Понятие несобственных интегралов II рода. Пример интеграл Дирихле II рода.
Рассмотрим НИ-II. Они возникают, если пытаться на конечном отрезке интегрирования [a,b] интегрировать разрывную подынтегральную функцию.
Пример: dx =
Интеграл вычислен с ошибкой. Подынтегральная функция y= в точке = 0 имеет разрыв 2 рода, =0 принадлежит [-1,1]. Т.е. подынтегральная функция является разрывной на отрезке интегрирования [-1,1], следовательно, нарушается условие теоремы Ньютона-Лейбница, поэтому решение не верно. Для того, чтобы решить НИ-II необходимо знать как он определяется.
Возможны 2 случая:
1) НИ-II расходится
2) НИ-II сходится к какому-то члену
Пример:
y=f(x), x принадлежит [-1,1]
Найдём отдельно =
=
Аналогично . Т.к. оба предела равны ∞, то НИ : расходится.
ДУ-1
F(x, y, ) = 0
yобщ=ϕ(х,с) – общее решение
y= ϕ(х,с) называется общим решением ДУ-1, если она удовлетворяет устоловиям:
1) прилюбых значениях С функция y= ϕ(х,с) является решением уравнения первого порядка.
2) для любых начальных условий (х0;у0) принадлежит D существует такое значение постоянной С, что выполняется равенство у0= ϕ(х0,С)
Если в общем решении ДУ-1 зафиксировать произвольную С, то получим так называемое частное решение. Т.о. общее решение ДУ состоит из совокупности всевозможных частных решений.
Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.
y=f(x)
С помощью неопред. интеграла находится любая первообразная y=f(x), кот. будем обознач. F(x). Первообразная для ф-ции y=f(x) наз. функция w= F(x) такая, что производная . По определению неопред. интеграла (1) По определению (1) константа Сопределяет любую первообразную.
Пример: y=f(x)=cosx
Фактически правая часть ф-лы(1) определяет семейство первообразных. Таким образом для нахождения неопред. Интеграла какой-либо ф-ции необходимо найти её любую первообразную и в ответ записать сумму найденных первообразных константы С.
Таблица основных неопределенных интегралов.
1.ò0dх=С.
2. òхadх= +С, a¹-1.
3. ò ln|х|+С,
4. , следствие
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Метод замены переменной, метод поднесения под знак дифференциала. Примеры.
Если y=f(x) зависит от дифференцируемой ф-ции x=φ(t), то неопред. интеграл . Доказательство этой ф-лы опирается на теорему сложной ф-ции.
Пр:
Св-ва дифф-ла: , применяя эту ф-лу удобнее использовать метод внесения под знак дифф-ла, а уже затем замену переменной.
Пр: . Сформируем под знаком дифф-ла выражение, стоящее под корнем.
Метод интегрирования по частям. Примеры.
Теорема:если ф-ции uиvдифференцируемы, а также дифференцируемо их произведение, то интеграл от udv равен
Док-во: найдем дифф-л произведения ф-ции uv
d(uv)=udv+vdu
udv=d(uv)-vdu интегрируем обе части равенства
(1)
Суть этой ф-лы состоит в том, что при правильном выборе ф-ции uиv, стоящий в правой части интеграл форм. должен оказаться проще, чем исходный интеграл в левой части
Пр:
При восстановлении ф-ции v с помощью интегрирования в ф-ле интегрирования по частям константу С полагают равную 0 или не пишут.
При применении ф-лы(1) для того, чтобы интеграл vdu стал проще исходного интеграла, необходимоправильно выбирать в исходном интеграле ф-цииuиdv.
Общая рекомендация по выбору ф-ции u: ф-ция uдолжна быть выбрана с учётом того, что её производная или дифф-л должны бытьпроще самой ф-ции. Общая рекомендация распадается на более конкретные рекомендации.
В интегралах вида -многочлен степени nот переменной x
В этих 0интегралах в качестве u выбирают , всё остальное dv.
Если -многочлен степени выше первой, то ф-лу интегрирования по частям нужно применять неоднократно!
В интегралах вида
, в качестве uвыбирается lnx, всё остальное dv.
В интегралах вида
, в качестве u выбирают обратные тригонометрич. выраж., всё остальное.
Структура общего решения линейного однородного
Метод Эйлера (метод характеристического уравнения)
Структура общего решения линейного неоднородного
Двукратное интегрирование по частям на примере
В интегралах вида применяется двукратное интегрирование по частям, где uи dv могут быть выбраны произвольным образом, но при повторном интегрировании, также как при первом.
Точно также .
Пример:
А
Двукратное интегрирование по частям в данном интеграле с постоянным выбором uиvпривёл нас в итоге к исходному интегралу, перенося кот. из прав. части в левую и приводя подобные, находим ответ.
Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен . Примеры.
Интегралы вида , берутся с помощью замены переменной, предварительно выделив в многочлене полный квадрат.
Пр:
Для нахождения интеграла типа необходимо выполнить следующий алгоритм:
1)находим производную квадратного трёхчлена, стоящего в знаменателе, т.е.
2)формируем эту производную в числителе под интегральной ф-цией
3)разбиваем полученный интеграл на 2 вида
Второй интеграл типа 1, а первый интеграл берётся поднесением под знак дифф-ла
Пр:
35. Понятие ряда. Классификация рядов. Примеры.
Ряд- a1+a2+…+an+… (1), где в зависимости от стр-ры общего члена ряда an ф-ла (1) может описывать как числовой ряд, если an задается числовой формулой или (1) – функциональный ряд, если an задается функцией.
Классификация рядов:
1. числовые и функциональные:
· числовые: a1+a2+…+an+…
· функциональные:
2. расходящиеся и сходящиеся
3. Числовые ряды делятся на знакопостоянные и знакопеременные (знакочередующиеся)
Также приведем некоторые примеры числовых рядов, имеющих важное практическое значение:
1. 0+0+…+0+…= = 0 – ряд сходится
2. = -1+1-1+1-1… - знакочередующийся
Sn=
= ряд расходится
3. 1 + ½ + 1/3 + 1/4 + … +1/n+… = - гармонический ряд, расходящийся
4. Примером ряда может служить сумма бесконечная геометрическая прогрессия виды:
a+ a*q+a*q2+…+a*qn-1+… = , a≠0
Необходимый признак сходимости ряда.
Если ряд - сход., то предел общего члена при n→∞=0
Док-во:рассмотрим n-ую частичную сумму ряда и (n-1)-ую частичную сумму ряда:
Возьмём предел обеих частей равенства:
Признак Даламбера и Коши для знакоположительных рядов. Примеры.
Признак Даламбера:Для ряда вычисляется предел отношения и сравнивается с 1.
1) Если l> 1 , то исслед-ый ряд расх-ся
2) Если l< 1, то исслед-ый ряд сх-ся
3) Если l=1 , то о поведении ряда ничего сказать нельзя, нужны доп.исследования – другие признаки.
Пример: исследовать на сход-ть ряд
,
По признаку Даламбера ряд сход-ся.
Признак Коши:
Для ряда вычисляется предел и сравниваем его с 1.
1) Если l> 1 , то исслед-ый ряд расх-ся
2) Если l< 1, то исслед-ый ряд сх-ся
3) Если l=1 , то о поведении ряда ничего сказать нельзя, нужны доп.исследования – другие признаки.
Пример: исследовать на сход-ть ряд
следовательно ряд сх-ся.
Признак Лейбница
Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и , то ряд сходится, а его сумма S положительна и не превосходит первого члена: S<=
Пример . Ряд из модулей имеет вид — это гармонический ряд, который расходится.
Теперь воспользуемся признаком Лейбница:
знакочередование выполнено , ,
Следовательно, так как все условия выполнены, но ряд из модулей расходится, искомый ряд сходится условнo
Интегральный признак Коши для знакоположительных рядов. Пример исследования сходимости обобщенного гармонического ряда
Пусть члены ряда положительны и убывают, т.е. и пусть f(x)непрерывная, положительная убывающая функция, определённая для х>=1 и такая, что f(1)= , f(2)= ,…,f(n)= ,…,тогда и ряд сходятся или расходятся одновременно.
Исследуем вопрос о сходимости ряда . Решение. Применим интегральный признак сходимости, тогда Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы. Рассмотрим несобственный интеграл
1.Если , то =
2. Если .
Ряд расходится. Тогда несобственный интеграл
поэтому и ряд, который является обобщенным гармоническим
ДУ с разделяющимися переменными. Пример
Уравнения вида y’ =f1(x)f2(y) называются уравнениями с разделяющимися переменными. Метод их решения состоит в нахождении множителя для преобразования в уравнение с разделенными переменными. Это : dx/f2(y), тогда уравнения запишутся так: dy/f2(y)=f1(x)dx. Проинтегрируем ∫dy/f2(y)=∫f1(x)dx. После получения общего решения необходимо проверить, являются ли нули функции f2(y) решениями заданного уравнения и заключены ли они в общем интеграле.
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение .
Разделим переменные:
Т. к. начальные условия не заданы, возьмем неопределенный интеграл от обеих частей уравнения:
Осталось лишь выразить у через х :
Найдем также нулевые решения:
Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Примеры.
1) Ин-л вида , где R обозначена рац. ф-ция своих аргументов сводиться к ин-лу от дробно-рац. ф-ции с помощью замены переменной ; = , где S – наим. общ. кратное показателей всех корней, входящих в подинтеграл. ф-цию S=НОК(k,m,…n)
Пр: = = s New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="52"/><w:sz-cs w:val="52"/></w:rPr><m:t>2</m:t></m:r></m:sup></m:sSup><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Times New Roman"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="52"/><w:sz-cs w:val="52"/></w:rPr><m:t>)</m:t></m:r></m:den></m:f></m:e></m:nary></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> = 6 = 6 = 6 + c=6 =6 +C
2) В и-лах вида вводится подстановка t= с помощью которой и-л рационализируется, т. е. сводится к предыдущему методу.
3) И-лы, связанные с подстановкой Эйлера.
Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка. Примеры.
Инт-лы вида рационализируются с помощью универсальной тригонометр. подстановки t=tg . Выразим осн. тригоном. ф-ции через t , т.е. с помощью унив. триг. подст.
;
; ; ;
Пр:
19.Св-ва опред. И:теорема об интегрировании нерав-в,теоремы об оценке И.
Теорема об интегрир.нерав-в: если в люб.т.Хотр [а;в] выполн.нерав.f(х)≤g(х), т ф-цииf(x) и g(x),интегрируемые на отр. [а;в] и выполн.нерав. .
| у |
| х |
| y=g(x) |
| y=f(x) |
| S1 |
S1≤S2.Теоремы об оценке И:1)если на отр.[а;в]
ф-ция удов. нерав. m≤f(x)≤M,то опред.И
удов.нерав.m(в-а)≤ .
Док-во: проинтегр.наотр[а;в] всё нерав: .Но по св-ву линейности в лев и прав И выносим mи M за И: m(в-а)≤ ≤M(в-а) 2)если y=f(x) интегрируема на отр[а;в],│ │<
20.Теорема о среднем.Её геометр. и эк.интерпритац.
Если ф-ция у=f(x)непрерыв. на отр[а;в],,то на нём сущ.т.С,такая,что И . Док-во:т.к. ф-ция,непрерыв.наотр[а;в],достиг. на нём своего наим. и наиб. знач.,кот. мы обознач. соотв. mи M,то m≤f(x)≤M. На основании теор.об оценке И (1): m(в-а)≤ ≤M(в-а)
Разделим обе части на вел-ну (в-а)>0.Имеем:m≤ ≤M. Число заключено м/дуmaxи minзнач. ф-ии на отр[а;в],а т.к.ф-циянепрерыв. на этом отр.,то на нём она приним.всезнач.,заключ. м/дуm и M=>на этом отр.найдётсявнутр. тС,в кот. f(C)= .
h AQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4 /SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQCU OcG73wEAAOEDAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAA IQDUazUD2QAAAAUBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAADkEAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQA BADzAAAAPwUAAAAA " strokecolor="#4579b8"/>
| у=f(x) |
| f(C) |
а с в
f(C)(в-а)=Sпрямоуг.; =Sкриволинейн.трап. ТО суть теоремы в том,что на отр.[а;в]для у=f(x) найдётся т.С,такая,чтоSпрямоуг.,постр.на высоте f(С)и ширине (в-а),равновелика Sкр.трап,пост. С помощью у=f(х),прямых х=а,х=в и отр.[а;в].В эк.эта теорема нашла своё применение для нахожд.сред.изд.пр-ва(АС= ),где К(х)-ф-ция,задающая изд.пр-ва,где х- Vвып.прод-цыи.
Понятие фнп.ее обл определения. Пределы фдп в точке. Непрерывность фдп в точке. Примеры
| ФНПz=f(x,y) | Примеры тут |
| Правило, по кот паре независперем Х, У ствится в соотв-е определен. значZ-зависимая перем. D(z)=мно-во всевозможн пар х ,y при кот ф-ция имеет смысл | ф имеет действитзнач если или Линия круга пунктиром, т.к строгий знак!!! |
| График фнп в пространстве-поверхность. | |
| (М-точка)или Трудность вычисл предел ФДП связано с вар-в попадания из т. М(х,у) в фиксир т. М0(х0,у0) | вычисляем Ф определена и непрерывна на всей плоскости поэтому предел этой ф равен знач ф точке (2;3). Т.е |
| Z=f(x,y) непрерыв в т. М0(х0,у0) если или |
Частное приращение фдп. Частная производная фнп по одной из этих переменных. Примеры
Δх и Δу-независим перем-ые. Δz- зависим. Δх=х-хо, Δу=у-уо.
Δz= -полное приращ
-частное приращ ф. по перемещ-ию из М(х0,у0) в М0по перем-ой х
-по переменной у.
Очевидно, полное приращ фдп не равно алгебр сумме частн приращ по перем х и у.
Частная производная фдп по х
М0
Таким образом, для фдп сущ-ет 2 частн произв первого порядка.
Примернах-я частной производной
Вычисление площадей плоских фигур.
1)Вычисление S плоских фигур
| У=f1(х) |
А в
f1(x)≥f2(x) ɎxЄ[а;в]
(1)Sкр.трап.=авf1x-f2(x))dx
Док-во это ф-лы основано на том,что искомая Sкр.трап=Sкр.трап.1-Sкр.трап.2 ; авf1x-f2(x))dx= dx-авf2xdx
Она справедлива также,есликр.трап.леж.под осью Ох,в этом случае,также как и врассмотренном выше,используется ф-ла (1), в кот.необход.правильно подставить ф-циюf1(лежит выше),f2(лежит ниже)
g1(x)
g2(x)
Sкр.трап.=ав(g1x-g2x)dx
| в |
| c1 с2 |
| а |
| у |
S=S1+S2+S3; f(x)=0 =>c1 b c2-корни
S1=ас1fxdx; S2=-с1с2fxdx;S3=с2вfxdx;
2)вычисление дуг плоских кривых:
LАВ=ав1+(f`x)2dx
В
| У=f(x) |
3)вычисление Vтел вращения:рассм.на декартовой плоскости дугуАВ на отр.[а;в].Если эту дугу вращать вокруг оси Ох,тополуч.объёмное тело Vох=Павf2xdx
| в |
| а |
А
а в