ВАРИАЦИОННЫЕ РЯДЫ

Ряд значений (вариант) признака, расположенных в порядке возрастания или убывания с соответствующими им весами (частотами или частостями), называется вариационными рядом (рядом распределения). Частота (n_i) показывает сколько раз встречается тот или иной вариант (значение признака) в статистической совокупности. Частость или относительная частота (w_i) показывает, какая часть единиц совокупности принимает определенное значение или из интервала значений. В дискретных рядах перечисляются возможные значения признака . Если признак непрерывный или число значений дискретного признака велико, то строят интервальный ряд распределения, в котором значения признака задаются в виде интервалов. При построении интервального ряда распределения число интервалов можно определить по формуле Стэрджесса: k=1+3,322 lg n, где n – число единиц совокупности. Величина интервала (h) определяется по формуле

(8.1)

Дискретный ряд распределения можно изобразить графически в виде полигона распределения частот или частостей. В этом случае по оси абсцисс откладывают значения признака, а по оси ординат - соответствующие им частоты или частости. Полученные точки соединяются отрезками.

Интервальные ряды изображают в виде гистограммы – фигуры, состоящей из прямоугольников. По оси абсцисс откладываются значения признака (границы интервалов), по оси ординат – частоты или частости.

Дискретные и интервальные ряды можно графически представить в виде кумуляты или огивы. При построении кумуляты, в отличии от полигона, по оси ординат откладываются накопленные частоты или частости. При построении огивы на оси абсцисс наносятся точки, соответствующие накопленным частотам или частостям, а по оси ординат значения признака.

Основной числовой характеристикой вариационного ряда является средняя арифметическая:

. (8.2)

Модой вариационного ряда называется значение признака, которое имеет наибольшую частоту.

Медиана – значения признака у той единицы совокупности, которая делит вариационный ряд пополам.

В интервальных вариационных рядах с равным интервалами, мода и медиана определяется по следующим формулам:

; (8.3)

(8.4)

где - нижняя граница модального и медиального интервалов;

h- величина интервалов;

соответственно частота предмодального, модального и послемодального интервалов;

накопленная частота интервала, предыдущего медианному интервалу.

Характеристики вариационного ряда могут быть рассчитаны с помощью моментов распределения.

Моментом распределения называется средняя арифметическая к-ых степеней отклонений значений признака от определенной величины С.

(8.5)

Обычно к = 0,1,2,3,4.

Если С = 0, то момент называется начальным

(8.6)

Если С = , то момент называется центральным

(8.7)

Центральные моменты можно рассчитать через начальные, используя формулы:

 

В качестве меры симметричности ряда распределения применяется коэффициент асимметрии:

(8.10)

где - центральный момент третьего порядка.

Если = 0, то ряд является симметричным;

если < 0, то ряд с левосторонней асимметрией;

если > 0, то ряд с правосторонней симметрией.

Мерой крутости (островершинности) ряда распределения является эксцесс: (8.11)

где m₄ – центральный момент четвертого порядка.

Если Э 0, то распределение средневершинное;

если Э < 0, то распределение островершинное;

если Э > 0, то распределение плосковершинное.

Колеблемость признака характеризуется с помощью показателей вариации.

Дисперсия: - простая; (8.12)

- взвешенная. (8.13)

Среднее квадратичное отклонение: . (8.14)

Коэффициент вариации: (8.15)

Если V > 33%, то считается, что совокупность может быть статистически неоднородной в отношении данного признака.

 

1. По списку на предприятии числится 100 рабочих, которые имеют следующие разряды:

1,5,2,4,3,4,6,4,5,1,2,2,3,4,5,3,4,5,2,1,4,5,5,4,3,4,6,1,2,4,4,3,5,6,4,3,3,1,3,4,3,1,2,4,4,5,6,1,3,4,5,3,4,4,3,2,6,1,2,4,5,3,3,2,3,6,4,3,4,5,4,3,3,2,6,3,3,4,5,4,4,3,3,2,1,2,1,6,5,4,3,2,3,4,4,3,5,6,1,5.

Составить ряд распределения рабочих по разрядам. Найти накопленные частоты и частости. Вариационный ряд изобразить графически. Определить средний разряд рабочего, модальный и медианный разряд, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2. Имеются следующие данные о числе производственных рабочих на каждом из 100 крестьянских (фермерских) хозяйств:

2,4,5,3,4,6,7,4,5,3,3,4,2,6,5,4,7,2,3,4,4,5,4,3,4,6,6,5,2,3,4,3,5,6,7,2,4,3,4,5,4,6,7,2,5,3,5,4,3,7,2,4,3,4,5,4,3,2,6,7,6,4,3,2,3,4,5,4,3,5,4,3,2,6,4,5,7,5,4,3,4,5,7,4,3,4,5,6,5,3,4,2,2,4,3,7,5,6,4,5.

Составить ряд распределения крестьянских (фермерских) хозяйств по числу производственных рабочих на одно хозяйство. Найти накопленные частоты и частости. Вариационный ряд изобразить графически.

Определить среднее число производственных рабочих на одно хозяйство, модальное и медианное значения числа рабочих, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации..

3. По данным приложения 4 по одному из следующих показателей

составить интервальный вариационный ряд с равными интервалами:

1) площадь сельскохозяйственных угодий, га; 2) материальные затраты, млн. руб.; 3) среднегодовая численность работников, чел.; 4) энергетические мощности, л.с.; 5) затраты на производство продукции, млн. руб.; 6) затраты на реализованную продукцию, млн. руб.; 7) среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб.; 8) валовая продукция млн. руб.; 9) реализованная продукция, млн. руб.; 10) затраты по оплате труда, млн. руб.; 11) валовой доход, млн. руб.; 12) прибыль от реализации продукции, млн. руб.; 13) среднегодовая численность работников на 100 га сельхозугодий, чел.; 14) основные фонды на 100 га сельхозугодий, млн. руб.; 15) энергетические мощности на среднегодового работника, л.с.; 16) прибыль на 100 га сельхозугодий, млн.руб.;

17) затраты на производство на 100 га сельхозугодий, млн. руб.;

18) материальные затраты на 100 га сельхозугодий, млн.руб.; 19) затраты на реализованную продукцию на 100 га сельхозугодий, млн. руб.;

20) затраты по оплате труда на 100 га сельхозугодий млн. руб.; 21) энергетические мощности на 100 га сельхозугодий, л.с.; 22) валовая продукция сельского хозяйства на 100 га сельхозугодий, млн. руб.; 23) основные фонды на среднегодового работника, тыс. руб.; 24) валовая продукция сельского хозяйства на среднегодового работника, тыс. руб.; 25) реализованная продукция на 100 га сельхозугодий, млн. руб.; 26) затраты по оплате труда на среднегодового работника, тыс. руб.; 27) реализованная продукция на среднегодового работника, тыс. руб.; 28) затраты по реализованной продукции на 100 га сельхозугодий, млн. руб.; 29) площадь сельхозугодий на среднегодового работника, га.; 30) валовой доход на 100 га сельхозугодий, млн. руб.

Найти накопленные частоты и частости. Ряд распределения изобразить графически. Определить моду, медиану, среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент асимметрии и эксцесс. Сделать выводы по результатам расчетов.

4. Определить абсолютную и относительную плотность распределения работников предприятия по стажу их работы на данном предприятии.

 

Распределение работников по стажу работы

 

Стаж работы, лет	До 1	1-5	5-10	10-20	20-40	Всего
Число работников

 

Найти средний стаж работы, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

5. Путем устного опроса изучалось качество продукции, выпускаемой фирмой и реализуемой в магазине этой фирмы. Посетители давали оценку качества по десятибалльной шкале.

 

Бальная оценка продукции предприятия

 

Оценка качества продукции, балл	1-2	3-4	5-6	7-8	9-10
Число случаев

 

Определить средний балл качества продукции, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, показатели асимметрии и эксцесса.

6. Имеются следующие данные о площади посева овощей в хозяйствах совокупности районов.

 

Площадь посева овощей на хозяйство, га

 

Район	Номер хозяйства
							-
							-
							-
							-
							-

Дать сравнительную оценку колеблемости площади посева овощей в хозяйствах двух районов.

7. По данным распределения студентов по результатам сдачи экзаменов определить: а) средний балл успеваемости студентов по каждому предмету и по всем предметам; б) дисперсии балла успеваемости по предмету и в целом по всем предметам; в) межгрупповую дисперсию. Найти общую дисперсию успеваемости, используя правило сложения дисперсий.

 

Распределение студентов группы по результатам сдачи экзаменов

 

Оценка	Число студентов, получивших оценку по предметам

 

8. Работники предприятия сгруппированы по возрасту.

 

Распределение работников предприятия по возрасту

 

Категория работников	Возраст работников, лет	Всего
До 30	30-40	40-50	50-60	свыше 60	работников
Рабочие
Руководители
Специалисты
Всего работников

Определить: а) средний возраст работников предприятия в целом и по категориям: б) модальное и медианное значения возраста работников по категориям и предприятию; в) дисперсию и среднее квадратическое отклонение возраста по категориям работников и предприятию; г) межгрупповую дисперсию возраста работников. Найти общую дисперсию возраста работников, используя правило сложения дисперсий.