Микрочастица в связанных потенциальных ямах

Задача о движении частицы (электрона) в связанных потенциальных ямах (рис.1.10) оказывается полезной для понимания природы ковалентных связей в молекулах.

Решения будем искать в предположении, что энергия частицы меньше высоты барьера , который разделяет потенциальные ямы, и частица может перейти из одной ямы в другую только путем туннелирования.

Решение уравнения Шредингера для каждой из ям (области 1 и 3) и для области барьера 2 удобно представить в такой форме:

 

(1.149)

 

где .

Используя условия непрерывности волновой функции и ее производной в точках и , получим однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов и :

 

(1.150)

 

Приравняв определитель системы нулю (условие существования нетривиального решения), получим уравнение для определения энергетического спектра частицы

 

. (1.151)

 

При (1.151) превращается в уравнение для одной ямы (1.146)

 

. (1.152)

 

Подставляя (1.152) в правую часть (1.15.3), получим следующее уравнение

 

. (1.153)

 

Решение (1.153) проводим методом последовательных приближений, учитывая, что . В нулевом приближении получим

 

(1.154)

 

Используя следующее приближение, получим возможные энергетические уровни частицы

 

, (1.155)

 

где .

Из системы уравнений (1.150) для нижнего энергетического уровня (в формуле (1.155) взять знак минус) получаем такую связь между коэффициентами

 

.

 

а	б
в	г
Рис.1.10. Связанные потенциальные ямы: а – энергетическая диаграмма (U0=40эВ, а=0,2 нм); б – расщепление энергетического уровня электрона; в,г – распределение волновой функции и плотности вероятности основного состояния электрона (d = 0,1 нм; уровень E=7 эВ)

 

Для верхнего уровня таким же образом получим

 

.

 

Следовательно, нижнему энергетическому уровню отвечает симметричная координатная волновая функция, а верхнему – антисимметричная (рис.1.10, в,г). Сформулируем важный вывод, справедливый для потенциальных ям любой формы.

Энергетические уровни частицы, которая находится в связанных потенциальных ямах, расщепляются. Для частицы с симметричной координатной волновой функцией энергия уменьшается, а для частицы с антисимметричной функцией – увеличивается. Величина расщепления (разница между верхним и нижним энергетическими уровнями) увеличивается с уменьшением расстояния между ямами (рис.1.10, б).

 

 

^[1] Планк Макс (1858-1947) – немецкий физик, основатель квантовой теории (Нобелевская премия, 1918). Предложил фундаментальную постоянную (постоянную Планка) с размерностью действия. Основные работы в области термодинамика и теории относительности, истории и методологии физики, философии науки. Оценивая значение открытия Планка, А.Эйнштейн писал: «Именно закон излучения Планка дал первое точное определение абсолютных размеров атомов, независимо от других предложений. Он также убедительно показал, что, кроме атомистической структуры материи, существует своего рода атомистическая структура энергии, которая руководствуется универсальной постоянной, введенной Планком. Это открытие стало основой для всех исследований в физике ХХ в. и с этого времени почти полностью обусловило ее развитие. Без этого открытия невозможно было бы создать современную теорию молекул и атомов и энергетических процессов, которые руководят их превращением». В 1905 г. идею квантов использовал Эйнштейн, предложив квант света – фотон.

 

^[2] Стефан Йозеф (1835-1893) – австрийский физик. Работы в области оптики, кинетической теории газов, гидродинамики, теории теплового излучения.

^[3] Больцман Людвиг (1844-1906) – австрийский физик-теоретик. Основные работы в области кинетической теории газов, термодинамика и теории излучения. Получил закон распределения молекул идеального газа по импульсам и координатам (статистика Больцмана).

^[4] Эйнштейн Альберт (1879-1955) – выдающийся физик-теоретик. Творец специальной и общей теорий относительности, значительный вклад внес в развитие квантовой теории света и твердого тела, предсказал явление индуцированного излучения. Создал квантовую статистику частиц с целым спином (статистика Бозе-Эйнштейна). Нобелевская премия за 1921 г.

^[5] Герц Генрих (1857-1894) – немецкий физик, один из основателей электродинамики.

^[6] Столетов Александр (1839-1896) – российский физик. Основные работы посвящены электромагнетизму, молекулярной физике, оптике. Установил законы внешнего фотоэффекта.

^[7] Ленард Филип (1862-1947) - немецкий физик. Работы в области оптики, атомной и молекулярной физики. Нобелевская премия за исследование катодных лучей (1905).

^[8] Дебай Петер (1884-1966) – физик и химик, один из основоположников теории твердого тела. Работы посвящены квантовой теории твердого тела, квантовой теории атома, теории строения молекул. Нобелевская премия по химии за 1936 г.

^[9] Резерфорд Эрнест (1871-1937) – английский физик, основоположник ядерной физики. Главные исследования в области радиоактивности, атомной и ядерной физике.

^[10] Ридберг Иоганес (1854-1919) – шведский физик и математик. Работы посвящены систематике атомных спектров и атомной физике.

^[11] Бройль Луи де (1892- ) – французский физик-теоретик, один из основателей квантовой механики. За открытие волновой природы электрона получил Нобелевскую премию за 1929 г.

^[12] Шредингер Эрвин (1887-1961) – австрийский физик-теоретик, один из основателей квантовой теории. Нобелевская премия за 1933 г.

[13] Борн Макс (1880-1970) – немецкий физик-теоретик, один из творцов квантовой теории. Предложил статистическую интерпретацию квантовой механики. Нобелевская премия за 1954 г.

[14] Девиссон Клинтон (1881-1958), Джермер Лестер – американские физики, работали в Бэлл лаборатории фирмы «Вестерн электрик компани». В 1937 г. Дэвиссон получил вместе с Джорджем Томсоном Нобелевскую премию по физике за экспериментальное подтверждение предсказанных Луи де Бройлем волн материи.

 

[15] Гайзенберг Вернер (1901-1976) – немецкий физик-теоретик, один из творцов квантовой теории. Работы в области квантовой электродинамики, релятивистской квантовой теории поля, теории ядра, магнетизма, теории элементарных частиц, физике космических лучей. За создание матричной квантовой механики присуждена Нобелевская премия за 1932 год.

^[16] Дирак Поль (1902-1984) – английский физик-теоретик, один из основателей квантовой теории и квантовой электродинамики. Работы в области квантовой теории поля, теории элементарных частиц, теории гравитации. За создание матричной квантовой механики присужденная Нобелевская премия за 1933 год (вместе с Э.Шредингером).

^[17] Андерсон Карл (1905-1991) – американский физик. Основные работы посвящены исследованию рентгеновских и гамма-лучей, физике космических лучей и элементарных частиц. За обнаружение в космических лучах позитрона получил Нобелевскую премию за 1936 год.

^[18] Камерлинг-Оннес Гейке (1853-1926) – нидерландский физик. Основные работы посвящены физике низких температур и сверхпроводимости. Нобелевская премия за 1913 г.

[19] Мейсснер Вальтер (1882-1974) – немецкий физик, специалист в области низких температур.

[20] Лондон Фриц (1900-1954) – английский физик-теоретик, основатель квантовой химии. Работы посвящены спектроскопии, квантовой механике, квантовой теории атомных и молекулярных сил.

Лондон Гейне (1907-1970) – английский физик, брат Ф.Лондона. Основные работы в области низких температур, сверхтекучести, нейтронной физики.

 

[21] Джозефсон Брайан (1940) – английский физик. Работы в области туннелирования и сверхпроводимости. За предсказание эффектов, которые названы его именем, получил Нобелевскую премию за 1973 г.

[22] Янсон Игорь, Свистунов Владимир, Дмитренко Игорь – в то время научные сотрудники физико-технического института низких температур (Харьков).

^[23] Фейнман Ричард (1918–1988) американский физик-теоретик, один из основателей современной квантовой электродинамики. Основные работы посвящены квантовой теории поля, физике элементарных частиц, сверхпроводимости, теории гравитации. Нобелевская премия за 1965 г.

 

[24] Вульф Георгий (1863-1925) – российский кристаллограф и кристаллофизик. Первый в России начал рентгеноструктурные исследования.

[25] Брэгги Уильям Генри (1962-1942) и Уильям Лоренс (1890-1971) – английские физики, основоположники рентгеноструктурного анализа, отец и сын. Первыми (1913) расшифровали атомные структуры ряда кристаллов с помощью дифракции рентгеновских лучей. Нобелевская премия (1915).

[26] Фабрикант Валентин (1907-1991) - российский физик, действительный член АПН СССР (1968). Основные труды по физике газового разряда, физической оптике, квантовой электронике.

^[27] Гамильтон Уильям (1805-1865) – ирландский математик и физик. Разработал теоретический аппарат оптики, который позже был использован для квантовой механики.

 

^[28] Ферми Энрико (1901-1954) – итальянский физик. Основные работы в области атомной и ядерной физики, квантовой электродинамики, физики космического излучения, физики высоких энергий, астрофизики, технической физики. Нобелевская премия за 1938 г