Решение задач по теме «Пирамида».

 

Следует помнить, что в учебнике и других пособиях встречаются задачи на следующие типы пирамид: правильная и неправильная пирамида. Среди неправильных пирамид может выделить следующие виды;

а) пирамида с равнонаклоненными ребрами;

б) пирамида с равнонаклоненными гранями;

в) одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания;

г) одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания.

Рассматривая свойства правильной пирамиды, следует прежде всего остановиться на алгоритме построения чертежа правильной пирамиды: построив изображение основания, находим проекцию вершины пирамиды – точку пересечения медиан, затем строим изображение высоты и только на последнем этапе строим изображение боковых ребер.

Рассмотрим свойства правильной пирамиды на примере треугольной пирамиды ДАВС.

∆ АОД = ∆ ВОД = ∆ СОД по катету (ОД) и гипотенузе (АД = ВД = СД). Из равенства этих треугольников следует, что АО = ВО = СО, т.е. точка О равноудалена от вершин треугольника, т.е. является центром описанной окружности, с другой стороны центр описанной окружности в правильном многоугольнике является центром вписанной окружности. Поэтому при решении задач на правильную пирамиду следует использовать следующие формулы

 

 

где е – длина бокового ребра, h_бок. – длина апофемы, α – угол наклона бокового ребра к плоскости основания, φ – угол наклона боковой грани к плоскости основания.

Для правильной пирамиды справедлива формула ;

Докажем эту формулу для треугольной пирамиды.

 

Кроме того, при решении задач с правильной пирамидой следует помнить о следующих свойствах:

· Проекция высоты пирамиды на боковую грань лежит на высоте грани (апофеме пирамиды);

· Проекция высоты на ребро основания – его середина;

· Каждая точка высоты равноудалена от боковых ребер, вершин основания, боковых граней;

· Угол между боковым ребром и плоскостью основания один и тот же для всех боковых ребер;

· Угол между боковой гранью и основанием для всех боковых граней один и тот же;

· Все углы между соседними боковыми гранями равны;

· Все плоские углы при вершине пирамиды равны;

· Боковые грани-равные равнобедренные треугольники;

· Все углы, образованные боковыми ребрами и высотой пирамиды, равны.

 

 

Задача1. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно а, а плоский угол при вершине α. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение.

S_пир = S_осн + S_бок, S_бок=½Р_осн h, S_осн =1/4а²√3

Рассмотрим треугольник ДСН - прямоугольный, <НСД=α/2; ДН=ДСCOSα/2=аCOSα/2; СН=а sin α/2; СВ=2 а sin α/2.

S_осн=1/4*4а² sin² α/2*√3=а² sin² α/2*√3;

S_бок=½*6 а sin α/2* аCOSα/2=3/2а² sin α;

S_пир=а² sin α/2(3/2COSα/2+ siп α/2*√3).

 

Ответ: S_пир=а² sin α/2(3/2COSα/2+ siп α/2*√3).

 

 

Задача 2. В правильной 3-угольной пирамиде известна сторона основания и плоский угол при вершине. Найдите: а) апофему пирамиды; б)угол между боковым ребром и плоскостью основания; в)двугранный угол при основании; г)высоту пирамиды.

Решение

Пусть а- сторона основания, α- плоский угол при вершине.

а) ∆СДН- прямоугольный; <СДН= α/2; СН=а/2; ДН=а/tgα/2 (апофема).

б)угол между боковым ребром и плоскостью основания<ДСО=ψ.

ОС=ДС=а/2sinα/2; cos ψ=ОС/ДС=(а√3/3):( а/2sinα/2)=⅔√3sinα/2;

<ДСО =arcos(⅔√3sinα/2)

в) ОН= двугранный угол при основании<ДСВА=<ДНО=φ

∆ОДН- прямоугольный; cosφ=ОН/ДН=1/6а√3:(а/tgα/2)=1/6√3tgα/2; <ДСВА=arcos(1/6√3tgα/2).

г)высота пирамиды ДО=(а√12- tgα/2):(2 tgα/2).

 

Неправильная пирамида с равнонаклоненными ребрами обладает следующими свойствами:

1. Проекцией вершины является центр описанной окружности вокруг основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Углы, образованные высотой пирамиды с боковыми ребрами, равны.

Эти свойства следует из равенства треугольников АОД, ВОД, СОД.