Реферат Курсовая Конспект
Пирамида с равнонаклоненными гранями. - раздел Математика, Решение стереометрических задач по теме «Пирамида» Обобщение опыта работы учителя математики Опре...
|
Определенная доля задач на пирамиду в учебнике связана с пирамидой, в которой боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания. Такую пирамиду будем коротко называть пирамидой с равнонаклонеными гранями.
Если из основания высоты, точки О, провести перпендикуляры к сторонам основания и соединить точки их пересечения с вершиной, получим линейные углы двугранных углов при основании: .
Треугольники DMO, DON, DOP равны по общему катету DO и острому углу . Из равенства треугольников следуют свойства пирамиды с равнонаклоненными гранями:
1. все высоты боковых граней равны,
2. вершина пирамиды проектируется в центр вписанной окружности,
3. углы, образованные высотой пирамиды с высотами боковых граней, равны.
При решении задач на этот тип пирамиды следует помнить формулу площади многоугольника , в случае прямоугольного треугольника полезна формула r=(a+b-c)/2. Для пирамиды с равнонаклоненными гранями справедлива формула . Её легко доказать для треугольной пирамиды.
:
В основании пирамиды с равнонаклоненными гранями может лежать любой треугольник (прямоугольный, тупоугольный, остроугольный), из параллелограммов может быть только ромб (квадрат, как частный случай ромба), из всех видов трапеции в основании пирамиды второго типа может лежать произвольная трапеция, в которой суммы противоположных сторон равны.
Задача 4.Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом β. Двугранные углы при основании равны α. Найти объём и полную поверхность пирамиды.
Решение.
.
По условию задачи АВСД- ромб, АВ=а, <А=β, <РДСА=<РАДС=<РБСА=<РАВС= α.
Sп=Sосн+Sбок, V=⅓ Sосн*h.
Sосн=а2sinβ, Sбок = Sосн/cos α= а2 sinβ/ cos α ,
Sп= а2sinβ+ а2 sinβ/ cos α=а2 sinβ(1+ cos α).
Иначе Sосн=½Росн*r, r=ОН=2 Sосн/ Росн=аcos β(cos α+1)/ 2cos α.
Рассмотрим ∆РОН- прямоугольный, РО= аcos βsin α(1+ cos α).
V=⅓ а2sinβ аcos βsin α(1+ cos α)= 1/6 а3sin2β sin α(1+ cos α).
ОТВЕТ: V=1/6 а3sin2β sin α(1+ cos α); Sп=а2 sinβ(1+ cos α).
При рассмотрении пирамид, у которых одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, особый интерес представляет четырехугольная пирамида, в основании которой лежит параллелограмм. С учащимися необходимо выяснить следующие моменты:
1. если в основании лежит параллелограмм, то среди боковых граней имеется только два прямоугольных треугольника,
2. если этот параллелограмм является прямоугольником, то все четыре боковые грани являются прямоугольными треугольниками. по теореме о трех перпендикулярах.
3. если этот прямоугольник является квадратом, то эти боковые грани являются попарно равными прямоугольными треугольниками (; ).
Значительно реже встречаются задачи на пирамиду, у которой одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания. Особыми свойствами пирамиды этого типа не обладают, поэтому никаких алгоритмов решения для такого типа задач нет.
Задача 5.Основанием пирамиды служит прямоугольник с меньшей стороной а. Найти объем пирамиды, если две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней соответственно под углами 300 и 600.
Решение. V=⅓ Sоснh. Так как две боковые грани перпендикулярны к основанию, то высота пирамиды h=РВ (боковому ребру), т.е. РВ перпендикулярно к основанию, следовательно, линейные углы двугранных углов РСДА и РАДВ равны углам РСВ и РАВ соответственно, т.е. <РСВ=300, а <РАВ=600, т.к. сторона ДС=а (меньшая).
1. Рассмотрим ∆РАВ- прямоугольный, тогда РВ= АВ*tg600=а√3.
2. ∆РВС- прямоугольный, ctg300=ВС/РВ, т.е. ВС=РВ* ctg300=3а.
3. Sосн=ВС*СД=а*3а=3а2. Тогда
4. V=⅓3а2* а√3=а3√3.
Ответ: V=а3√3.
Задача 6.Основание пирамиды- квадрат. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания, а большее боковое ребро равно 12. Зная, что две боковые грани образуют с плоскостью основания углы по 450, определить объем пирамиды.
Решение. V=⅓ Sоснh. Т.к. одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания (пусть это будет ребро РВ), то высота пирамиды h=РВ.
Пусть сторона основания равна а, тогда диагональ основания равна а√2, т.к. АВСД- квадрат.
1. ∆ВРД- прямоугольный: РВ2=144-2а2(по теореме Пифагора).
2. ∆ВРА- прямоугольный и равнобедренный, т.к. <РАВ=450. Тогда АВ=ВР=а; ВР2= а2
3. Приравнивая Выражения, получим 144-2а2= а2, отсюда а=4√3, т.е. h=4√3.
4. Sосн= а2=48. V=⅓*48*4√3=192√3/3=64√3.
Ответ: V=64√3.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
по теме Пирамида... Обобщение опыта работы учителя математики... Чупровой Ольги Степановны...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Пирамида с равнонаклоненными гранями.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов