Рассеяние микрочастицы на потенциальной ступени

 

Потенциальное поле при и при называют потенциальной ступенькой или бесконечно протяжным потенциальным барьером (рис.1.2, а). Пусть на барьер падает монохроматический поток микрочастиц. Коэффициент рассеяния (отражения) барьера определяется как отношение потока отраженного к потоку падающему, а коэффициент прозрачности (прохождения) – отношением прошедшего потока к потоку падающему.

Поскольку задача стационарная (высота барьера не зависит от времени), определение состояний частицы сводится к решению стационарного уравнения Шредингера, которое для одномерного случая принимает вид

 

. (1.68)

Сначала рассмотрим низкий барьер (E >U₀). Решения для первой (x<0) и второй (x>0) областей имеют вид

 

(1.69)

 

где

и . (1.70)

 

Учитывая однородность среды в области 2, амплитуду „встречной” волны следует считать равной нулю ().

Если учесть, что для стационарных состояний волновая функция гармонически зависит от времени, то представляет собой суперпозицию падающей и отраженной волн де Бройля

 

, (1.71)

 

а описывает волну де Бройля частицы, которая движется над барьером,

 

. (1.72)

 

Физический интерес представляют коэффициенты прохождения и отражения , которые определяются отношением плотности потока частиц, которые прошли и которые отразились, к плотности потока частиц, которые падают на барьер.

Для расчетов и воспользуемся понятиям вектора плотности потока вероятности (1.50), который в одномерном случае имеет вид

 

. (1.73)

 

С учетом (1.73) коэффициент прохождения (прозрачности) равен

, (1.74)

а коэффициент отражения

 

. (1.75)

 

а

 

б

Рис.1.2. Энергетическая диаграмма потенциального выступа (а) и графики распределения плотности вероятности (U0=20 эВ; электрон с энергией E=30 эВ) (б)

 

Вычислим величину вектора плотности потока вероятности в области 2, для чего подставим (1.72) в (1.73):

 

. (1.76)

 

Аналогично в области 1 плотность потока вероятности частиц, которые падают на барьер, может быть предоставлена в виде

 

, (1.77)

 

а плотность потока вероятности частиц, которые отражаются барьером,

 

. (1.78)

 

 

С учетом (1.76) – (1.78) имеем

 

(1.79)

и

 

. (1.80)

 

Таким образом, для определения коэффициентов прохождения и отражения необходимо определить амплитуды и через амплитуду . Для этого воспользуемся условием непрерывности волновой функции на границе двух сред ():

 

, (1.81)

 

. (1.82)

 

Воспользовавшись (1.69), (1.72), (1.81) и (1.82), получим

 

, (1.83)

 

откуда с учетом (1.70), (1.79) и (1.80)

 

, (1.84)

 

, (1.85)

 

где – коэффициент преломления барьера

 

. (1.86)

 

Из (1.84) и (1.85) видно, что автоматически выполняется соотношение

 

, (1.87)

 

которое представляет собой закон сохранения числа частиц.

Плотность потока вероятности частиц при x>0 равна

 

. (1.88)

 

Полученные результаты сильно отличаются от классических. Согласно законам классической механики частица, которая имеет энергию , всегда проникнет в область 2.

Согласно законам квантовой механики при имеет место вероятность отражения частицы от потенциального барьера, и поэтому в области 1 будет наблюдаться встречный поток отраженных частиц.

Для частиц, которые движутся к барьеру с , коэффициенты и также могут быть обсчитаны по формулам (1.84) и (1.85). Но изменение направления движения приводит к изменению фазы отраженной волны. В нашем случае для частиц, которые падают на барьер слева, отражение происходит в фазе с падающей волной, а при движении справа – в противофазе. Изменение направления движения приводит к изменению фазы отраженной волны.

Рассмотрим случай, когда энергия частицы меньше высоты барьера . В этом случае коэффициент будет мнимым

 

, (1.89)

 

и коэффициент отражения для высокого барьера будет равняться единице

 

. (1.90)

 

Таким образом, при все частицы отражаются от потенциального барьера и в области 2 поток частиц отсутствует. Однако имеет место вероятность обнаружить частицу в области барьера ()

 

. (1.91)

 

Частица якобы проходит в потенциальный барьер и возвращается назад. При этом между падающей и отраженной волнами возникает фазовый сдвиг

 

. (1.92)

Эффективная глубина проникновения в барьер, при которой вероятность обнаружения частицы отличается от нуля, имеет порядок величины . При плотность вероятности (1.91) будет экспоненциально малой величиной.

Сделаем оценку глубины проникновения электрона в потенциальный барьер, если . Для имеем

 

.

 

Следовательно, эффект будет заметным только в области микроскопических размеров.

Для обнаружения частицы в области 2 мы должны локализовать ее в некотором малом интервале . При этом, локализуя частицу, мы изменяем ее состояние (энергию). Действительно, из соотношения неопределенности имеем . С неопределенностью импульса связана неопределенность кинетической энергии частицы

 

.

 

Используя (1.89), получим

 

.

 

Таким образом, неопределенность энергии частицы, что локализована в области под барьером, больше той энергии, которой ей не хватает до высоты барьера.