Методы расчета электрических цепей

Метод наложения (суперпозиции). Свойство наложения: в любой ветви электрический ток можно определить суммированием от действия каждого источника отдельно при наличии нескольких источников напряжения и источников тока в разветвленной электрической цепи, поочередно оставляя один источник, а остальные должны быть равны нулю.

Свойство линейности:

1. При изменении в несколько раз ЭДС в одной ветви (единственного источника напряжения) в остальных ветвях токи и напряжения должны пропорционально измениться во столько же раз. Это подтверждает, что все элементы электрической цепи являются линейными.

2. При изменении тока источника токов или сопротивления в одной ветви справедливы линейные соотношения между токами и напряжениями любых ветвей.

Принцип взаимности совместно с методом наложения.Свойство взаимности: если в разветвленной электрической цепи, имеющей единственный источник напряжения E_k в ветви k-й, возникает электрический ток I_i в ветви i, тогда при перемещении источник напряжения из ветви k в ветвь i (E_i) в ветви k возникнет такой же электрический ток I_k , который был в ветви i (I_i = I_k). При этом источники напряжения E_k и E_i должны быть одинаковы по величине. В этом случае электрические токи в ветвях можно определить: I_i = E_k× g_ik ; I_k = E_i× g_ki . Здесь g_ik , g_ki - взаимные проводимости ветвей k и i, которые в линейных электрических цепях равны g_ik = g_ki.

Ток называют входным, а проводимость называют входной или собственной I_k = E_k× g_kk , если определяется ток в ветви, где стоит источник напряжения.

Здесь g_kk - входная проводимость ветви k.

Расчет входных и взаимных проводимостей.Входные и взаимные проводимости можно рассчитать аналитически по формуле ,

где D(R) - определитель матрицы сопротивлений, полученный методом контурных токов по правилу Крамера; D_ki - определитель алгебраического дополнения матрицы сопротивлений, полученной вычеркиванием k- столбца и i- строки из основной матрицы сопротивлений и умноженной на (–1)^k+i.

Входные и взаимные проводимости можно определить экспериментально: g_ki = . Если E_i = 1, тогда ток численно равен проводимости I_k = 1× g_ki . Проводимости с одинаковыми индексами называют входными, или собственными, а проводимости с разноименными индексами – взаимными проводимостями.

Принцип взаимности совместно с методом наложения.Этот метод используется для определения электрического тока в любой ветви. Например, в ветви k устанавливают источник напряжения, ЭДС которого единица (E_k = 1). Предварительно установив в электрической цепи все остальные источники равными нулю, можно определить взаимные проводимости тех ветвей, в которых были источники напряжения и входную проводимость ветви k. Используя свойство линейности и свойство наложения, можно определить электрический ток в ветви k:

Аналитически ток в ветви k можно определить, составив уравнения методом контурных токов. Ветвь k должна быть хордой. Систему уравнений решают по правилу Крамера:

.

Здесь E_nn - контурные ЭДС; Δ(R) - определитель матрицы сопротивлений; Δ_kj -определитель алгебраического дополнения, полученный из матрицы сопротивлений вычеркиванием k – столбца и j - строки и умноженный на (-1)^{k + j}, а затем вычислен определитель.