Анализ и расчет линейных цепей переменного тока

 

Периодический переменный ток, изменяющийся по синусоидальному закону со сдвигом фазы или без сдвига (рис.2), – называется гармоническим током.

Мгновенное значение гармонического тока имеет следующий вид:

i(t) = I_m sin (wt +y₁) = I_m cos (wt + y₁ + 90^o),

где i - мгновенное значение электрического тока, А; I_m - амплитуда электрического тока, А; w - угловая частота, с^-1 (w = 2pf ); f - частота, Гц;
y₁ - начальный сдвиг фаза в момент времени t = 0, рад.

 

Рис. 2. График синусоидального тока

 

Среднее значение синусоидального тока (напряжения или ЭДС) равно:

I_ср = .

Действующее значение синусоидального тока (напряжения или ЭДС) за период T рассчитывается по формуле:

I = .

Приборами измеряются действующие значения синусоидального тока.

Рассмотрим понятия о коэффициентах амплитуды и формы.

Коэффициент амплитуды - это отношение амплитудного (максимального) значения тока (напряжения или ЭДС) к действующему значению: .

Коэффициент формы - отношение действующего значения тока (напряжения или ЭДС) к среднему значению: .

Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока.
В электрических цепях синусоидального тока применяются комплексные (символические) величины для решения системы алгебраических уравнений: , Z = R +j×X_р, где X_р =X_L – X_C – реактивное сопротивление и проводимость Y = g - j×b_р, гдеb_р = b_L – b_C - реактивная проводимость.

При переходе от мгновенных величин (оригиналов) к комплексным величинам (изображениям оригиналов) в дифференциальных и интегральных уравнениях используется преобразование Лапласа:

; .

Соотношения между напряжением и током на элементах имеют вид: Индуктивность и конденсатора:

; u_c =

+j+j+j

b ON3bFuHj/fEqA+GDsloNzhLCkTysyvOzQuXaHewb7dehFRxifa4QuhDGXErfdGSUn7mRLGtfbjIq 8Dm1Uk/qwOFmkGmSLKVRveUPnRrpoaPmZ70zCNX2s95WtxTla3p8yern+P1U3yNeXsTqDkSgGP7M cMJndCiZaeN2VnsxIKTXNwu2IpwG62k252WDsEwXIMtC/i9Q/gIAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAA ACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQIt ABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQIt ABQABgAIAAAAIQDhb30dHwQAAPEKAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBL AQItABQABgAIAAAAIQCX9hTf3wAAAAgBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAHkGAABkcnMvZG93bnJldi54 bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAhQcAAAAA " adj="0,,0" path="m10857,nfc17508,3867,21600,10979,21600,18673v,6815,-3217,13230,-8678,17308em10857,nsc17508,3867,21600,10979,21600,18673v,6815,-3217,13230,-8678,17308l,18673,10857,xe" filled="f"> 90⁰ 90⁰

 

 

Рис.3. Векторные диаграммы напряжений и токов на индуктивности, конденсаторе и резистор.

Индуктивность, конденсатор и резистор ведут себя в электрических цепях синусоидального тока по-разному (рис.3). Электрический ток, проходящий через индуктивность, отстает от напряжения на 90⁰ (рис.3,а), а электрический ток, проходящий через конденсатор, опережает напряжение на 90⁰ (рис.3,б). Электрический ток, проходящий через резистор, совпадает по фазе с напряжением (рис. 3,в).

В уравнениях используется мнимая величина j = , а j² = –1, а в полярной форме (показательной) , . Умножение на j любой величины - это означает поворот вектора этой величины на 90⁰, а умножение на j² или на (-1) - это поворот вектора этой величины на 180⁰ (рис.4).

Полярная форма записи комплексного электрического тока и напряжения имеют вид , а , которые изображены на комплексной плоскости (рис.4).

Алгебраическую форму записи комплексного числа можно получить, используя формулу Эйлера . Комплексное напряжение в алгебраической форме имеет вид:

 

= U× cos y₂+ j U×sin y₂ = Re( )+ Im( ) = a + j·b,

где a = U× cosy₂; b = U× siny₂.

Закон Ома. Полное комплексное сопротивление можно определить, разделив комплексное напряжение на комплексный ток. Угол поворота wt не влияет на расчет электрической цепи, а указывает, что эти векторы непрерывно вращаются. Поэтому величину e^jwt часто не указывают при расчете схем:

,

где z - модуль полного сопротивления.

Составные элементы полного сопротивления: X_L – X_C = z sin j, X_р = X_L –X_C, R = z cos j.

Полное сопротивление в алгебраической форме будет Z =R + j·X_L, если электрическая цепь состоит из резистора и индуктивности, которые соединены последовательно. Их треугольник сопротивлений изображен на рис.5,а.

Полное сопротивление будет Z =R - j·X_C , если электрическая цепь состоит из резистора и конденсатора, которые соединены последовательно.

 

Законы Кирхгофа в цепях синусоидального тока. Уравнение для узла электрической цепи синусоидального тока согласно первому закону Кирхгофа имеет вид:

.

Уравнение в ветви электрической цепи синусоидального тока согласно второму закону Кирхгофа имеет вид:

.

Здесь - ЭДС, напряжение и электрический ток – комплексные величины.

Пример.Действующее значение , частота из начальных условий , начальная фаза

 

 

Экспериментальные значения:

 

Расчётные значения:

 

Амплитудное значение B

Двойное амплитудное значение:

Период

Угловая частота

Мгновенное значение

Комплексное значение U=19,74^-150j

Мнимая составляющая комплексного числа вектора:

 

 

 

Модуль 2. Семинар 4 «Мощности в цепях синусоидального тока.»

 

План занятия

1. Краткое теоретическое введение

2. Разбор типовых задач.

	Активная, реактивная и полная мощности. Коэффициент мощности. Источники синусоидального тока, работающие в режиме генератора и потребителя.
	Расчет простых эл. цепей. Построение векторных и топографических диаграмм.
	Расчет сложных разветвленных цепей синусоидального тока матрично-топологическими методами МКТ и МУП. Расчет баланса мощности.

3. Самостоятельное решение задач.

4. Обсуждение самостоятельно решенных задач, включая домашнее задание

5. Краткое обобщение рассмотренных вопросов и подведение итогов

6. Контрольная работа по модулю 2.

7. Следующее домашнее задание

 

Теоретическая часть