Изучение нумерации чисел от 21 до 100.

При изучении устной нумерации на основе счета десятков раскрываются образование и название чисел 20, 30 и т.д., а затем, на основе счета десятков и единиц, образование и название чисел вида 24 (2 дес. и 4 ед.), 57 (5 дес. и 7 ед.). В названии чисел появляются новые слова: сорок, девяносто.

Усвоению десятичного состава числа способствуют упражнения в образовании и замене чисел суммой разрядных слагаемых:

· Какое число составляет 5 дес и 7 ед.? (57)

· Сколько десятков и единиц в числе 62 (6 дес и 2 ед.)

Также можно использовать прием наглядной интерпретации, обозначив десятки треугольниками, а единицы кругами.

Например: OOO ΔΔΔΔ (34) ΔΔΔΔΔΔ ‰‰‰‰‰‰‰‰‰ (69)

Можно использовать карточки, например:

			Дес.	Ед.

С целью систематизации знаний полезно в конце работы над темой включать задания по характеристике заданных чисел.

Изучение нумерации в пределах тысячи и миллионапроходит аналогично изучению нумерации в пределах сотни на втором этапе, используются аналогичные приемы и закрепляющие упражнения.

Подготовительную работу целесообразно начинать заранее, систематически включая устные упражнения на знание соотношения известных им разрядных единиц, о десятичном составе чисел, последовательности чисел, о принципах записи чисел вида:

· Сколько единиц в сотне? Во сколько раз десяток больше единицы?

· Какое число состоит из 5 дес и 7 единиц? Какое число состоит из 7 сотен и 5 дес?

· Какое число следует при счете за числом 85? Какое число следует при счете за числом 139?

При изучении нумерации в пределах 1000 под руководством учителя учащиеся устанавливают и записывают соотношения между разрядными единицами: 10 ед=1 дес, 10 дес=1сот. В названии чисел используется новое для ребят слово: сто.

У детей может сложиться неправильное представление о натуральной последовательности чисел за пределами сотни (после числа 100 сразу число 200). Чтобы избежать этого, следует включать упражнения в счете предметов и в присчитывании по одному. При изучении письменной нумерации знание о натуральной последовательности чисел закрепляют, предлагая письменные упражнения на установление предыдущего и следующего числа (примеры вида а+1).

Нумерация чисел в пределах миллиона имеет свои особенности: многозначные числа образуются, называются и записываются с опорой не только на понятие разряда, но и на понятие класса. Учителю необходимо раскрыть это важное понятие ДСС, а также сформировать понятие о новой счетной единице – тысяче как единице II класса.

В названии чисел появляются новые слова: тысяча, миллион.

Для усвоения структуры многозначного числа и терминологии, связанной с названием разрядов и классов, учащиеся упражняются в чтении чисел, записанных в нумерационную таблицу или записывают в нее числа, которые называет учитель.

Для этого можно использовать следующую систему упражнений:

 

1. Прочитай числа, записанные в таблице. На каком месте, считая справа налево, пишут единицы? Десятки? Сотни?

Сотни	Десятки	Единицы
Единицы 3 разряда	Единицы 2 разряда	Единицы 1 разряда

2. Запиши и прочитай число, в котором:

1) 5 единиц третьего разряда, 0 единиц второго разряда, 6 единиц первого разряда.

2) 1 единица третьего разряда, а единиц второго и первого разрядов нет.

3. Рассмотри таблицу:

II класс – класс тысяч	I класс – класс единиц
Сотни тысяч	Десятки тысяч	Единицы тысяч	Сотни	Десятки	Единицы

1) Единицы каких разрядов составляют первый класс? Второй класс?

2) Сколько разрядов в каждом классе?

4. Сколько единиц каждого разряда в числах: 967 тысяч? 609 тысяч? 90 тысяч? 76 тысяч?

5. Рассмотри таблицу:

II класс – класс тысяч	I класс – класс единиц
Сотни тысяч	Десятки тысяч	Единицы тысяч	Сотни	Десятки	Единицы

Скажи, сколько единиц второго класса содержат числа, записанные в таблице? Прочитай эти числа.

6. Замени число суммой разрядных слагаемых:

205=+ 

205 000= +

640=  + 

640 000 =  + 

7. Запиши и прочитай числа, в которых:

5 сотен 9 единиц

5 сотен тысяч 9 единиц тысяч

8. Сколько единиц второго и первого классов в каждом числе, записанном в таблице?

9. Запиши и прочитай числа, в которых:

· 30 единиц второго класса и 870 единиц первого класса;

· 8 единиц второго класса и 600 единиц первого класса;

· 4 единицы второго класса и 0 единиц первого класса.

10. Запиши числа цифрами:

“Наименьшее расстояние от Земли до Луны составляет триста пятьдесят шесть тысяч четыреста десять километров, а наибольшее – четыреста шесть тысяч семьсот сорок километров”

11. Что обозначает каждая цифра в записи числа 140 401? 308 000? 70 050?

12. Запишите с помощью цифр 9 и 0 одно пятизначное число и одно шестизначное.

13. Спиши, заполняя пропуски:

1 тысяча =  сотен 3 тысячи =  сотен

1 сотня =  десятков. 1 сотня =  десятков

Значит: Значит:

1 тысяча =  десятков 3 тысячи =  десятков.

14. Запиши числа: 378, 6 517, 85 742, 375 264. Сколько в каждом из них всего десятков? (Подчеркни) Сколько всего сотен?

15. Рассмотри числа: 3 849, 56 018, 370 843. Какое из подчеркнутых чисел показывает, сколько всего десятков в числе? Сотен? Тысяч?

16. Запиши числа, которые содержат:

· 40 тысяч 60 единиц

· 40 тысяч 6 единиц

· 100 тысяч 1 единица

· 101 тысяча 10 единиц

· 9 тысяч 9 единиц

· 9 тысяч 90 единиц

17. Сколько единиц каждого разряда в числе 395 028? В числе 602 003? Сколько единиц каждого класса в этих числах?

18. Сколько нулей надо записать после цифры 1, чтобы она обозначала сотню? десяток тысяч? Сотню тысяч?

19. Проверь, верны ли неравенства:

5 312 < 5 320

900 001 > 901 000

20. Запиши 6 четырехзначных чисел, используя каждый раз все данные цифры: 3, 7, 0, 8. Что обозначает цифра 7 в записи этих чисел?

21. Используя цифру 7, запиши однозначные, двузначные, трехзначные, четырехзначные числа.

 

Вопрос 23. Алгоритм сложения многозначных чисел в десятичной системе счисления; теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного сложения. Формирование навыков письменного сложения.

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу сложения однозначных чисел.

Смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения проходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.

+

Представим слагаемые 7238 и 341 в виде суммы степеней десяти. 7238+341= (7•10³ +2•10²+3•10+8)+(3•10²+4•10+1). Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 7•10³+2•10²+3•10+8+3•10²+4•10+1. На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7•10³+3•10²+2•10²+4•10+3•10+1+8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7•10³+(3•10²+2•10²)+ (4•10+3•10)+(1+8). Вынесем за скобки в первой скобке число 10², а во второй – 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения: 7•10³+(3+2)•10²+(4+3)•10 +(1+8). Сложение данных чисел 7238 и 341 свелось к сложению однозначных чисел. Таким образом, в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, можно сформулировать в виде алгоритмического предписания:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна 10, то представляют ее в виде а₀+в₀ =1•10+с₀, где с_о – однозначное число; Записывают с₀ в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и так далее.

Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов.

Приступая к изучению письменного приема сложения, учитель ставит перед собой следующие задачи:

1) познакомить учащихся с приемом письменного сложения

2) научить применять приемы письменных вычислений.

3) Сформировать прочные умения (навыки) применения приемов.

Исходя из теоретических фактов, лежащих в основе алгоритма письменного сложения, мы определяем необходимый минимум ЗУН для изучения этого материала.

1. Знание нумерации.

2. Сложение в пределах 20.

3. Алгоритм сложения.

4. Правила сложения разрядных чисел.

Данный раздел изучается по программе Моро М.И.(М₂М) начиная с концентра 100, где рассматриваются следующие случаи:

+

+

+

1. Сначала даются упражнения на сложение чисел без перехода через разряд.

2. Затем рассматриваются случаи, когда при сложении разрядных единиц получается число, равное 10 единицам, или при сложении разрядных десятков – число, равное 10 десяткам.

3. Когда при сложении разрядных десятков получается число, большее 10 десятков.

4. Когда при сложении разрядных единиц получается число, большее 10 единиц и при сложении десятков – большее 10 десятков. Требуется уточнение случаев!

 

В программе Истоминой Н.Б. (М₂И) учащиеся знакомятся с алгоритмом письменного сложения после того, как они усвоят нумерацию чисел в пределах миллиона. При этом их деятельность направлена не на отработку частных случаев сложения, а на осознание тех операций, которые входят в алгоритм. (Маловато!)

Формирование вычислительных умений и навыков – одна из основных задач начального курса математики.

Вычислительное умение - это развернутое осуществление действия, в котором каждая операция осознается и контролируется. Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема. Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством. М.И. Бантова выделила 4 этапа формирования вычислительных умений. (Это не этапы формирования, а методика ознакомления с приёмом!)

1. Подготовка к введению нового приема.На этом этапе создается готовность к усвоению вычислительного приема, а именно : учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается вычислительный прием, а также овладеть каждой операцией, составляющей прием.

2. Ознакомление с вычислительным приемом. Учащиеся усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

3. Закрепление знания приема и выработка вычислительного навыка. Учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих прием, и предельно быстро выполнять эти операции, т.е. овладеть навыком.

4. Решающая роль упражнений.

Н.В. Зотова предлагает работу по предупреждению ошибок при выполнении письменного приема сложения. Освоив арифметическое действие сложение, овладев традиционными способами проверки, дети все же допускают достаточно большое количество ошибок при решении примеров. Такое положение можно исправить, если посвятить на уроке время конструированию «Справочника ошибкоопасных мест».

На 1 этапе учащимся предлагается подумать какие ошибки можно допустить при списывании математического выражения. Например.

1. Замена арифметических знаков.

2. ошибки в записи чисел 2567 вместо 2657

3. пропуск цифры.

4. запись лишней цифры..

5. замена цифр 2557 вместо 2567.

На втором этапе учащиеся анализируют примеры на сложение многозначных чисел.

Модели ошибок:

1. ошибка в записи чисел в столбик.

2. Ошибка в постановке знака.

3. Знак +, а ученик вычитает.

4. Забыли о переполнении десятка; неправильно определили количество единиц, прибавляемых к единицам высшего разряда.

5. неправильно определили количество цифр в сумме.

6. Допустили ошибки при сложении чисел в пределах 10 или с переходом через 10.

После этого можно предложить детям самостоятельную работу.

Задание 1. исправь ошибки:

+

+

 

Задание 2.Объясни решение.

+

+

 

Задание 3. Придумай задание с «ловушкой» для своего соседа.

Эффективность данной работы во многом будет зависеть:

1. от того насколько сам учитель будет готов последовательно и регулярно включать эти задания в ход урока, комментировать их с точки зрения возможных ошибок;

2. от того, насколько ученики осознанно выполняют эти задания, понимая конечную цель – как можно меньше допускать ошибок при выполнении письменных вычислений.

 

Вопрос 24. Алгоритм вычитания многозначных чисел в десятичной системе счисления, теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного вычитания. Формирование навыков письменного вычитания.

Алгоритм – это одно из фундаментальных понятий, которое используется в различных областях знания (в математике и информатике). Алгоритм – это программа действий для решения задач определенного типа.

Вычитание однозначного числа в из однозначного или двузначного числа а, непревышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что в+с=а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел. Если же числа а и вмногозначные и в < а,то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Рассмотрим возникновение этого алгоритма и теоретические факты, лежащие в его основе на примере разности чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в 10^ой системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485-231=(4•10²+8•10+5)-(2•10²+3•10+1). Чтобы вычесть из числа 4•10²+8•10+5 сумму 2•10²+3•10+1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда: (4•10²+8•10+5)-(2•10²+3•10+1) = (4•10²+8•10+5)-2•10²-3•10-1. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2•10² вычтем из слагаемого 4•10² ,число 3•10 из слагаемого 8•10, а число 1 из слагаемого 5, тогда: (4•10²+8•10+5)-2•10²–3•10-1=(4•10²–2•10²)+(8•10-3•10)+(5-1). Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 10² и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4–2)•10²+(8-3)•10+(5–1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4–2, 8–3 и 5–1 находим по таблицам сложения и получаем выражение: 2•10²+5•10+4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485–231=254. Выражение (4–2)•10²+(8–3)•10+(5–1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком: •

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

- способе записи числа в ДСС.

- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа.

- свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания.

- таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблицы сложения однозначных чисел. Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в ДСС, который можно представить в следующем предписании:

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого (b₀>a₀), а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10+а₀ число b₀ и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, а цифры, стоящие в разряде десятков, сотен и т. д. уменьшаемого равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10, вычитаем из числа 10+а₀ число b₀ и записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Алгоритм письменного вычитания многозначных чисел в традиционной системе вводится в программе 1–4 в концентре «Тысяча», хотя в учебнике М₂М учащимся показывают, как вычитать «в столбик» уже двузначные числа. В учебнике М₃М эта тема изучается последовательно: сначала вычитание двузначных чисел без перехода через разряд, потом вычитание из чисел, оканчивающихся 0, затем вычитание с переходом через разряд. Продолжение изучения этой темы происходит в других концентрах.

Учителю необходимо помнить:

1. При ознакомлении детей с алгоритмом провести с детьми систему подготовительных упражнений. Нужно повторить состав числа, вычитание в пределах 10 и т.д.

2. Управлять деятельностью школьников, направленной на усвоение алгоритма.

3. В упражнениях на закрепление алгоритма учитывать все возможности его использования.

Приступая к изучению данного раздела, учитель должен реализовать следующие задачи:

1. познакомить учащихся с алгоритмом письменного вычитания
2. научить применять прием письменного вычитания столбиком
3. формирование прочного навыка письменного вычитания

Опираясь на теоретические факты, лежащие в основе алгоритма, учитель определяет круг знаний, умений и навыков для изучения этого материала. Ученики должны уметь записывать числа, знать табличное сложение и вычитание, знать правила вычитания суммы из суммы и уметь применять свойство дистрибутивности относительно вычитания.

Введение письменного вычитания двузначных чисел было по-разному воспринято учителями. Одни считают, что выполнение действий «в столбик» окажет негативное влияние на формирование навыков устного вычитания. Другие отнеслись положительно, так как при устном вычитании двузначных чисел с переходом через разряд, учащимся приходиться пользоваться приемами вычислений, содержащих большое количество операций. Также в учебниках у Моро М.И. для каждого случая дается образец действия, которое затем закрепляется в процессе выполнения аналогичных упражнений.

Подготовительные упражнения:

· Сравнение чисел (6>2, 5<8);

· Повторение состава числа 10 (знание состава числа 1000 должно быть доведено до автоматизма);

· Повторяются устные приемы вычитания: 56–32=56–(30+2)=26–2=24

На основе этого приема дается объяснение:

1. Пишу десятки под десятками, а единицы под единицами.

2. Вычитаю единицы из единиц: 6–2=4. Пишу цифру 4 под единицами.

3. Вычитаю десятки из десятков: 5–3=2. Пишу цифру 2 под десятками.

4. Читаю ответ: разность равна 24.

Проводится система закрепляющих упражнений (см. М₂М (1–4), стр. 14, №62).

1. Запиши примеры в столбик и реши с объяснением:

39–26 75–34 28–14 97–41

2. Реши примеры с объяснением:

 

 

Далее изучаются примеры вычитания с переходом через десяток. Здесь можно поставить проблемный вопрос относительно записанных на доске примеров: можем ли мы вычесть в столбик?

 

 

Подготовительные упражнения направлены на:

· Повторение состава числа 20;

· Повторение вычитания в пределах 20;

· Повторение нумерации.

Далее детям предлагается вычесть устно: 72–34=72–(30+4)=42–4=38.

На основе этого примера дается объяснение:

1. Пишу десятки под десятками, единицы под единицами.

2. Вычитаю единицы: из 2 нельзя вычесть 4; беру 2 десяток из 7 десятков (чтобы помнить об этом, ставлю точку над цифрой 7); 1 десяток и 2 единицы – это 12, 12–4=8.

3. Вычитаю десятки, стало не 6, а 7 десятков, 6–3=3, пишу под десятками 3.

4. Читаю ответ: 38.

Упражнения для закрепления:

1.Реши с объяснением:

 

2.Запиши примеры и объясни их решение:

43–27 38–25

56–48 73–54

Так же предлагаются примеры вида 80–36. В подготовительный период упражнения направлены на: повторение состава чисел и вычитание в пределах 10. Объяснение ведется аналогично, как и при вычитании с переходом через десяток.

Упражнения для закрепления:

1. Реши примеры с устным объяснением:

80–27 50–25

60–18 70–32

М.А. Бантова предлагает следующие стадии формирования вычислительных навков:

1. Закрепление знания приема.

Учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись.

2. Происходит частичное свертывание выполняемых операций.

Учащиеся про себя выделяют операции и обосновывают выбор и порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций, то есть промежуточных вычислений.

Нужно специально учить детей выделять основные операции в каждом вычислительном приеме.

3. Происходит полное свертывание выполнения операций.

Учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции, то есть здесь происходит свертывание основных операций.

4. Происходит предельное свертывание выполнения операций.

Учащиеся выполняют все операции в свернутом плане, определенно быстро, то есть они овладевают вычислительным навыком.

В 3-4 классе изучаются примеры вычитания трехзначных чисел.

 

 

Объяснение и случаи аналогичны. Для каждого случая дается образец действия, которое затем закрепляется в процессе выполнения аналогичных упражнений. Особую сложность представляют примеры с несколькими нулями в уменьшаемом, так как дети часто путаются в вычитании, а иногда и не понимают, как нужно вычитать. Используются приемы подписывания карандашом девяток над нулями.

 

 

Иной подход у Истоминой Н.Б. Прием письменного вычитания изучается в четвертом классе. После того, как учащиеся усвоят нумерацию концентра «многозначные числа». При изучении нумерации их внимание обращается на то, как изменяется цифра, стоящая в определенном разряде данного числа при его увеличении (уменьшении) на разрядные единицы, десятки, сотни и т.д. В процессе этих упражнений дети осознают соотношение разрядов, их «переполнение» и значение каждой цифры в записи числа. Это способствует сознательному усвоению механизма письменного вычитания. Далее происходит совершенствование устных приемов вычисления. Все вычислительные приемы строятся на той или иной теоретической основе, причем в каждом случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующего теоретического положения, лежащего в основе приема. Это реальная предпосылка овладения учащимися сознательными вычислительными навыками.

Зотова разработала возможные ошибки учащихся в процессе выполнения письменного вычитания:

1. ошибки при записи примера в столбик,

2. ошибка в постановке знака,

3. знак поставили правильно, но выполняют действие сложение,

4. неправильно обозначили разряд, из которого “занимали”,

5. неправильно обозначили количество цифр в разности,

6. допустили ошибки при вычисления в пределах 10, с переходом через десяток.

С целью предупреждение этих ошибок возможно использование следующих заданий с «ловушками»:

• реши примеры,
• реши примеры с объяснениями,
• объясни решение,
• не вычисляя определи, сколько чисел будет в разности,
• закончи запись примеров,
• придумай примеры по схемам,
• придумай сам задания с «ловушками»

Процесс формирования вычислительного навыка длительный и требует больших затрат времени и усилий.

 

Вопрос 25. Алгоритм умножения многозначных чисел в десятичной системе счисления Теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного умножения. Формирование навыков письменного умножения.

В начальном курсе математики понятие "алгоритм" рассматривается как программа действий для решения задач определенного типа. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе. Умножим, например, столбиком 428 на 263.

Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6, и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по-особому, поместив единицы числа 2568 под десятками числа 1284,так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 – это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел. Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь: – умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти; – складывать многозначные числа.

Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления 428 можно представить в виде 4•10²+2•10 +8 и тогда 428•3=(4•10²+2•10+8)•3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4•10²)•3+(2•10)•3+8•3. На основании ассоциативности умножения и таблицы умножения однозначных чисел получим: 12•10²+6•10+24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать полученное выражение: коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1•10+2, а число 24 в виде 2•10+4. Затем в выражении (1•10+2)•10²+6•10+(2•10+4) раскроем скобки и на основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения, сгруппируем слагаемые 6•10 и 2•10 и вынесем 10 за скобки: 1•10³+2•10²+(6+2)•10+4. Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1×10³+2×10²+8×10+4. Полученное выражение – есть десятичная запись числа 1284, т.е. 428•3=1284.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на: – записи чисел в десятичной системе счисления; – свойствах сложения и умножения; – таблицах сложения и умножения однозначных чисел. Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм умножения многозначного числа a_n a_n-1…a₁ a₀ на однозначное число y:

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифру разряда единиц числа x на число y. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифры единиц числа x на число y больше или равно 10, то представляем его в виде 10q₁ + c₀ , где c₀ – однозначное число; записываем с₀ в разряд единиц ответа и запоминаем q₁ – перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифру разряда десятков на число y, прибавляем к полученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Как известно, умножение числа x на число вида 10^k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Например, 347•10³=(3•10²+4•10+7)•10³=3•10⁵+4•10⁴+7•10³=3•10⁵+4•10⁴+7•10³+0•10²+0•10 +0=347000. Заметим еще, что умножение на число y10^k, где y – однозначное число, сводится к умножению на однозначное число y и на число 10^k. Например, 52•300=52•(3•10²)=(52•3)•10²= 156•10²=15600.

Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру с которого начинали, т.е. к произведению 428•263. Представим число 263 в виде суммы 2•10²+6•10 +3 и запишем произведение 428•(2•10²+6•10+3). Оно, согласно дистрибутивности умножения сложения, равно 428•(2•10)+428•(6•10)+428•3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428•2)•10²+(428•6)•10+428•3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2, 6 и 3, а также на степени 10.

Т.О. приходим к алгоритму умножения числа x=а_n а_n-1 …а₁ а₀ на число y=b_m b_m-1 … b₁ b₀ .

1. Записываем множитель x и под ним второй множитель y.

2. Умножаем число x на младший разряд b₀ числа y и записываем произведение x•b под числом y.

3. Умножаем число x на следующий разряд b₁ числа y и записываем произведение x•b₁ , но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению x•b₁ на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления x•b_k.

5. Полученные k+1 произведения складываем.

Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами.

Из курса математики известно, что письменное умножение опирается на:

- запись числа в десятичной системе счисления;

- таблицу умножения однозначных чисел;

- законы сложения и умножения;

- таблицу сложения однозначных чисел.

Поэтому младшие школьники знакомятся с алгоритмом письменного умножения после изучения всех названных понятий. Применяя знание разрядного состава числа и свойство умножения суммы на число, дети легко умножают многозначное число на однозначное, если нет перехода через разряд. При выполнении вычислений для случая с переходом через разряд возникает необходимость фиксировать промежуточные результаты в том или ином виде:

- с помощью знания разрядного состава числа;

- с помощью сложения промежуточных результатов в "столбик".

Это затрудняет вычислительную задачу, поэтому возникает необходимость познакомить детей с алгоритмом письменного умножения.

При знакомстве учащихся с записью умножения "в столбик" полезно обратить их внимание на то, что при умножении, так же как при сложении, второе число (множитель) записывается под первым так, чтобы его разряды были под соответствующими разрядами первого множителя:

 

 

Объясняя детям механизм умножения "в столбик", следует подчеркнуть, что:

1) умножение, так же как и сложение, начинаем с единиц низшего разряда;

2) записывая полученный результат, следим за тем, чтобы каждый разряд числа, полученного в значении произведения, записывался под соответствующим ему разрядом.

После объяснения алгоритма умножения на однозначное число важно, чтобы дети осознанно усвоили последовательность операций, входящих в алгоритм. Для этого полезно предлагать следующие задания:

1. Объясни, как выполнено умножение "в столбик":

 

 

2. Вставь пропущенные цифры, чтобы запись была верной:

		*	*		*

				*

				*	*

 

 

Важно, чтобы дети понимали, что способ записи, с которым они познакомились на первом уроке изучения алгоритма, правомерен и для случаев умножения чисел, оканчивающихся нулями. Для этого принято использовать такую запись:

Она позволяет нули, стоящие на конце первого множителя, перенести в ответ. Для осознания этого факта можно предложить упражнения вида: 130×5=13 дес.•5=65 дес. 2300×4=23 сот.•4=92 сот.

Алгоритм письменного умножения на однозначное число – основа овладения учащимися алгоритмом письменного умножения на двузначное и трёхзначное числа. Можно предложить учащимся записи "в столбик" умножения на двузначное число, а они сами попробуют объяснить выполненные действия.

Комментируя действия, связанные с выполнением записи "в столбик", целесообразно вести понятия: первое неполное произведение и второе неполное произведение.

Для осознания усвоения операций, входящих в алгоритм умножения на двузначное число, дети анализируют примеры и сравнивают их.

Алгоритм умножения на трёхзначное число целесообразно рассматривать в сравнении с алгоритмом умножения на двузначное число, также используя анализ выполненных действий.

Добавить: а)стадии формирования вычислительных навыков по бантовой; в) ошибки по Зотовой.

Вопрос 26. Алгоритм деления многозначных чисел в десятичной системе счисления, теоретические факты, лежащие в его основе. Методика ознакомления учащихся с алгоритмом письменного деления. Формирование навыков письменного деления.

Алгоритм – программа действий для решения задач определенного типа. (Стойлова Л.П.)

Алгоритм – пошаговое описание целенаправленной деятельности. (Паутова А.Г. – Бененсон Е.Г.)

Один из способов записи алгоритма является алгоритмическое предписание.

Алгоритмы могут быть:

q линейные;

q разветвленные;

q циклические.

Алгоритм деления относится к циклическим алгоритмам.

Алгоритм деления основан на принципе деления с остатком, где a=bq+r, 0<r<b. (a - делимое, b - делитель, r - остаток, q - частное)

В основе деления лежат такие факты как:

Ø способ записи в десятичной системе счисления;

Ø деление с остатком;

Ø таблица сложения и соответствующих случаев вычитания;

Ø табличное умножение;

Ø свойства делимости чисел;

Ø вычитание многозначных чисел.

Алгоритм деления:

1. Записать два числа уголком

2. Определить количество разрядов в частном, выделив первое неполное делимое.

3. Начинаем искать цифру частного методом перебора.

4. Умножаем делитель на подобранную цифру и результат записываем под первым неполным делимым, находим разность.

5. Если разность больше делителя или произведение больше первого неполного делимого, то цифра частного подобрана неправильно, следует дальше искать ее.

6. После нахождения разности следует перевести результат в более низкий разряд и повторять пункты 3 – 6.

Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком осознается детьми в том случае, когда они выполняют деление с остатком, используя способ подбора, позволяющий сконцентрировать внимание на взаимосвязях умножения и деления, на способе нахождения остатка и на том, что остаток должен быть меньше делителя.

Для успешного усвоения письменного деления учащиеся должны усвоить разрядный и десятичный состав числа. Формирование навыков зависит от усвоения математических понятий и способов действий и от того, как будет построен процесс изучения нового способа действия.

В учебнике Моро 3 кл. нашел отражение подход, при котором дети овладевают алгоритмом письменного деления, рассматривая частные случаи деления. Например, при делении на однозначное число – первое неполное делимое – однозначное число (729:2), затем первое неполное делимое – двузначное число (376:4). Затем отрабатываются случаи, когда в частном нет единиц какого-либо разряда (4680:3). Деление на двузначные и трехзначные числа: частное – однозначное число, Двузначное, деление с остатком, частное – трехзначное число, число с нулем.

Каждый из случаев изучается по плану:

a) комментируется образец записи деления;

b) пользуясь образцом, учащиеся решают аналогичные примеры;

c) выполняют упражнения, включающие решение примеров, как нового случая деления, так и ранее рассмотренных.

Другой подход – Истомина 3 кл. – у детей формируется общий способ действия и умение использовать его в разных случаях. Возможность такого подхода нельзя рассматривать в рамках одной темы. Она определяется целями и логикой построения всего курса. Освоение алгоритмом письменного деления проходит три этапа:

I. Актуализация ЗУН (взаимосвязь деления и умножения, деление с остатком, свойство деления суммы на число и его использование).

II. Знакомство с алгоритмом письменного деления.

III. Усвоение общего способа действия и формирование вычислительных навыков.

Н.А. Бантова выделяет 4 этапа формирования вычислительного навыка:

1. Закрепление знания приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них.

2. Частичное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют операции обосновывают выбор и порядок их выполнения, вслух же они проговаривают выполнение основных операций.

3. Полное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все операции, т.е. происходит свертывание и основных операций.

4. Предельное свертывание выполнения операций: учащиеся выполняют все операции в свернутом плане, предельно быстро (тренировочные упражнения).

При освоении алгоритма письменного деления учащиеся могут делать такие ошибки:

· неправильно определили первое неполное делимое;

· ошибка в определении количества цифр в частном;

· ошибка в подборе пробного числа;

· ошибка при умножении пробного числа на делитель;

· ошибка при нахождении остатка.

 

Вопрос 27. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения. Действия с величинами одного рода. Связь этих действий с действиями над числами. Методика формирования представлений о времени в начальном курсе математики.

Величина, которая определяется только численным значением, называется скалярной величиной. Если при выделенной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной. Положительными скалярными величинами являются: длина, площадь, объем, масса, время и др.

Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

1. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то отношения между величинами А и В будут такими же, как и отношения между их численными значениями и наоборот.

А=ВÛm(А)=m(В)

А<ВÛm(А)<m(В)

А>ВÛm(А)>m(В)

Например, если массы двух тел таковы, что А=5кг, В=3кг, то можно утверждать, что А>В, т.к. 5>3

2. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то для нахождения численного значения суммы А+В достаточно сложить численные значения величин А и В.

А+В=СÞm(А+В)=m(А)+m(В)

Например, если А=5кг, В=3кг, то А+В=5кг+3кг=8кг.

3. Если величины А и В таковы, что В=х•А где х- положительное действительное число, и величина А измерена при помощи единицы величины Е, то чтобы найти численное значение величины В при единице Е, достаточно число х умножить на число m(А)

В=х•АÞm(В)=х•m(А)

Например, если масса В в 3 раза больше массы А и А=2кг., то В=3•А=3•(2×кг.)=6кг.

Величины, которые выражают одно и тоже свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и длина комнаты – это величины одного рода, они отражают одни и те же свойства.

Перечислим основные положения, связанные с однородными величинами:

1. Однородные величины сравнимы: А > В, А=В, А < В

2. Отношение«меньше» для однородных величин транзитивно: если А < В и В <С, то А < С

3. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода, т.е. для любых двух величин А и В однозначно определяется величина С=А+В, которую называют суммой величин А и В. Сложение величин коммутативно и ассоциативно.

Например, если А – масса арбуза, а В масса дыни, то С=А+В- это масса арбуза и дыни.

А+В=В+А и (А+В)+С=А+(В+С)

4. Величины одного рода можно вычитать, получая в результате величину того же рода.

Определяют вычитание через сложение. Разность величин А и В называется такая величина С=А-В, что А=В+С Разность величин А и В существует тогда и только тогда, когда А > В

5. Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода, т.е. для любой величины А и любого положительного действительного числа х, существует единственная величина В=х•А, которую называют произведением величины А на число х .

6. Величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление через умножение величины на число частным величин А и В называется такое положительное действительное число х=А:В, что А=х•В

В курсе математики начальных классов дети знакомятся с различными величинами: длина, масса, объем, время, площадь.

Изучение величин тесно связано с изучением нумерации, т.к. способствует формированию у учащихся представлений о числе и зависимости между единицами измерения также, как между разрядными единицами при счете:1дм.=10см, 1дес.=10ед. и т.п.

При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определенные этапы, в которых нашли отражение: математическая трактовка данного понятия, его взаимосвязь с изучением других вопросов начального курса математики, а также психологических особенностей младших школьников:

1этап. Выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребенка).

2 этап. Сравнение однородных величин(визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путем использовании различных мерок)

3этап. Знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.

4этап. Формирование измерительных умений и навыков.

5этап. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.

6этап. Знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.

7этап. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.

8этап Умножение и деление величин на число.

По всем этапам проследить изучение времени!

 

Вопрос 28. Понятие длины отрезка и ее измерения. Действия над длинами. Методика формирования представлений о длине отрезков в начальном курсе математики. Ознакомление с единицами длины и их соотношением.

Длинойотрезка называется неотрицательная скалярная величина, обладающая следующими свойствами:

1. Равные отрезки имеют равные длины.
2. Если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме этих отрезков.

Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Из множества отрезков выбираем любой отрезок е и принимаем его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладываем последовательно отрезки, равные е, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки уложились и конец отрезка е совпал с концом отрезка а, то говорят что значение длины а есть натуральное число n, и пишут а=nе.

Если же отрезки, равные е отложились n раз и остался еще один отрезок меньший е, то на нем откладывают отрезки, равные е₁=1/10е. Если они отложились точно n₁ раз, то а=n,n₁е и значение длины отрезка а - есть конечная десятичная дробь. Если же е, откладывается n₁ раз, и остается еще отрезок меньший е₁, то на нем откладываются отрезки, равные n=1/100е. Если представить этот процесс бесконечно продолжительным, то получим, что значение длины отрезка а – есть бесконечная десятичная дробь.

Итак, при выбранной единице длина любого отрезка выражается положительным действительным числом.

Для измерения длин используют мерку, и отвечают на вопрос: ”Сколько раз эта мерка укладывается в данной величине?”

На практике для измерения длин отрезков используются инструменты, в частности линейка с нанесенными на ней единицами длины.

Над длинами можно выполнять действия.

А) Сложение длин (выраженных в одной или разных единицах измерения). Причем, если величины а и в измерены при помощи одной и той же единицы, то чтобы найти численное значение суммы а+в, достаточно сложить численные значения величин а и в.

В) Вычитание длин. Вычитание длин сводится к вычитанию численных значений этих длин. Для этого численные значения длин выражаются в одной единице измерения и из большей вычитается меньшая.

С) Умножение длины на число. Для этого на число умножается численное значение данной величины, выраженное в определенной единице измерения.

D) Деление длины на число. Для этого на число делится численное значение данной величины, выраженное в определенной единице измерения.

Е) Деление длин. Деление длин сводится к делению численных значений, которыми выражаются данные длины.

F) Увеличение длины на длину.

Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово длина:

Многие окружающие нас предметы имеют длину. Стол имеет длину.

В первом предложении утверждается, что длиной обладают объекты некоторого класса. Во втором речь идет о том, что длиной обладает конкретный объект из этого класса. Обобщая, можно сказать, что термин «длина» употребляется для обозначения свойства, либо класса объектов, либо конкретного объекта из этого класса.

При решении практических задач используются стандартные единицы длины: миллиметр, сантиметр, метр, километр и др.

Изучение данного вопроса в начальной школе идет с опорой на базовые (бытовые представлениия) знания детей о длине. Также в н. ш. дети знакомятся с историей развития мер длины (рассматриваются такие меры как локоть, сажень, вершок, аршин, дюйм, верста и др.).

Этапы работы над изучением длины в н. ш.

Выявление и уточнение представление детей о длине. Это удобно сделать в форме фронтальной беседы или опроса.

Сравнение однородных величин. Используется непосредственное сравнение (приложение) т.к. еще не введена единица измерения данной величины.

Знакомство с единицей измерения данной величины и измерительным прибором. Дети убеждаются в необходимости введения единой единицы измерения длины. При изучении данной темы превалирует практический метод.

Формирование измерительных умений и навыков у учащихся. Осуществляется на практических занятиях.

Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в одной единице измерения. Например: М₂ (1-4) с.13. №5. с.15. №4.

Знакомство с новой единицей измерения данной величины. Для этого дети в ходе практической деятельности убеждаются в необходимости введения новой единицы измерения длины, для удобства выполнения измерений.

Слож