̲ͲÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎѲÒÈ ² ÍÀÓÊÈ ÓÊÐÀ¯ÍÈ
ÊȯÂÑÜÊÈÉ ÍÀÖ²ÎÍÀËÜÍÈÉ ÓͲÂÅÐÑÈÒÅÒ
ÒÅÕÍÎËÎÃ²É ÒÀ ÄÈÇÀÉÍÓ
Âèùà ìàòåìàòèêà
Ìîäóëü 5
˳òåðàòóðà
1. Äåíèñþê Â.Ï., Ðåïåòà Â.Ê. Âèùà ìàòåìàòèêà. Ìîäóëüíà òåõíîëîã³ÿ íàâ÷àííÿ: Íàâ÷. ïîñ³áíèê: Ó 4 ÷. – ×.1. Êíèæêîâå âèä-âî ÍÀÓ, 2005. – 298 ñ.
2. Äóáîâèê Â.Ï., Þðèê ².². Âèùà ìàòåìàòèêà. – Ê.: À.Ñ.Ê., 2001. – 648 ñ.
3. Øíåéäåð Â.Å., Ñëóöêèé À.È., Øóìîâ À.Ñ. Êðàòêèé êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè (â äâóõ òîìàõ). Ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âòóçîâ. – Ì.: „Âûñøàÿ øêîëà”, 1978.
4. Â.Ô. Àíòîíåíêî, Ò.². Îëåøêî, Þ.À. Ïàëàìàð÷óê. Âèùà ìàòåìàòèêà. Ìîäóëü 1. ˳í³éíà àëãåáðà: Íàâ÷. ïîñ³áíèê / Çà ðåä. ïðîô. Ò.². Îëåøêî. – Ê.: Êíèæêîâå âèäàâíèöòâî ÍÀÓ, 2005. – 140 ñ.
Çì³ñò
Âñòóï…………………………..…………………………………………………. | |
Êðàòí³ òà êðèâîë³í³éí³ ³íòåãðàëè…………………………………………… | |
1. Ïîäâ³éíèé ³íòåãðàë. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ òà òåîðåìè….…..……… | |
1.1.Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè áàçîâèõ çíàíü íà ð³âí³ ïîíÿòü, îçíà÷åíü, ôîðìóëþâàíü ïî òåì³ «Ïîäâ³éíèé ³íòåãðàë»…………………………… | |
1.2. Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ ……………………………………………. | |
1.3. Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè óì³íü îá÷èñëåííÿ ïîäâ³éíèõ ³íòåãðàë³â…………… | |
2. Êðèâîë³í³éí³ ³íòåãðàëè ïåðøîãî ðîäó. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ òà òåîðåìè………………………………………………………………………. | |
2.1. Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè áàçîâèõ çíàíü íà ð³âí³ ïîíÿòü, îçíà÷åíü, ôîðìóëþâàíü ïî òåì³ «Âèçíà÷íèêè»………...…………………………. | |
2.2. Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ ……………………………………………. | |
2.3. Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè óì³íü îá÷èñëåííÿ âèçíà÷íèê³â.………….....……… | |
3. Êðèâîë³í³éí³ ³íòåãðàëè äðóãîãî ðîäó. Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ òà òåîðåìè……………………………………………………………………… | |
3.1. Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè áàçîâèõ çíàíü íà ð³âí³ ïîíÿòü, îçíà÷åíü, ôîðìóëþâàíü ïî òåì³ «Ñèñòåìè ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü»…….. | |
3.2. Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ …………………………………………… | |
3.3. Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè óì³íü ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåì ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü ……………………………………………………. | |
4. Ðàíã ìàòðèö³………………………………………………………………. | |
4.1. Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè áàçîâèõ çíàíü íà ð³âí³ ïîíÿòü, îçíà÷åíü, ôîðìóëþâàíü ïî òåì³ «Ðàíã ìàòðèö³».…………................................................ | |
4.2. Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ ……………………………………………. | |
4.3. Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè óì³íü çíàõîäæåííÿ ðàíãó ìàòðèö³………………. | |
5. Ìåòîä Ãàóññà………………………………………………………………. | |
5.1. Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè áàçîâèõ çíàíü íà ð³âí³ ïîíÿòü, îçíà÷åíü, ôîðìóëþâàíü ïî òåì³ «Ìåòîä Ãàóññà».…………............................................... | |
5.2. Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ ………………………………………………. | |
5.3. Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè óì³íü ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåì ë³í³éíèõ àëãåáðà¿÷íèõ ð³âíÿíü ìåòîäîì Ãàóññà………………………………………………………… |
˳òåðàòóðà ……………………………………………………………………./63
Âñòóï
Ó ðàìêàõ ñòâîðåíîãî â ÊÍÓÒÄ Ìîäóëüíîãî ñåðåäîâèùà ïåðåäáà÷åíî çàñòîñóâàííÿ êîìï’þòåð³â â òåñòóâàíí³ ÿê ³íñòðóìåíòó àíàë³çó çíàíü. Òåñòóâàííÿ º îäíèì ³ç ñïîñîá³â øâèäêî¿ ïåðåâ³ðêè çíàíü ³ íàâè÷îê, îäåðæàíèõ ñòóäåíòàìè. Òåñòè ðîçðîáëåíî ³ç çàñòîñóâàííÿì â³äêðèòî¿ îñâ³òíüî¿ (Open Source) ñèñòåìè óïðàâë³ííÿ íàâ÷àííÿì Moodle. Åëåêòðîííå ìîäóëüíå òåñòóâàííÿ ïî âñ³õ òåìàõ íàâ÷àëüíî¿ äèñöèïë³íè «Âèùà ìàòåìàòèêà» ïðîõîäèòü ó ôîðì³ åëåêòðîííèõ êîíòðîëüíèõ ðîá³ò.
Ïðèçíà÷åííÿ äàíîãî ìåòîäè÷íîãî êîìïëåêñó àâòîðè áà÷àòü â òîìó, ùîá äîïîìîãòè ñòóäåíòàì àêòèâíî ³ íåôîðìàëüíî çàñâî¿òè ðîçä³ë «Êðàòí³ òà êðèâîë³í³éí³ ³íòåãðàëè» íàâ÷àëüíî¿ äèñöèïë³íè «Âèùà ìàòåìàòèêà», à, òàêîæ, àêòèâ³çóâàòè ñàìîñò³éíó ðîáîòó ñòóäåíò³â ïî ï³äãîòîâö³ äî åëåêòðîííîãî òåñòîâîãî êîíòðîëþ. Çàâäàííÿ, ÿê³ âõîäÿòü äî ñêëàäó åëåêòðîííîãî òåñòîâîãî ïàêåòó, ì³ñòÿòü ÿê òåîðåòè÷í³ ïèòàííÿ, òàê ³ ïðàêòè÷í³ çàäà÷³.
Îá’ºäíàííÿ ôóíäàìåíòàëüíîãî òåîðåòè÷íîãî ìàòåð³àëó òà ìîæëèâîñòåé ñó÷àñíèõ ³íôîðìàö³éíèõ òåõíîëîã³é äîçîëÿº ñòóäåíòàì á³ëüø åôåêòèâíî âèâ÷àòè íàâ÷àëüíó äèñöèïë³íó «Âèùà ìàòåìàòèêà», ñàìîñò³éíî ðîçøèðþâàòè òà óäîñêîíàëþâàòè ñâî¿ çíàííÿ.
Ïðåäñòàâëåí³ òåñòè ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ óñíîãî îïèòóâàííÿ ñòóäåíò³â íà ïðàêòè÷íèõ çàíÿòòÿõ, à, òàêîæ, äëÿ ÑÐÑ.
Äàíèé ìåòîäè÷íèé êîìïëåêñ íàïðÿìëåíèé íà ðîçâèíåííÿ ³ âäîñêîíàëåííÿ ó ñòóäåíò³â äðóãîãî êóðñó íàâè÷îê ñàìîñò³éíî¿ ðîáîòè ç ìàòåìàòè÷íîþ ë³òåðàòóðîþ, ïðîâåäåííÿ ñàìîêîíòðîëþ ÿêîñò³ çàñâîºííÿ îäåðæàíèõ çíàíü. Êð³ì òîãî, â³í ìຠäîïîìîãòè ñòóäåíòàì âèðîáèòè íàâè÷êè ðîçâ’ÿçàííÿ òèïîâèõ çàäà÷, ÿê³ ñòîñóþòüñÿ ðîçä³ëó «Êðàòí³ òà êðèâîë³í³éí³ ³íòåãðàëè».
Ñòðóêòóðà ìåòîäè÷íîãî êîìïëåêñó ï³äïîðÿäêîâàíà ðîçâ’ÿçàííþ ïîñòàâëåíî¿ çàäà÷³. Âåñü ìåòîäè÷íèé ìàòåð³àë ïîä³ëåíî íà ÷îòèðè ïóíêòè:
1. Ó ïóíêò³ «Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ òà òåîðåìè» íàâîäÿòüñÿ áåç äîâåäåííÿ îñíîâí³ òåîðåòè÷í³ â³äîìîñò³ (îçíà÷åííÿ, òåîðåìè, ôîðìóëè). Ö³ â³äîìîñò³ ³íîä³ ñóïðîâîäæóþòüñÿ ïîÿñíþâàëüíèìè ïðèêëàäàìè àáî êîìåíòàðÿìè, ÿê³ íàïðÿìëåí³ íà òå, ùîá ïîëåãøèòè ñòóäåíòàì ñïðèéíÿòòÿ òà çàñâîºííÿ íîâèõ ìàòåìàòè÷íèõ ïîíÿòü òà îçíà÷åíü.
2. Ó ïóíêò³ «Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè áàçîâèõ çíàíü íà ð³âí³ ïîíÿòü, îçíà÷åíü, ôîðìóëþâàíü» ðîçì³ùåí³ òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè ð³âíÿ çàñâîºííÿ ñòóäåíòàìè áàçîâèõ òåîðåòè÷íèõ ïîëîæåíü, à, òàêîæ, çàäà÷³, ðîçâ’ÿçàííÿ ÿêèõ íå ïîâ’ÿçàíî ç ãðîì³çäêèìè îá÷èñëåííÿìè, àëå ÿê³ ³ëþñòðóþòü òå àáî ³íøå òåîðåòè÷íå ïîëîæåííÿ.
Ïðèçíà÷åííÿ ïóíêòó – äîïîìîãòè ñòóäåíòàì â ñàìîñò³éí³é ðîáîò³ íàä îïàíóâàííÿì òåîðåòè÷íîãî ìàòåð³àëó, çâåðíóòè ¿õ óâàãó íà îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ áàçîâèõ ìàòåìàòè÷íèõ ïîëîæåíü, à, òàêîæ, íàäàòè ¿ì ìîæëèâ³ñòü ñàìîñò³éíî ïðîêîíòðîëþâàòè ð³âåíü çàñâîºííÿ îñíîâíèõ ìàòåìàòè÷íèõ ïîíÿòü.
Äî «Áàíêó çàïèòàíü» äëÿ îðãàí³çàö³¿ åëåêòðîííîãî òåñòóâàííÿ ç âèêîðèñòàííÿì ïëàòôîðìè Moodle âêëþ÷åí³ àíàëîã³÷í³ ïèòàííÿ.
3. Ó ïóíêò³ «Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷»ïîäàºòüñÿ ðîçâ’ÿçàííÿ òèïîâèõ áàçîâèõ çàäà÷ ïî òåì³, ÿêà âèâ÷àºòüñÿ. ʳëüê³ñòü ðîç³áðàíèõ ïðèêëàä³â âàð³þºòüñÿ â çàëåæíîñò³ â³ä îá’ºìó òà âàæëèâîñò³ òåìè.
4. Ó ïóíêò³ «Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè óì³íü ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷» íàâîäÿòüñÿ ïðèêëàäè òåñòîâèõ çàäà÷ àíàëîã³÷í³ äî òèõ, ÿê³ âêëþ÷åí³ äî «Áàíêó çàïèòàíü». ϳä÷àñ ïðîâåäåííÿ ïðîì³æíîãî òà ìîäóëüíîãî êîíòðîëþ êîìï’þòåð âèïàäêîâèì ÷èíîì àâòîìàòè÷íî ôîðìóº òåñòîâ³ íàáîðè ïèòàíü ç òèõ, ÿê³ âêëþ÷åí³ äî «Áàíêó çàïèòàíü».
ÊÐÀÒͲ ÒÀ ÊÐÈÂÎ˲ͲÉͲ ²ÍÒÅÃÐÀËÈ
Ïîäâ³éíèé ³íòåãðàë
Âëàñòèâîñò³ ïîäâ³éíîãî ³íòåãðàëà.
Êîíñòðóêòèâíî îçíà÷åííÿ âèçíà÷åíîãî ³íòåãðàëà ³ ïîäâ³éíîãî ³íòåãðàëà àíàëîã³÷í³. Ö³ ³íòåãðàëè º ãðàíèöåþ ïåâíèõ ³íòåãðàëüíèõ ñóì, òîìó ³ ¿õ âëàñòèâîñò³ òåæ º àíàëîã³÷íèìè.
Ãðàíèö³ ³íòåãðàëüíèõ ñóì, ôîðìóëè (1.4) òà (1.5), ³ñíóþòü, ÿêùî ôóíêö³ÿ – íåïåðåðâíà â îáëàñò³ D, à îáëàñòü D – îáìåæåíà çàìêíåíà êâàäðîâíà îáëàñòü åâêë³äîâîãî äâîâèì³ðíîãî ïðîñòîðó.
Ðîçãëÿíåìî äåÿê³ ïðèêëàäè çàñòîñóâàííÿ ïîäâ³éíîãî ³íòåãðàëà.
Ãåîìåòðè÷íèé çì³ñò ïîäâ³éíîãî ³íòåãðàëà.
1.1. Çà äîïîìîãîþ ïîäâ³éíèõ ³íòåãðàë³â îá÷èñëþþòü îá’ºì öèë³íäðè÷íèõ ò³ë, ïðè óìîâ³, ùî ï³ä³íòåãðàëüíà ôóíêö³ÿ íåâ³ä’ºìíà â îáëàñò³ D. Ïðè ñêëàäàíí³ ³íòåãðàëüíî¿ ñóìè ââàæàþòü, ùî çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ (âèñîòà ò³ëà ) â ìåæàõ åëåìåíòàðíî¿ ÷àñòèíè ðîçáèòòÿ îáëàñò³ ³íòåãðóâàííÿ D º ñòàëîþ (ðèñ. 12), òîìó îá’ºì åëåìåíòàðíîãî ò³ëà ìîæíà îá÷èñëèòè çà ôîðìóëîþ îá’ºìó ïàðàëåëåï³ïåäà, .
Îá’ºì âñüîãî öèë³íäðè÷íîãî ò³ëà, îáìåæåíîãî çâåðõó äåÿêîþ ïîâåðõíåþ, äîð³âíþº ãðàíèö³ ³íòåãðàëüíî¿ ñóìè:
.
Ðèñ.13 | Ïðèêëàä 1.3. Îá’ºì öèë³íäðè÷íîãî ò³ëà (ðèñ.13), îáìåæåíîãî çâåðõó ïîâåðõíåþ , çíèçó ïëîùèíîþ , ç áîêó öèë³íäðè÷íîþ ïîâåðõíåþ , äå – ð³âíÿííÿ ìåæ³ îáëàñò³ ³íòåãðóâàííÿ D â ïëîùèí³ ÕÎÓ, äîð³âíþº ïîäâ³éíîìó ³íòåãðàëó . Ìåæà îáëàñò³ ³íòåãðóâàííÿ º íàïðÿìíîþ öèë³íäðè÷íî¿ ïîâåðõí³, òâ³ðíà ÿêî¿ ïàðàëåëüíà äî îñ³ OZ. |
1.2.ßêùî ï³ä³íòåãðàëüíà ôóíêö³ÿ º ñòàëîþ ³ äîð³âíþº îäèíèö³,
, òî çíà÷åííÿ ïîäâ³éíîãî ³íòåãðàëà ÷èñåëüíî äîð³âíþº ïëîù³ îáëàñò³ ³íòåãðóâàííÿ D:
.
Ìàñà íåîäíîð³äíî¿ ïëàñòèíè.
ßêùî äëÿ ïëàñòèíè ðîçïîä³ë ãóñòèíè â ìåæàõ îáëàñò³ D âèçíà÷àºòüñÿ
Ôóíêö³ºþ , òî ¿¿ ìàñà ¿¿ äîð³âíþº
.
Ïðè ñêëàäàíí³ ³íòåãðàëüíî¿ ñóìè ââàæàþòü, ùî ãóñòèíà â ìåæàõ åëåìåíòàðíî¿ ÷àñòèíè ðîçáèòòÿ îáëàñò³ D º ñòàëîþ, òîìó ìàñà ÷àñòèíè ðîçáèòòÿ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ ìàñè îäíîð³äíî¿ ïëàñòèíè . Ìàñà âñ³º¿ íåîäíîð³äíî¿ ïëàñòèíè äîð³âíþº ãðàíèö³ ³íòåãðàëüíî¿ ñóìè:
.
Ïîäâ³éí³ ³íòåãðàëè çàñòîñîâóþòüñÿ ó ô³çèö³ òàêîæ äëÿ îá÷èñëåííÿ öåíòðà ìàñè ïëàñòèíè, ñòàòèñòè÷íèõ ìîìåíò³â â³äíîñíî êîîðäèíàòíèõ îñåé, ìîìåíòó ³íåðö³¿ ïëàñòèíè.
Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè
.
à) ; á) ; â) ;
ã)
Âêàçàòè âñ³ â³ðí³ â³äïîâ³ä³ (ï³äêðåñëèòè).
19. ßê³ ç âêàçàíèõ îáëàñòåé îáìåæåíèõ êðèâèìè ³ º ïðàâèëüíèìè ó íàïðÿìó îñ³ ÎÓ:
à) ;
á) ;
â) ;
ã) ;
ä) .
Âêàçàòè âñ³ â³ðí³ â³äïîâ³ä³ (ï³äêðåñëèòè).
20. ßê³ ç âêàçàíèõ îáëàñòåé îáìåæåíèõ êðèâèìè ³ º ïðàâèëüíèìè ó íàïðÿìó îñ³ ÎÕ:
à) ;
á) ;
â) ;
ã) ;
ä) .
Âêàçàòè âñ³ â³ðí³ â³äïîâ³ä³ (ï³äêðåñëèòè).
21. ßê³ ç îáëàñòåé º ïðàâèëüíèìè â íàïðÿìó îñ³ ÎÓ:
à) | á) | â) |
Âêàçàòè âñ³ â³ðí³ â³äïîâ³ä³ (ï³äêðåñëèòè).
22. Äëÿ îáëàñò³ ³íòåãðóâàííÿ D âêàçàòè â³ðíèé çàïèñ ïåðåõîäó â³ä ïîäâ³éíîãî ³íòåãðàëà äî ïîâòîðíîãî.
Äóãà îïèñóºòüñÿ ôóíêö³ºþ . Äóãà îïèñóºòüñÿ ôóíêö³ºþ . Äóãà îïèñóºòüñÿ ôóíêö³ºþ . Äóãà îïèñóºòüñÿ ôóíêö³ºþ . |
à) ; á) ;
â) ; ã)
Âêàçàòè â³ðíó â³äïîâ³äü (ï³äêðåñëèòè).
23.
Äëÿ îáëàñò³ ³íòåãðóâàííÿ D âêàçàòè â³ðíèé çàïèñ ïåðåõîäó â³ä ïîäâ³éíîãî ³íòåãðàëà äî ïîâòîðíîãî. |
à) ; á) ;
ñ) ; d) .
Âêàçàòè â³ðíó â³äïîâ³äü (ï³äêðåñëèòè).
Ïðèêëàäè ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷
Ïðèêëàä 1.1
Îá÷èñëèòè ïîâòîðíèé ³íòåãðàë Ïîáóäóâàòè îáëàñòü ³íòåãðóâàííÿ.
Ïðèêëàä 1.2
Îá÷èñëèòè ïîâòîðíèé ³íòåãðàë Ïîáóäóâàòè îáëàñòü ³íòåãðóâàííÿ.
Ïðèêëàä 1.3
Äëÿ îáëàñò³ D, ÿêà îáìåæåíà ïðÿìèìè , , ã³ïåðáîëîþ , òà â³ññþ ÎÕ, , äëÿ òà , çàïèñàòè ïîäâ³éíèé ³íòåãðàë â³ä ôóíêö³¿
ó âèãëÿä³ ïîâòîðíèõ, âçÿòèõ ó ð³çíèõ íàïðÿìàõ.
Ïðèêëàä 1.4
Îá÷èñëèòè ïîäâ³éíèé ³íòåãðàë â³ä ôóíêö³¿ ïî îáëàñò³ . Ïîáóäóâàòè îáëàñòü ³íòåãðóâàííÿ. Îá÷èñëèòè ³íòåãðàë ïðè ð³çíîìó ïîðÿäêó ³íòåãðóâàííÿ.
Ïðèêëàä 1.5
Îá÷èñëèòè ïëîùó îáëàñò³ D, ÿêà îáìåæåíà ïðÿìèìè , ³ ã³ïåðáîëîþ , ÿêùî òà . Îá÷èñëåííÿ âèêîíàòè, äëÿ ïîâòîðíèõ ³íòåãðàë³â, âçÿòèõ ó ð³çíèõ íàïðÿìàõ.
Îáëàñòü .
Ïðèêëàä 1.6
Îá÷èñëèòè îá’ºì öèë³íäðè÷íîãî ò³ëà, îáìåæåíîãî ïîâåðõíåþ ,
ïëîùèíîþ òà öèë³íäðè÷íîþ ïîâåðõíåþ, íàïðÿìíà ÿêî¿ ñêëàäàºòüñÿ ç äóã äâîõ ïàðàáîë: , , ÿê³ ðîçì³ùåí³ â ïëîùèí³ ÕÎÓ.
Òåñòè äëÿ ïåðåâ³ðêè
Êðèâîë³í³éí³ ³íòåãðàëè ïåðøîãî ðîäó.
Îñíîâí³ ïîíÿòòÿ òà òåîðåìè