Микрочастица в потенциальной яме

 

Сделаем предварительно замечание: непрерывность производной от волновой функции не имеет места, если за некоторой поверхностью потенциальная энергия обращается в бесконечность. В эту область частица не может проникнуть, то есть на границе .

Потенциальное поле при и при называется бесконечно глубокой потенциальной ямой (рис.1.5). Частица, которая находится в такой яме, будет все время с ней связана. Движение частицы в пространстве ограничивается областью ямы и за ее пределы частица выйти не может, то есть на границах ямы

 

. (1.109)

 

Отражение от стенок ямы приводит к периодичности движения частицы во времени, что в свою очередь приводит к наложению условий квантования на импульс и энергию частицы. Определим волновые функции (возможные квантовые состояния) и энергетический спектр частицы. Для этого решим уравнение Шредингера (1.48) при соответствующих граничных условиях (1.109):

 

. (1.110)

 

Решение запишем в виде

 

. (1.111)

 

Используя (1.109) на границе , получим , и, следовательно,

 

. (1.112)

 

 

Применяя граничное условие (1.109) при , получим

 

. (1.113)

 

Число называется квантовым числом.

 

 

Коэффициент определим из условия нормировки (1.6):

 

. (1.114)

 

Таким образом, решение возможно не для любых значений , а только для вполне определенных, которые связаны с собственными значениями энергии соотношением

 

. (1.115)

 

Этим значениям отвечает собственная волновая функция

 

. (1.116)

 

Энергетический спектр частицы в потенциальной яме является дискретным. Состояние с наименьшей энергией () называют основным, все другие – возбужденными.

Расстояние между соседними энергетическими уровнями в абсолютных единицах растет с увеличением квантового числа

 

, (1.117)

 

но относительное расстояние между уровнями уменьшается

 

. (1.118)

 

Для ямы макроскопических размеров (например, см) дискретность даже для электронов будет проявляться слабо

 

эВ.

 

Уровни располагаются вблизи друг друга и образуют квазинепрерывную полосу. Дискретная природа спектра электрона проявляется только для ямы атомного размера. Например, для ямы с нм расстояние между соседними уровнями

 

эВ.

 

Волновые функции частицы в потенциальной яме представляют собой стоячие волны. Как легко убедиться, все функции взаимно ортогональны. Распределение плотности вероятности положения частицы в яме определяется выражением

 

. (1.119)

 

Соответствующие кривые для некоторых состояний приведены на рис.1.5.

Рассмотрим трехмерный случай. Потенциальная яма имеет вид прямоугольного параллелепипеда со сторонами . Потенциальная энергия внутри ящика равняется нулю, а вне – обращается в бесконечность (непроницаемые стенки).

Компоненты поступательного движения частицы вдоль координатных осей независимы. Поэтому решение можно искать в виде функции с разделяющимися переменными

 

, (1.120)

 

что отвечает вероятности сложного события. Подставив (1.120) в (1.48) и выполнив соответствующие преобразования, получим

 

, (1.121)

где

.

 

Левая часть (1.121) разделилась на три независимых слагаемых, а правая часть является постоянной. Это возможно в том случае, когда каждое из слагаемых в левой части постоянно. Таким образом, исходное уравнение распадается на три независимых уравнения. Воспользовавшись полученным ранее решением (1.116), запишем для потенциального ящика

 

. (1.122)

 

Возможные значения энергии частицы определяются выражением

 

, (1.123)

 

где – целые числа.

Если ящик кубической формы (), то

 

. (1.124)

 

 

а	б
в	г
Рис.1.5 Бесконечно глубокая потенциальная яма (а), волновые функции (б) и распределение густоты вероятности (в, г)

 

Из (1.124) видно, что для возбужденных состояний (когда хотя бы одно из возможных значений квантовых чисел больше единицы) одному и тому же значению энергии отвечают различные волновые функции. Например, для это будут . Следовательно, такие состояния являются вырожденными. Число состояний, которые имеют одинаковые значения энергии, определяет кратность вырождения.