.14 Линейная зависимость (независимость) системы векторов.......... 32

3.15 Разложение вектора по некоторому базису.................................. 32

4. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙОЙ ГЕОМЕТРИИ....................... 33

4.1 Прямая линия на плоскости и в пространстве.
Прямая на плоскости..................................................................... 33

4.1.1 Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом..................................................................................... 33

4.1.2 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки...... 34

4.1.3 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки,
если y₁=y₂................................................................................... 34

4.1.4 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки,
если x₁=x₂................................................................................... 34

4.1.5. Угол между двумя прямыми.................................................... 34

4.1.6 Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых.............................................................................. 34

4.1.7 Общее уравнение прямой......................................................... 35

4.1.8 Частные случаи общего уравнения прямой............................. 35

4.1.9 Уравнение прямой на плоскости в отрезках............................ 35

4.1.10 Расстояние от точки до прямой................................................ 36

4.2 Уравнение плоскости в пространстве........................................... 36

4.2.1 Угол между плоскостями.......................................................... 36

4.2.2 Условия параллельности и перпендикулярности
2-х плоскостей........................................................................... 37

4.2.3 Расстояние от плоскости до точки............................................ 37

4.2.4 Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.. 37

4.3 Прямая линия в пространстве....................................................... 38

4.3.1 Параметрическое уравнение прямой в пространстве и каноническое уравнение прямой в пространстве........................................................................ 38

4.3.2 Уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 заданные точки. 38

4.3.3 Прямая, как линия пересечения двух плоскостей.................... 39

4.3.4 Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых. 39

4.3.5 Угол между двумя прямыми..................................................... 40

4.3.6 Угол между прямой и плоскостью. Условия
параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. 40

4.4 Кривые второго порядка на плоскости........................................ 41