Реферат Курсовая Конспект
Теорему доведено. - раздел Математика, Алгебра та геометрія 2.2 Підстановки N-Го Степеня. Означення....
|
2.2 Підстановки n-го степеня.
Означення.Підстановкою -го степеня називається бієктивне відображення -елементної множини у себе.
Будемо записувати підстановку у два рядки: у першому будуть вихідні елементів, а у другому – їх образи.
Наприклад:
Поставимо 2 питання:
1) Скільки форм запису однієї ї тієї підстановки.
2) Скільки різних підстановок n-го степеня можна скласти.
На обидва питання відповідь:
Розглянемо перше питання. Різні форми запису можна отримати за рахунок різного розташування стовпчиків перестановок. З теорії перестановок відомо, що їх буде n!.
Розглянемо друге питання. Зафіксуємо елементи у першому рядку. Очевидно, що підстановки будуть різними, якщо відрізняються відповідно образи у другому рядку. Отже кількість підстановок дорівнюватиме кількості перестановок елементів другого рядка, а їх, як відомо, n!.
Означення. Підстановка називається парною, якщо парності верхньої і нижньої перестановок однакові, тобто обидві перестановки або парні або непарні.
Означення. Підстановка називається парною, якщо загальна кількість інверсій верхньої і нижньої перестановок є парним числом, в супротивному разі перестановка непарна.
Теорема. При n≥2 кількість парних підстановок дорівнює кількості непарних підстановок, тобто дорівнює .
Запишемо всі підстановки у вигляді:
Твердження теореми випливає з відповідної теореми для перестановок. Дійсно, тоді парність підстановки визначається лише парністю нижньої перестановки, а парних нижніх існує .
Зауваження. Для самостійного доведення залишається факт, що означення парності підстановки не залежить від форми запису цієї підстановки.
2.3 Поняття і властивості визначника n-го порядку
На практичних заняттях було введено поняття визначника другого і третього порядків. Це були числа, отримані за певними законами з таких таблиць- матриць другого і третього порядків відповідно:
s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
Визначник другого порядка – це число, що позначаєтьсяі яке дорівнює алгебраїчній сумі, аналогічно визначник третього порядку:
Ми хочемо узагальнити це поняття, тобто отримати визначник -го порядку таким чином, що з нього при та отримати попереднє.
Аналіз обчислення визначників другого і третього порядків приводить до доцільності такого означення:
Означення. Визначником -го порядку, що відповідає матриці:
називається алгебраїчна сума доданків, кожний з яких є добутком елементів, взятих по одному з кожного рядка і кожного стовпця матриці, причому зі знаком "+", якщо підстановка складена з перших і других індексів, парна і зі знаком "–", якщо вона непарна.
Отже визначник -го порядку складається з доданків вигляду , де – кількість інверсій у перестановці α1,α2,…,αn.
Для визначника вводять позначення:
Властивість 1. Визначник не зміниться, якщо його рядки зробити відповідними стовпцями.
Розглянемо визначник d.
Стверджується, що
Розглянемо загальний член визначника d:
(1) – загальний член d.
α1,α2,…,αn - перестановка з 1,2,…,n
Запишемо член (1) в позначках ij.
(1)
Таким чином (1) є членом і визначника d1. З′ясуємо, з яким знаком (1) входить до визначника d1. Знак члена (1) в d визначається парністю підстановки
Знак (1) в d1 визначається парністю підстановки
Ці підстановки, взагалі кажучи, різні, але парності в них однакові, тому що загальна кількість інверсій верхньої і нижньої перестановок однакова, тому і знаки члена (1) в d і d1 однакові.
Це перетворення, при якому всі рядки стають відповідними стовбцями, називається транспонуванням.
Властивість 2. Якщо в визначнику поміняти місцями будь які 2 рядки, то знак визначника зміниться на протилежний.
Доведення за схемою властивості 1.
Насправді, нехай у визначнику міняються місцями i-ий та j-ий рядки, , а всі інші рядки залишаються на місці. Ми отримаємо визначник :
.
Якщо (1) є членом визначника , то всі його елементи і у визначнику залишаються, очевидно, в різних рядках і різних стовпцях. Таким чином, визначники d та d1 складаються з одних і тих же членів.
Члену (1) у визначнику відповідає підстановка (2),
а у визначнику - підстановка (3).
Підстановку (2) можна одержати з підстановки (1) однією транспозицією в верхньому рядку, тобто вона має протилежну парність. Звідси випливає, що всі члени визначника d входять до визначника d1 і відрізняються лише знаком.
Властивість 3.Якщо в визначнику є нульовий рядок, то визначник дорівнює 0.
Нехай усі елементи і-го рядка визначника є нулями
За означенням визначник n-го порядку це алгебраїчна сума n доданків, кожний з яких є добутком n елементів, узятих по одному з кожного рядка й кожного стовпця матриці і т.д. Отже, у кожний член визначника повинен увійти множником один елемент з і-ого рядка, тому в нашому випадку всі члени визначника дорівнюють нулю. Що й треба було довести.
Властивість 4.Якщо в визначнику є 2 рівних рядка, то визначник дорівнює 0.
Доведення. Нехай у визначнику d рівні між собою і-рядок і j=рядок
Нехай d = k
d1 – визначник d, в якому поміняли і з j рядок.
Тоді за властивістю 2:
d1=-k
Але насправді нічого не змінилось, оскільки, i та j рядки рівні
d1=d=k ⟹ -k=k
Звідси, 2k=0, k=0.
Властивість 5.Якщо всі елементи деякого рядка помножити на число r, то визначник зміниться в r разів.
Доведення за схемою властивості 1.
Цю ж властивість можна сформулювати у вигляді: якщо рядок визначника містить постійний множник, то його можна винести за знак визначника.
Розглянемо визначник d:
Нехай на r помножені всі елементи і-ого рядка. Кожний член визначника містить рівно один елемент із і-ого рядка, тому всілякий член отримує множник r, тобто сам визначник множиться на r.
Властивість 6.Якщо у визначнику є два пропорційні рядки, то визначник = 0.
Доведення проводиться з використанням властивості 5 і властивості 4.
Насправді, нехай елементи j-ого рядка визначника відмінюються від відповідних елементів і-ого рядка одним і тим самим множником r.
Виносячи спільний множник r із j-ого рядка за знак визначника, ми отримуємо визначник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю за властивістю 4.
Властивість 4 (а також властивість 3 при ) є, очевидно, окремим випадком властивості 6 (при r = 1 і r = 0).
Властивість 7. Якщо кожний елемент і-рядка визначників є сумою 2-ох доданків, то такий визначник можна подати як суму двох визначників, у яких всі рядки, за винятком і-ого такі ж, як у початковому. і-й рядок першого визначника складається з перших доданків, і-ий рядок другого визначника складається з других доданків.
Доведення за схемою доведення властивості 1.
Дійсно, всілякий член заданого визначника можна подати у вигляді:
Збираючи разом перші доданки цих сум (з тими ж знаками, які мали відповідні члени в заданому визначнику) ми отримаємо, очевидно, визначник n-го порядку, що відмінюється від заданого визначника лише тим, що в і-ому рядку замість елементів стоять елементи . Відповідно другі доданки складають визначник, в і-ому рядку якого стоять елементи .
Властивість 8.Якщо до і-ого рядка визначника додати j-ий рядок, в подумках помножений на деяке число, то визначник не зміниться.
Доведення. Нехай до і-го рядка визначника d додається j-ий рядок, помножений на k, тобто в новому визначнику всілякий елемент і-го рядка має вигляд . Тоді на підставі властивості 7 цей визначник дорівнює сумі двох визначників, з яких перший є d, а другий містить пропорційні рядки і тому дорівнює 0.
Властивість 9.Якщо в визначнику присутній рядок, що є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює 0.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
За час існування спеціальності quot Прикладна математика quot у Дніпропетровському національному університеті створено добре збалансований курс... Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу... При викладанні курсу quot Алгебри та геометрія quot витримується один із дидактичних принципів від простого до...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорему доведено.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов