МАТЕМАТИКА

Алтайская академия экономики и права

МАТЕМАТИКА:

Модульно-рейтинговая

Система обучения

Часть 4

Н.Т. Копылова Издание предназначено для студентов всех форм обучения экономических… Обсуждено на заседании кафедры математики и информатики и рекомендовано к публикации методическим советом ААЭП. …

В приведенной ниже таблице дано название и вес модуля, указаны входящие в него виды работ и график контроля. Таблица служит памяткой обучающимся, в… Набравшие по всем видам работы 90% от общего количества баллов получают оценку… Срок защиты индивидуального задания по модулю оговаривается заранее. Защита после срока оценивается с коэффициентом…

Памятка студента

(корректируется для каждой специальности)

Наименование модуля	Вид контроля	Длительность изучения (специальность ФК)	Вес модуля в итоговом рейтинге	Примечания
М4. Интегральное исчисление функции одной переменной	ИЗ 4	5 недель (16 часов)		Оценивается зачтено / не зачтено (могут добавляться поощрительные баллы либо вычитаться, но не более 10)
	КР		0,15	Контрольная работа по неопределенному интегралу (оценивается в баллах)
	ТЗ		0,15	Тест по интегральному исчислению (оценивается в баллах)

МОДУЛЬ 4

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Неопределенный интеграл

Первообразная. Неопределенный интеграл

Определение. Отыскание функции F(x) по ее производной =называется интегрированием. Теорема. Если F(x) – первообразная функции f(x) на промежутке , то любая… Следствие. Множество функций + С, где F(x) – одна из первообразных, исчерпывает все семейство первообразных для…

Таблица основных интегралов

Поскольку интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то, зная таблицу производных, можно написать таблицу основных интегралов:

1. ; 2. ;

3. , n 1; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. .

Непосредственное интегрирование. Подведение константы и функции под знак дифференциала

Пример 1. Найти . Решение. = .

Решение

Пример 3. Найти .

Решение , то есть таблицу интегралов можно дополнить еще одним интегралом: .

Пример 4. Найти .

Решение..

Метод замены переменной (метод подстановки)

Замечание. При замене переменной в неопределенном интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а наоборот, t как функцию от х. Пример 1. Найти .

Решение

. Пример 2. Найти . Решение. .

Решение

Пример 6. Найти . Решение . Замечание.При помощи той жеформулызамены вычисляются интегралы , , и т.д.

Интегрирование по частям

Теорема. Пусть u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке x и пусть функция имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на… (1.2) Формула (1.2) называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Для вычисления интегралов вида:

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. , содержащих квадратный трехчлен, применяют следующие преобразования:

1) выделяем полный квадрат из квадратного трехчлена, то есть

2) полный квадрат преобразуем в квадрат двучлена:

3) делаем замену , в результате чего интегралы после преобразований приводятся к табличным.

Пример 1. Найти .

Решение.

Пример 2. Найти .

Решение.

Пример 3. Найти .

Решение. =

Интегрирование рациональных функций

Если < , то называется правильной дробью, в противном случае – неправильной. Всякую неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель можно… Пример. Представить неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Решение.

Пример 2. Найти .

Решение.

Разложение рациональной функции на простейшие дроби

, (1.4) где – действительные корни многочлена кратностей соответственно, а ; . Числа –… Теорема. (O разложении правильной дроби на сумму простейших дробей).

Схема интегрирования рациональных дробей с помощью

Разложения на простейшие дроби

2. Разложим знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители: , где .

Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций… Определение. Рациональной функциейот двух переменных и называется функция,… Пример. Функция является рациональной.

Решение.

Примечание. Интегралы вида: , , были рассмотрены в пункте 1.6. IV. Интегралы вида с помощью подстановки приводятся к интегралам, рассмотренным в пункте 1.6.

Решение.

Решение.

1.10. Интегралы вида где R – рациональная функция

Интегралы такого вида с помощью подстановки преобразуются в интегралы от рациональных функций, то есть

Пример. Найти .

Решение.

Интегрирование тригонометрических выражений

I. Интегралы вида где – рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью универсальной тригонометрической подстановки . В этом случае

; ;;

Пример. Найти .

Решение.

, = =. Примечание. В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида может быть упрощено:

Решение.

2. Если - нечетная функция относительно то есть если =-, то интегралы вида приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью подстановки .

Пример. Найти .

Решение.

III. При вычислении интегралов вида , где и – целые числа, возможны следующие… 1) один из показателей или – нечетное положительное число. Если – нечетное положительное число, то применяется…

Решение.

IV.При вычислении интегралов вида , , применяются тригонометрические формулы:

Они дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.

Пример. Найти .

Решение.

Замечание. Рассмотренные методы и приемы интегрирования не исчерпывают всех классов аналитически интегрируемых элементарных функций. Если дифференцирование не выводит из класса элементарных функций, то при интегрировании встречаются такие элементарные функции (например, , , и т.д.), первообразные от которых не являются элементарными функциями. Если первообразная не является элементарной функцией, то говорят, что интеграл "не берется" в элементарных функциях.