Комбинация пирамиды с шаром.

Рассмотрим ситуацию, когда шар описан вокруг пирамиды. Центр описанного шара равноудален от всех вершин пирамиды. В плоскости основания пирамиды имеется одна точка, равноудаленное от вершины многоугольника, это центр описанной окружности. Тогда все точки пространства равноудаленные от вершины многоугольника, лежат на прямой, перпендикулярной плоскости многоугольника и проходящей через центр описанной окружности. Если пирамида правильная, то центр описанного шара лежит на ее высоте. В пирамиде с равнонаклоненными ребрами центр описанного шара лежит также на высоте. Пользуясь свойством точек, равноудаленных от вершины пирамиды можно сделать вывод, что вокруг любой треугольной пирамиды можно описать шар; если же шар описан вокруг четырехугольной неправильной пирамиды, то в основании может лежать прямоугольник, квадрат, равнобедренная трапеция, либо произвольный четырехугольник, у которого сумма противоположных углов составляет 180⁰.

Теорема. Около любой треугольной пирамиды можно описать сферу.

Сфера называется описанной около многогранника (а многогранник вписанный в сферу), если все его вершины лежат на сфере.

Центр описанной сферы - точка, равноудаленная от всех вершин многогранника.

Пусть S-вершина треугольной пирамиды SABC, М-центр окружности, описанной около треугольника АВС, ℓ-прямая, перпендикулярная плоскости основания АВС и проходящая через точку М. Тогда каждая точка прямой ℓ равноудалена от точек А, В и С.

Если К- середина какого-нибудь ребра пирамиды (например SВ), то плоскость ά, проходящая через точку К и перпендикулярная ВS, пересекает прямую ℓ в точке О, равноудаленной от всех вершин пирамиды. Эта точка и есть центр описанной сферы.

Рассмотрим методы решения задач на шар, описанный вокруг пирамиды.

Задача7. Найти радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром а.

Центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды лежит на высоте, т.е. причем М - центр описанной окружности вокруг правильного треугольника АВС, следовательно , где m – медиана треугольника АВС.

I. способ решения.

1. Рассмотрим ∆ АОМ – прямоугольный: . По теореме Пифагора имеем . .

. (1)

2. Из треугольника AMD найдем высоту h:

.

3. Подставив в равенство (1), получим:

.

Ответ: