ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Сущность дисперсионного анализа заключаются в том, что дисперсия изучаемого признака разлагается на сумму составляющих ее дисперсий, каждое слагаемое которое соответствует действию определенного источника изменчивости.

Например, в однофакторном анализе мы получим разложение вида:

а в двухфакторном:

где
-общая дисперсия изучаемого признака С;

- дисперсия, вызванная влиянием фактора А;

- дисперсия, вызванная влиянием фактора В;

- дисперсия, вызванная взаимодействием факторов А и В;

- дисперсия, вызванная неучтенными случайными причинами (случайная дисперсия);

В дисперсионном анализе рассматривается нулевая гипотеза – ни один из рассматриваемых факторов не оказывает влияние на изменчивость признака.

Расчеты проводятся в следующей последовательности:

- определяются необходимые суммы квадратов отклонений результативного признака, в соответствии с моделью дисперсионного анализа;

- находится число степеней свободы вариации по каждому источнику;

- рассчитываются средние квадраты отклонений;

- определяются наблюдаемые и критические значения критерия F – Фишера – Снедекора, формулируются выводы относительно гипотезы Н₀;

- оценивается значимость различий групповых средних по вариантам опыта.

Если F_н F_кр, то делается вывод о сущности различий результативного признака, обусловленных влиянием признака – фактора, т.е. действие фактора на результативный признак признается статистически достоверным.

Рассмотрим алгоритм однофакторного дисперсионного анализа. _{Единичный} фактор принимает p различных уровней и на каждой уровне сделано n наблюдений, что дает N=np наблюдений.

Данные обычно располагают в виде таблицы результатов X_ij (i=1,2,…,p; j=1,2,….,n):

 

Уровень фактора, i	Номер наблюдения, j
		....	n
А1	X11	X12	…	Xln
А2	X21	X22	…	X2n
....	….	...	…	…
Аi	Xil	Xi2	…	Xin
....	…	…	…	…
....	…	…	…	…
Аp	Xpl	Xp2	…	Xpn

Рассматриваем тождество Суммируя обе части уравнения по i и j и проведя преобразования, получим:

 

(Точка вместо индекса обозначает усреднение соответствующих наблюдений по этому индексу.)

Иначе можно записать: SS_o=SS_v+SS_z. Величина факторной суммы квадратов отклонений SS_v вычисляется по отклонениям p средних от общей средней .., поэтому S_v имеет (p-1) степеней свободы. Величина остаточной суммы квадратов отклонений SS_z вычисляется по отклонениям N наблюдений от p выборочных средних и, следовательно, имеет N-p=np-p=p (n-1) степеней свободы. Общая сумма квадратов отклонений SS_o имеет (N-1) степеней свободы.

Однофакторный дисперсионный анализ

 

Источник изменчивости	Суммы квадратов отклонений(SS)	Степени свободы (к)	Средние квадраты (s2)
Общая		N-1
Различия между уровнями (факторная)		р-1
Различия внутри уровней (остаточная)		N-p

 

Если гипотеза о том, что влияние всех уровней одинаково, справедлива, то обе величины и будет несмещенными оценками . Значит, гипотезу можно повторить, вычислив отношение : и сравнить его с F_kp c k_l= (p-1) и k₂=(N-p) степенями свободы.

Если F_н F_кр , то гипотеза о незначимом влиянии фактора A на результат наблюдений не принимается.

Для оценки существенности частых различий вычисляют:

а) среднюю ошибку средней арифметической

 

б) ошибку разности средних

 

в) наименьшую существенную разность

.

Сравнивая разности средних значений по вариантам с HCP, делают вывод о существенности различий в уровне средних.

 

1 Оценить существенность различий в успеваемости студентов по четырем предметам и группам. Численность студентов в каждой группе составляет 25 человек

Уровень успеваемости студентов, балл

 

Предмет	Группы
	4,3	4,1	4,1	4,2	4,4	4,5	4,0	4,3
	4,2	4,0	3,9	4,0	4,3	4,3	3,7	3,9
	4,4	4,5	4,2	4,2	4,3	4,3	4,4	4,4
	3,9	3,9	4,0	4,1	4,2	4,4	4,1	4,2
	4,1	4,3	4,1	4,3	4,1	4,4	4,1	3,8
	4,3	4,4	4,2	4,4	4,4	4,1	4,2	4,0
	3,9	3,7	3,6	3,8	4,1	3,7	3,9	3,7
	4,1	4,2	4,0	4,3	4,3	4,1	4,2	4,1

2 Доказывает ли опыт влияние различных доз удобрений на урожайность озимой пшеницы

Урожайность озимой пшеницы с 1 га, ц

Доза удобрений	Повторения

3 Оценить различия в среднемесячной заработной плате механизаторов различной квалификации.

Среднемесячная заработная плата механизаторов, тыс. руб.

Класс механизаторов	Бригады
I	28,5	23,8	25,4	22,9	21,8	25,4	23,7	24,9	22,8	26,8
II	19,1	16,8	17,2	16,9	18,3	15,0	16,5	17,0	15,4	18,7
III	14,1	15,1	13,2	15,2	15,1	14,0	13,5	14,3	12,8	13,8

4 Оценить существование влияния различных сортов и доз удобрений на урожайность риса.

Урожайность риса с 1га, ц

Сорт	Доза удобрений	Повторения

 

5 Оценить существенность различий уровня производительности при культивации в различных хозяйствах по пропашным культурам и стажу работы механизаторов.

 

Объем выполненных работ механизаторами за 1 час работы, эт. га

Культура	Стаж работы, лет	Хозяйства
Кукуруза на зерно	до 5 от 5 до 10 от 10 до 15	0,75 1,40 1,25	0,9 1,55 1,35	0,95 1,35 1,35	1,00 1,50 1,40
Кукуруза на силос	до 5 от 5 до 10 от 10 до 15	0,85 1,50 1,35	0,95 1,40 1,40	0,85 1,55 1,55	1,10 1,45 1,50
Подсолнечник	до 5 от 5 до 10 от 10 до 15	0,80 1,35 1,45	0,90 1,45 1,40	0,75 1,35 1,30	0,85 1,40 1,30