Л.Е. Нестерова, И.В. Матвеев

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебное пособие

 

Казань 2010

 

УДК [517.9+517.2/3]

 

Аннотация

 

В основу комплексного пособия положен курс лекционных и практических занятий, проводимых для студентов специальностей 230105 (Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем) и 230102 (Автоматизированные системы обработки информации и управления) на факультете технической кибернетики и информатики в КГТУ им. А.Н. Туполева.

Материал пособия соответствует программе по дисциплине “Дифференциальные уравнения”. Изложение теоретического материала сопровождаетсяпримерами решения задач, иллюстрирующими рассмотренные в пособии методы, а также заданиями для самостоятельного решения. В конце каждой главы приведен список вопросов для самоконтроля.

Данное учебное пособие может быть использовано для самостоятельной подготовки студентами очной, очно-заочной, заочной форм обучения по специальностям 230105 и 230102, а также по тем специальностям, в программу которых входит изучение методов интегрирование различных частных типов дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

Табл. 1 Ил. Библиогр.: 15 назв.

 

Рецензенты:	Заместительгенерального директора – главного конструктора ОАО «ОКБ «СОКОЛ» В.А. Лачугин
	Доцент кафедры прикладной информатики и математики ФГОУ ВПО Казанского ГАУ, к.ф.-м.н. Л.М.Тинчурина

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ.. 5

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИМЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.. 6

Основные понятия и определения. 6

Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. 7

Дифференциальные уравнения, однородные относительно х,уи приводящиеся к ним.. 10

Обобщенные однородные дифференциальные уравнения. 13

Линейные уравнения первого порядка и приводящие к ним.. 14

Уравнения в полных дифференциалах. 19

Уравнения первого порядка n-степени, не разрешенные относительно производной. 25

Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка. 30

Особые точки.Особые решения. 35

Метод Пикара. 37

Численные методы решения задачи Коши. 40

Контрольные вопросы.. 43

ГЛАВА 2. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. 46

Уравнения высшего порядка. Общие сведения. 46

Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. 47

Контрольные вопросы.. 50

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.. 52

Основные понятия и определения. 52

Линейные однородные дифференциальные уравнения. Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений. 53

Линейная зависимость функций. Определитель Вронского и его применения. 54

Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. 56

Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. 59

Свойства решений линейного неоднородного дифференциального уравнения. 61

Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных. 63

Линейные однородные дифференциальные уравненияn-порядка с постоянными коэффициентами 67

Линейные неоднородные дифференциальные уравненияn -го порядка с постоянными коэффициентами 71

Контрольные вопросы.. 75

ГЛАВА 4. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.. 78

Основные понятия и определения. 78

Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных. 81

Линейные системы дифференциальных уравнений. 83

Свойства решений линейных однородных систем дифференциальных уравнений. 83

Фундаментальная система решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений 85

Теорема о структуре общего решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений 87

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. 89

Интегрирование линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений методом вариации постоянных. 91

Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 93

Контрольные вопросы.. 97

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ... 99