Реферат Курсовая Конспект
Преобразование декартовых координат - раздел Математика, Учебно-методическое пособие по курсу «Математика» Рассмотрим Два Вида Преобразований Прямоугольных Координат: 1) Парал...
|
Рассмотрим два вида преобразований прямоугольных координат:
1) параллельный сдвиг осей, когда изменяется положение начала координат, а направления осей остаются прежними;
2) поворот осей координат, когда обе оси поворачиваются в одну сторону на один и тот же угол, а начало координат не изменяется.
O |
O¢ |
M(x;y) |
x |
x¢ |
y |
y¢ |
y |
x |
b |
a |
My |
O¢y |
O¢x |
Рис. 19 |
Mx |
O |
M(x;y) |
x |
x¢ |
y |
y¢ |
My |
Рис. 20 |
Mx |
1. Параллельный сдвиг осей. Пусть точка М плоскости имеет координаты (х; у) в прямоугольной системе координат Оху. Перенесем начало координат в точку О¢(а; b), где а и b - координаты нового начала в старой системе координат Оху. Новые оси координат О¢х¢ и О¢у¢ выберем сонаправленными со старыми осями Ох и Оу. Обозначим координаты точки М в системе О¢х¢у¢ (новые координаты) через (х¢; у¢). Выведем формулы, выражающие связь между новыми и старыми координатами точки М. Для этого проведем перпендикуляры MMx^Ox, ММу^Оу, О¢О¢х^Ох, O¢O¢y^Oy и введем обозначения и для точек пересечения прямых ММx и ММу соответственно с осями О¢х¢ и О¢у¢ (рис. 20). Тогда, получаем
x = OMx = OO¢x + O¢xMx = ОО¢х + = a + х¢,
y = OMy = OO¢y + O¢yMy = ОО¢y + О¢ = b + y¢.
Итак,
x = a + х¢, y = b + y¢. (3.3)
Полученные формулы позволяют находить старые координаты х и y по известным новым х¢ и y¢ и наоборот.
2. Поворот осей координат. Повернем систему координат Оху вокруг начала координат О на угол a в положение Ох'у' (рис. 21).
Пусть точка М имеет координаты (х; у) в старой системе координат Оху и координаты (х'; у') в новой системе координат Ох'у'. Выведем формулы, устанавливающие связь между старыми и новыми координатами точки М. Для этого обозначим через (r; j) полярные координаты точки М, считая полярной осью положительную полуось Ох, а через (r; j') - полярные координаты той же точки М, считая полярной осью положительную полуось Ох'.
Очевидно, r = |OM|, q = q¢ + a. Из прямоугольного треугольника OMMx:
x = r cosq, y = r sinq,
и аналогично
x¢ = r cosq¢, y¢ = r sinq¢.
Таким образом,
x = r cosq = r cos(q¢+ a) = r(cosq¢ cosa - sinq¢ sina) =
= x¢cosa - y¢sina,
y = r sinq = r sin(q¢+ a) = r(cosq¢ sina + sinq¢ cosa) =
= x¢sina + y¢cosa.
Итак,
(3.4) |
y = x¢sina + y¢cosa. (3.4)
Формулы (3.4) называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки М через новые (х'; у') этой же точки М, и наоборот.
Пример 2. Определить координаты точки М(4; 6) в новой системе координат О¢х¢у¢, начало О¢ которой находится в точке (-3; 2), а оси параллельны осям старой системы координат.
Решение. Из формулы (3.3) имеем x¢ = х - а, y¢ = y - b, т. е.
x¢ = 4 + 3 = 7, y¢ = 6 -2 = 4.
В новой системе координат точка М имеет координаты (7; 4).
3.3. Уравнения прямой на плоскости
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
a |
a |
y |
x |
x¢ |
x |
y |
O |
M(x;y) |
N(0;b) |
Рис. 21 |
K(x;b) |
.
Введем обозначение , получаем уравнение
y = kx + b, (3.5)
которому удовлетворяют координаты любой точки M(x; y) прямой.
Число называется угловым коэффициентом прямой, а уравнение (3.1) - уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Если прямая параллельна оси Oy, то , уравнение (3.5) теряет смысл, т. к. для нее угловой коэффициент не существует. В этом случае уравнение прямой имеет вид х = а, где а - абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox.
Общее уравнение прямой
Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0, (3.6)
где А, В, С - произвольные числа, причем А, В не равны нулю одновременно, т. е. А2 + В2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.
В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:
· C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат;
· А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 (By + C = 0) - прямая параллельна оси Ох;
· В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 (Ax + C = 0) – прямая параллельна оси Оу;
· В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу;
· А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Пусть прямая проходит через точку M(x0; y0) и образует с осью Ох угол . Уравнение этой прямой можно записать в виде y0 = kx0 + b. Отсюда b = y0 - kx0. Подставляя значение b в уравнение (3.1), получим искомое уравнение прямой y = kx + y0 - kx0, т. е.
y - y0 = k(x - x0). (3.7)
Уравнение (3.7) с различными значениями k называют уравнениями пучка прямых с центром в точке M(x0; y0). Из этого уравнения нельзя определить лишь прямую, параллельную оси Oy.
Пример 3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; -4) и имеющей угловой коэффициент k = 3.
Решение. Точку (2; -4) обозначим М0, тогда на основании урав-нения пучка прямых (3.7) имеем y - (-4) = 3(x - 2), или 3x - y - 10 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Пусть заданы две точки M1(x1; y1), M2(x2; y2) и х1 ¹ х2, y1 ¹ y2. Для составления уравнения прямой М1М2 запишем уравнение пучка прямых, проходящих через точку М1: y - y1 = k(x - x1). Т. к. прямая проходит через точку М2, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению пучка прямых: y2 - y1 = k(x2 - x1). Отсюда находим угловой коэффициент
.
Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки имеет вид
,
или
. (3.8)
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
Пример 4. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1; 2) и В(3; 4).
Решение. Применяя формулу (3.8), получаем
или .
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой (3.6) С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или
, (3.9)
где
.
a |
b |
O |
y |
x |
M1(0;b) |
M2(a;0) |
Рис. 22 |
Пример 5. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.
Решение. Определим коэффициенты a и b
Составим искомое уравнение прямой в отрезках вида (3.9)
.
Пример 6. Прямая отсекает на координатных осях равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 см2.
Решение. Уравнение прямой имеет вид (3.9). Определим коэффициенты a и b. Согласно условию a = b, SD = ab/2 = 8 Þ a = b = ±4, a = -4 не подходит по условию задачи.
Подставляем найденные значения a и b в формулу (3.9)
или х + у – 4 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору
Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0(x0; y0) перпендикулярно данному ненулевому вектору (рис. 24).
O |
y |
x |
M0(x0;y0) |
M(x;y) |
Рис. 23 |
A(x - x0) + B(y - y0) = 0. (3.10)
Уравнение (3.10) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору.
Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.
Пример 7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1; 2) перпендикулярно вектору (3; -1).
Решение. Составим при А = 3 и В = -1 общее уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1.
Итак, искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.
Нормальное уравнение прямой
Если обе части общего уравнения прямой Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем, то получим
х cosj + y sinj - p = 0, (3.11)
O |
y |
x |
Рис. 24 |
р |
j |
Уравнение вида (3.11) называется нормальным уравнением прямой.
Знак ± нормирующего множителя выбирается из условия m×С < 0.
Пример8. Дано общее уравнение прямой 12х – 5у – 65 = 0. Требуется написать различные типы уравнений этой прямой.
- уравнение этой прямой в отрезках:
- уравнение этой прямой с угловым коэффициентом: (делим на 5)
- нормальное уравнение прямой:
;
cos j = 12/13; sin j = -5/13; p = 5.
Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через начало координат.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Уральский федеральный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Преобразование декартовых координат
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов