рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Микрочастица в потенциальной яме

Микрочастица в потенциальной яме - Лекция, раздел Механика, Лекции по дисциплине физические основы электронной техники. Квантовая механика   Сделаем Предварительно Замечание: Непрерывность Производной О...

 

Сделаем предварительно замечание: непрерывность производной от волновой функции не имеет места, если за некоторой поверхностью потенциальная энергия обращается в бесконечность. В эту область частица не может проникнуть, то есть на границе .

Потенциальное поле при и при называется бесконечно глубокой потенциальной ямой (рис.1.5). Частица, которая находится в такой яме, будет все время с ней связана. Движение частицы в пространстве ограничивается областью ямы и за ее пределы частица выйти не может, то есть на границах ямы

 

. (1.109)

 

Отражение от стенок ямы приводит к периодичности движения частицы во времени, что в свою очередь приводит к наложению условий квантования на импульс и энергию частицы. Определим волновые функции (возможные квантовые состояния) и энергетический спектр частицы. Для этого решим уравнение Шредингера (1.48) при соответствующих граничных условиях (1.109):

 

. (1.110)

 

Решение запишем в виде

 

. (1.111)

 

Используя (1.109) на границе , получим , и, следовательно,

 

. (1.112)

 

 

Применяя граничное условие (1.109) при , получим

 

. (1.113)

 

Число называется квантовым числом.

 

 

Коэффициент определим из условия нормировки (1.6):

 

. (1.114)

 

Таким образом, решение возможно не для любых значений , а только для вполне определенных, которые связаны с собственными значениями энергии соотношением

 

. (1.115)

 

Этим значениям отвечает собственная волновая функция

 

. (1.116)

 

Энергетический спектр частицы в потенциальной яме является дискретным. Состояние с наименьшей энергией () называют основным, все другие – возбужденными.

Расстояние между соседними энергетическими уровнями в абсолютных единицах растет с увеличением квантового числа

 

, (1.117)

 

но относительное расстояние между уровнями уменьшается

 

. (1.118)

 

Для ямы макроскопических размеров (например, см) дискретность даже для электронов будет проявляться слабо

 

эВ.

 

Уровни располагаются вблизи друг друга и образуют квазинепрерывную полосу. Дискретная природа спектра электрона проявляется только для ямы атомного размера. Например, для ямы с нм расстояние между соседними уровнями

 

эВ.

 

Волновые функции частицы в потенциальной яме представляют собой стоячие волны. Как легко убедиться, все функции взаимно ортогональны. Распределение плотности вероятности положения частицы в яме определяется выражением

 

. (1.119)

 

Соответствующие кривые для некоторых состояний приведены на рис.1.5.

Рассмотрим трехмерный случай. Потенциальная яма имеет вид прямоугольного параллелепипеда со сторонами . Потенциальная энергия внутри ящика равняется нулю, а вне – обращается в бесконечность (непроницаемые стенки).

Компоненты поступательного движения частицы вдоль координатных осей независимы. Поэтому решение можно искать в виде функции с разделяющимися переменными

 

, (1.120)

 

что отвечает вероятности сложного события. Подставив (1.120) в (1.48) и выполнив соответствующие преобразования, получим

 

, (1.121)

где

.

 

Левая часть (1.121) разделилась на три независимых слагаемых, а правая часть является постоянной. Это возможно в том случае, когда каждое из слагаемых в левой части постоянно. Таким образом, исходное уравнение распадается на три независимых уравнения. Воспользовавшись полученным ранее решением (1.116), запишем для потенциального ящика

 

. (1.122)

 

Возможные значения энергии частицы определяются выражением

 

, (1.123)

 

где – целые числа.

Если ящик кубической формы (), то

 

. (1.124)

 

 

 
а б
в г
Рис.1.5 Бесконечно глубокая потенциальная яма (а), волновые функции (б) и распределение густоты вероятности (в, г)

 

Из (1.124) видно, что для возбужденных состояний (когда хотя бы одно из возможных значений квантовых чисел больше единицы) одному и тому же значению энергии отвечают различные волновые функции. Например, для это будут . Следовательно, такие состояния являются вырожденными. Число состояний, которые имеют одинаковые значения энергии, определяет кратность вырождения.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекции по дисциплине физические основы электронной техники. Квантовая механика

Черняков э и лекции по дисциплине.. физические основы электронной техники квантовая механика введение..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Микрочастица в потенциальной яме

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Волны де Бройля
Квантовая механика является разделом теоретической физики, который изучает движение частиц в области микромира, то есть объясняет явления, которые происходят в объемах с линейными размерами

Измерение в квантовой механике. Соотношение неопределенности
В связи со специфическими особенностями микрообъектов особенного значения приобретает вопрос об измерениях в квантовой механике. Процесс измерения включает в себя наблюдаемую систему, измерительный

Волновая функция
Для полного описания состояния системы (частицы) необходимо столько физических величин, сколько степеней свободы имеет система. Совокупность физических величин, которые полностью определяют сост

Принцип суперпозиции
  В классической механике известен принцип суперпозиции. Примером могут служить колебания струны. Наравне с колебаниями чистого типа возможна суперпозиция колебаний различных типов. В

Закон сохранения числа микрочастиц
  Получим из уравнения Шредингера закон сохранения числа частиц. Запишем уравнение Шредингера и комплексно сопряженное ему    

Свободное движение микрочастицы
  Рассмотрим некоторые самые простые случаи движения микрочастицы в потенциальных полях. Начнем со свободного движения. Оператор Гамильтона в этом случае имеет вид &

Рассеяние микрочастицы на потенциальной ступени
  Потенциальное поле при

Туннельный эффект
  Большой интерес вызывает задача прохождения частицы через потенциальный барьер конечной протяжности. Определим коэффициент прозрачности

Квантово-механический осциллятор
  Атомы в молекулах и кристаллах осуществляют колебания возле положения равновесия. При малых смещениях на атом действует сила, которая пропорциональная смещению

Микрочастица в потенциальной яме конечной глубины
Потенциальное поле ямы имеет вид при

Микрочастица в связанных потенциальных ямах
Задача о движении частицы (электрона) в связанных потенциальных ямах (рис.1.10) оказывается полезной для понимания природы ковалентных связей в молекулах. Решения будем искать в предположе

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги