Закони множення.

1. Множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне. Для того, щоб в цьому переконатись,досить знайти дві матриці А і В, для яких А×В ¹ В×А .

А= , В= .

А×В = = ,

 

В×А = = .

З наведеного прикладу бачимо, що А×В ¹ В×А . При цьому ми виходили з такого означення рівних матриць.

Означення.Матриці А і В називаються рівними, якщо на одних і тих самих місцях знаходяться рівні елементи.

Теорема .Множення матриць підпорядковується асоціативному закону.

Тобто ми повинні довести, що для будь-яких матриць А, В і С має місце рівність

( А × В ) × С = А × ( В × С ) .

Нехай

А=( ) , В=( ) . А × В = D = ( )

 

( А × В ) × С = C ×D = F ( ) , ( В × С ) = Р ( )

А × (В × С ) = А× Р = Т ( ) .

В цих позначеннях треба довести, що F = Т , тобто ( = 1,2,…, )

Обчислимо

, (1)

, (2)

Підставимо (2) в (1) , отримаємо

(3)

Преходимо до обчислення .

(4)

(5)

Підставимо (5) в (4), отримаємо

(6)

Порівнюючи (3) і (6), приходимо до висавку, що , що й треба було довести .

Хоча множення матриць, взагалі кажучі, некомутативне, існує матриця, яка комутує з будь-якою матрицею А, і більш того, в добутку з даною матрицею не змінює цю матрицю А. Це так звана одинична матриця :

Е = .

Ця матриця має такі властивості :

1) А × Е = А , " А

2) Е × А = А , " А ,

а звідси випливає, що А × Е = Е × А .

Доведемо другу властивість.

 

Е × А = × =

 

= = А .

 

Так само доводиться перша властивість, тобто безпосереднім множенням.

Теорема. .

Доведеня.Нехай задано матриці А і В , а С – добуток цих матриць. Треба довести, що

det C = det A ×det B .

Для доведення побудуємо визначник d порядку 2n :

 

d = .

 

Застосуємо до перших n рядків цього визначника теорему Лапласа

d = det A ×det B ( , тобто

d = det A ×det B (1)

Перетворимо визначник d за допомогою восьмої властивості визначників. До (n+1) стовпчика додамо перший стовпець помножений на , другий – на , n-ий – на .

Аналогічно зробимо з (n+2)-им стовпцем, (2n)-им стовпцем. В правому нижньому куті отримаємо нульовий блок порядку n. А правий верхній кут, тоді перетворюється в елементи матриці С.

 

 

 

Застосуємо до цього визначника теорему Лапласа .

d = det C .

Користуючись формулою суми 2n членів арифметичної прогресії, маємо

d = det C , det C = det A × det B .

Вправа. Довести самостійно єдиність одиничної матриці (скористатись методикою доведення єдиності нульового вектора будь-якого лінійного простору).

5.2 Матриці обернені до даних. Умови їх існування.

Внаслідок того, що множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне, в цьому питанні слід розглядати ліві обернені матриці праві.

Означення.Матриця, що умовно позначається , називається лівою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову .

Означення. Матриця, що умовно позначається , називається правою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову .

Для з’ясування умов існування обернених матриць введемо поняття невироджених (неособливих) і вироджених (особливих) матриць.

Означення.Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю. В противному разі квадратна матриця називається виродженою.

Теорема 1.Жодна вироджена матриця не має ні лівої оберненої, ні правої оберненої матриці.

Доведення. Нехай задана матриця А, det A = 0. Треба довести, що не існує ні правої оберненої, ні лівої оберненої матриці. Припустимо, що існує хоча б одна з них. Нехай існує ліва обернена матриця. Тоді (з означення). Застосуємо теорему про визначник добутку матриць:

det E = det . det A ,

1 = 0, отримали суперечність.

Таким чином, не існує , так само доводиться, що не існує .

Теорему доведено.

Теорема 2.Для будь-якої невиродженої матриці існує і ліва обернена, і права обернена, і вони рівні .

Доведення.Нехай задано матрицю А.

,

причому det A = d 0 .

Треба довести, що існує ліва обернена , права обернена матриці, та = . З матриці А побудуємо матрицю , заміною кожного елемента a_ij його алгебраїчним доповненням А_ij і протранспонувавши отримаємо матрицю:

 

= .

 

Доведемо, що задовольняє дві умови:

1) А = Е ;

2) А = Е .

Доведемо

1) Застосувавши правило множення, лему до теореми Крамера і наслідок з теореми Лапласа маємо:

А × = =

= .

 

Так само, безпосереднім множенням матриць доводиться друга рівність.

З першого пункта випливає = , а з другого пункту = .

.

Отже ми довели існування оберненої матриці та її обчислення:

= .

Вправа.Довести єдиність матриці (Доведення проводиться за схемою доведення єдиності протилежного вектора).

5.3 Операції додавання і множення на число.

Означення.Сумою матриць А і В , А=( ) , В=( ) , називається матриця D, елементи якої обчислюються за законом

D = ( + ).

Означення.Добутком матриці А на число k , називається матриця F, елементи якої обчислюються за законом

F = (k ) .

Введені операції мають такі властивості :

1) А + В = В + А ;

2) (А + В)+С = А+(В + С) ;

3) $ Q : А + Q = А + Q + А ;

Q = .

4) " А $ (-А) : А + (-А) = (-А) + А = 0.

Вона і снує , тому що є (-А) = (- ) .

5) А = А ;

6) k (l A) = (k l) A ;

7) k (A + B) = kA + kB ;

8) (k + l) A = kA + lA :

Перевірити самостійно.

Таким чином, множина всіх матриць є векторним простором, більш того, арифметичним, вимірності .

Розглянемо хоча б один базіс цього простору. Це так звані матриці .

= .

Таких матриць існує n².

 

, , … , ,

 

, , … ,

 

Доведемо, що це базис. Доведемо, що це лінійно незалежні матриці. Для цього з’ясуємо, при яких k_ij виконується рівність

(*)

= 0 .

, .

Отже рівність (*) виконується лише в нульовому випадку усіх k_ij, тому матриці лінійно залежні.

З того, що вимерність простору матриць дорівнює , випливає, що матриці утворюють базіс. Тоді будь-яка матриця А повинна бути лінійною комбінацією матриць . Знайдемо цю лінійну комбнацію.

Розглянемо довільну матрицю А. Доведемо, що

А = .

Введемо в розгляд допоміжну матрицю:

.

Доведемо, що цю матрицю можна подати у вигляді .

Насправді

 

Розглянемо тепер матрицю А. Її можна подати у вигляді

 

Застосуємо до кожного доданку попередню формулу

 

Вправа. Довести, що операція множення матриць і додавання матриць підпорядковується дистрибутивному закону :

А (В + С) = АВ + ВС .