Теорема. - раздел Математика, Алгебра та геометрія 1. Якщо Ранг Матриці А Дорівнює Рангу Розширеної Матриіці І Це Спільне...
1. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення менше n (rA=r <n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є невизначеною.
2. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення дорівнює n (rA=r =n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є визначеною.
Доведення.Нехай задано систему
За умовою rA=r =n
Рівність рангів означає, що в матриці і є лише р лінійно незалежних стовпців. Для визначенності, нехай це будуть перші р стовпців. Це також означає, що в матриц і лише р - лінійно-залежних рядків. Нехай для визначенності це будуть перші р - рядків. тому мінор р - того порядку, не рівний нулю розташований у лівому верхньому куту. Для системи (1) з попередньої інформаії випливає, що в ній лише р - лінійно незалежних рівнянь, причому за нашим припущенням це перші р з них, а інші s-р рівнянь є їх лінійними комбінаціями, тому за допомогою елементарних перетворень їх можна перетворити на рівняння такого типу , отже їх можна відкинути.
В отриманій системі ліворуч запишемо ті невідомі, коефіцієнти при яких утворюютъ визначник р-того порядку, не рівний нулю. За нашим припущенням це перші р. Отже, отримаемо систему
(4)
.
Будемо розглядати цю систему, як систему р рівнянъ з р невідомими і з визначником, що не дорівнює нулю. Застосуємо теорему Крамера. Тоді матимемо для :
(5)
Розглянемо два випадки.
1) Нехай p<n. Тоді існують вільні невідомі в тому сенсі, що їх можна задавати довільно. Тобто, в цьому випадку система має безліч розв’язків, а тому є невизначеною.
2) Нехай p=n. Покладемо в (5) :
Тобто в цьому випадку вільних невідомих система не має, тому система має один розв’язок , а тому є визначеною.
З формули (5) отримаємо співвідношення (**) для однорідної системи, важливе для наступного розділу.
Розкладемо цей визначник за елементами k-того стовбця
Розкриємо всі дужки, зведемо подібні, тоді отримаємо:
.
4.3 Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.
Розглянемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(1)
Використовуючи знак підсумовування, і-те рівняння системи (1) можна записати в вигляді
А тоді всю систему (1) можна подати в вигляді
Для системи (1) розв’яжемо задачі, які ставляться в теорії лінійних алгебраїчних рівнянь:
1) питання сумісності;
2) питання визначеності і невизначеності.
Зрозуміло, що будь-яка однорідна система має розв’язок (0,0,…,0) (його називають нульовим або тривіальним), тому однорідна система завжди сумісна. Цей же результат випливає з теореми Кронекера-Капеллі, яка виконується для будь-якої однорідної системи.
З’ясуємо умови визначеності однорідної системи, застосувавши вже відомий критерій:
· Якщо ранг rA=n (n- кількісь невідомих), то система (1) має лишеодин розв’язок – нульовий, і система (1) є визначеною.
· Якщо ранг rA<n (n- кількісь невідомих), то система (1) має безліч розв’язків і система (1) є невизначеною.
Розглянемо властивості розв’язків однорідної системи.
Властивість 1.Сума двох розв’язків однорідної системи є також розв’язком цієї системи.
Властивість 2.Добуток розв’язку однорідної системи на деяке число є також розв’язоком однорідної системи.
За час існування спеціальності quot Прикладна математика quot у Дніпропетровському національному університеті створено добре збалансований курс... Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу... При викладанні курсу quot Алгебри та геометрія quot витримується один із дидактичних принципів від простого до...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Теорема.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Векторна алгебра
Одним з важливих розділів даного курсу є загальна теорія лінійних алгебраїчних рівнянь. Ця теорія ґрунтується на понятті рангу системи векторів, арифметичному просторі. Тому поперед
Доведення.
Нехай система векторів лінійно залежна за означенням 1.Треба довести, що вона лінійно залежна у сенсі означення 2.
Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1):
.
Дод
Теорему доведено.
Означення.Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді і тільки тоді, коли .
З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно
Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему.
Доведемо, що вектори колінеарні.
Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності).
Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Покажемо, що вони компланарні.
Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Н
Доведення.
Нехай маємо систему . Якщо серед них є трійка компланарних, то вони очевидно лінійно залежні. Нехай такої трійки немає.
Візьмемо точку А і прикладемо до неї дані вектори. Побудуємо
Теорему доведено.
Зауваження. Мимохідь ми довели таке важливе твердження: будь-який вектор у просторі можна розкласти за трійкою некомпланарних векторів.
1.5 Поняття базису простору
Доведення.
Доведемо цю теорему в просторі.
Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор .
Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної
Теорему доведено.
Означення.Координатами вектора у заданому базисі називаються коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису.
1.6 Афінна система координат.
I. Скалярний добуток
1. Скалярна проекція вектора на вісь.
Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку.
Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u.
Означ
II. Векторний добуток
1. Поняття векторного добутку
Введемо спочатку поняття 1)правої та 2)лівої трійки векторів.
Означення 1. Упорядкована трійка векторів a, b, c називається п
Доведення.
Припустимо, що знайшовся такий векторний простір V, у якому декілька різних нульових елементів: і .
Розглянемо суму .
За означенням нульового вектора : .
За означенням ну
Доведення.
Припустимо, що у деякому векторному просторі Vзнайшовся вектор , для якого є декілька різних протилежних елементів: та .
Розглянемо суму . Скористуємось також асоціативністю додавання.
Доведення
Застосуємо метод математичної індукції по кількості символів n.
При це очевидно: 1,2;
2,1.
Зробимо індуктивне припущення: вважатимемо правильним дане твердження пр
Доведення.
При доведенні слід розглянути 2 випадки.
1. Елементи та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться поруч:
Зауважимо, що після транспозиції положення та від
Теорему доведено.
2.2 Підстановки n-го степеня.
Означення.Підстановкою -го степеня називається бієктивне відображення -елементної множини у себе.
Будемо записувати
Доведення.
Нехай, наприклад, і-ий рядок буде лінійною комбінацією s інших рядків
Застосовуючи властивість 7, ми подамо наш визначник у вигляді суми виз
Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
Лема(про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення ).
Добуток мінору М на його алгебраїчне доповнення А складається з деяких членів визначника d, причому ці члени вход
Доведення.
Нехай задано визначник d.
Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо всілякі мінори k-го порядку, що знаходяться у перших k рядках. Нехай це б
Доведення.
Нехай задано довільний визначник:
Доведемо, що
Для доведення побудуємо допоміжний визначник, який буде відрізнятися від визначника d лише одним рядком.
&n
Доведення.
Нехай задано довільний векторний простір V і його базис . Розглянемо довільний вектор , що належить V.
1. Доведення можливості розкладання.
Розглянемо систему – лі
Доведення.
Розглянемо рівність (*) з означення лінійно залежної і лінійно незалежної системи:
З'ясуємо, при яких вона виконується:
З цієї векторної рівності о
Доведення.
Для зручності доведення цієї властивості введемо символ .
Нехай задано суму однотипних доданків
Застосовуючи двічі цей символ, отримаєм для
Доведення.
Нехай найвищий порядок мінорів, що не дорівнюють нулю є число р. Це означає, що в матриці А є мінор р-того порядку, не рівний нулю. Мінори р + 1 і більш високих порядків дорівнюють нулю.
Д
Теорема.
Для того, щоб визначник п - того порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) утворювали лінійно залежну систему.
Доведення:
Необхід
Доведення.
Доведемо першу властивість, а друга доводиться аналогічно.
Нехай і – розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є розв’язком системи (1).
Розглянемо систему в вигля
Доведенння твердження.
Нехай Н= – множина розв’язків системи (1),
– множина розв’язків системи (2).
Нехай - окремий розв’язок системи (1).
Розглянемо суму з будь-яким розв’язком однорідної сист
Закони множення.
1. Множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне. Для того, щоб в цьому переконатись,досить знайти дві матриці А і В, для яких А×В ¹ В×А .
А= , В= .
А×В
Доведення.
Необхідність. Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , " А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд
С = .
Вище було доведено,
Доведення.
Небхідність. Нехай матриця А має псевдообернену праву. Треба довести, що матриця А – рядковоневиродженна, тобто r A = s .
З того, що існує , випливає А × = Е (s&acut
Побудова множини комплексних чисел.
Відомо,що існує взаємнооднозначна відповідність між точкою прямої і дійсними числами. Але маючи дійсні числа, неможна розв¢язати навіть таке просте рівняння .
Тоді спробували побудува
Полярна система координат.
Означення.Полярною системою координат називають систему координат на площині, що складається з числової прямої, яка називається полярною віссю і точки на ній, що називається полюсо
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов