Рис 6. Выбор оптимальной точки.

Определив вектор, имеющий наименьший угол расхождения с вектором центра координат, мы найдем искомое решение.

                                   

Если включить в рассмотрение все параметры характеризующие данный компонент ИС, то множество, расположенное в пространстве своих характеристик RN, должно целиком входить в множество не худших вариантов (множество Парето).

                                    

Если безусловно худшие точки все-таки существуют, то это свидетельствует либо об “умирании”  модели и алгоритма планирования развития либо о том, что в рассмотрение не были включены некоторые характеристики. При постановке задачи определены в качестве оптимизируемых все характеристики элементов множества, однако такой подход не вполне корректен, т.к. обычно при выборе определяющим являются лишь ограниченное число параметров, а остальные используются для задания ограничений или не рассматриваются вообще. Рассматривая множество в пространстве оптимизируемых характеристик RL (L < N), мы получим точки, не входящие в множество Парето, и этих точек будет тем больше, чем больше будет отношение N/L. Множество безусловно худших вариантов определяется как:

                                      

Очевидно что Y, содержащее элементы из X, не вошедшие в множество не худших вариантов при рассмотрении L-характеристик предназначены для других целей, нежели те, которые преследовались, при определении оптимизируемых параметров. Исходя из этого, разумно предположить, что элементы множества, не вошедшие в множество Парето при ограниченном числе параметров, не должны влиять на выбор, следовательно, определение центра координат множества необходимо проводить только по точкам множества Парето[1,11,15].

Метод последовательных уступок. В его основе идея понижения размерности исходной задачи путем назначения главного критерия в специально формируемых двумерных подзадачах условной оптимизации. Для этого в ходе вербального анализа исходов операции все частные критерии w_i i=1, 2, …, m ранжируют и нумеруют в порядке убывания важности. Затем максимизируют первый, самый важный критерий w₁ и находят его наибольшее значение . Далее, исходя из практических соображений, ЛПР назначается некоторая уступка D₁ от достигнутого значения . Величина уступки — это своеобразная плата за возможность повысить значения очередного по важности критерия w₂ от его достигнутого к данному шагу уровня w₂(а) для альтернативы а, обеспечивающей величину . В результате второй критерий может достичь величины , зависящей, естественно, от величины D₁ уступки по первому критерию. Затем назначают уступку D₂ по критерию w₂ (от значения ), ценой которой стремятся увеличить значения критерия w₃, и т.д. Таким образом, величины уступок последовательно назначаются в результате анализа только попарной взаимосвязи критериев. Выбирая уступки, ЛПР должно рассматривать только зависимость , не обращая внимание на остальные критерии. При этом чаще всего вначале даже незначительная уступка D_i от значения  приводит к существенному увеличению значения критерия , а затем с ростом величины уступки маргинальные приращения в значениях критерия  резко уменьшаются. Сопоставляя получаемый в этом случае выигрыш по критерию  с потерями в значениях критерия , ЛПР окончательно назначает величину уступки D_i и определяет значение . Следовательно, именно ранжирование критериев по важности позволяет ЛПР ограничиваться назначением величины уступки для предыдущего критерия только с учетом поведения последующего.

Метод главного критерия. Здесь агрегирования сводится к назначению одного из критериев, например w_j, главным и дополнительно требуют, чтобы значение всех остальных, «неглавных» критериев w_i,  удовлетворяли дополнительным ограничениям. Обычно указанная подобласть задается ограничениями-неравенствами вида , поэтому задачи оптимизации приминает вид:

                                       

В данной работе подробнее остановимся на методе анализа иерархий.

Метод анализа иерархий (МАИ) является систематической процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть любой проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждения лица, принимающего решение, по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. Эти суждения затем выражаются численно. МАИ включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений.

Список применений метода весьма разнообразен: исследования транспортной системы Судана, пивоваренная промышленность Мексики, проведение анализа «стоимость-эффективность», распределение ресурсов. В Израиле профессор Ами Арбель нашел метод полезным при принятии решений как по формализуемым, так и неформализуемым факторам, для которых отсутствовали связывающие их аналитические зависимости. Метод постоянно используется при планировании промышленности Питтсбурга, банковского дела, сталелитейной промышленности, в сфере городского хозяйства и координации общественных услуг. Кроме того, необходимо отметить, что и в России этот метод получает все большее распространение: различные виды маркетинговых исследований, определение сценариев развития города, оценки различных коммерческих рисков и т.д. Во многих ВУЗах России, имеющих экономические специальности, вводятся соответствующие дисциплины.

Роль подобного языка в МАИ выполняют различные иерархические структуры. Соответственно, в МАИ любая задача или проблема предварительно структурируются и представляются в виде иерархии древовидной или сетево.

Таким образом, в МАИ основная цель исследования и все факторы, в той или иной степени влияющие на достижение цели, распределяются по уровням в зависимости от степени и характера влияния.

На первом уровне иерархии всегда находится одна вершина— цель проводимого исследования.

Второй уровень иерархии составляют факторы, непосредственно влияющие на достижение цели. При этом каждый фактор представляется в строящейся иерархии вершиной, соединенной с вершиной 1-го уровня. Третий уровень составляют факторы, от которых зависят вершины 2-го уровня. И так далее. Этот процесс построения иерархии продолжается до тех, пока в иерархию не включены все основные факторы или хотя бы для одного из факторов последнего уровня невозможно непосредственно получить необходимую информацию.

По окончании построения иерархии для каждой материнской вершины проводится оценка весовых коэффициентов, определяющих степень ее зависимости от влияющих на нее вершин более низкого уровня. При этом используется метод попарных сравнений.

Производится сравнение изучаемых факторов попарно по отношению к их воздействию («весу», или «интенсивности») на общую для них характеристику.

Пусть в конкретной задаче необходимо определить состав некоторого объекта. Причем пусть A1, A2, ...,An основные факторы, определяющие состав объекта. Тогда для определения структуры объекта заполняется матрица парных сравнений.

	A1	A2	...	An
A1		a12		a1n
A2	a21			a2n
...			...
An	an1	an2

 

Если обозначить долю фактора Ai через w_i, то элемент матрицы a_ij = w_i/ w_j.

При этом очевидно a_ij = 1/a_ji. Следовательно, матрица парных сравнений в данном случае является положительно определенной, обратносимметричной матрицей.

Работа экспертов состоит в том, что, производя попарное сравнение факторов A1, ...,An эксперт заполняет таблицу парных сравнений. Важно понять, что если w₁, w₂, ..., w_n неизвестны заранее, то попарные сравнения элементов производятся с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале, а затем решается проблема нахождения компонента w.

В подобной постановке задачи решение проблемы состоит в отыскании вектора (w₁, w₂, ..., w_n). Существует несколько различных способов вычисления искомого вектора. Каждый из методов позволяет кроме непосредственного нахождения вектора отвечать еще на некоторые дополнительные вопросы. Подробнее об этом будет написано ниже.

Подчеркнем, что эксперт сравнивая n факторов реально проводит не n (как это происходит при заполнении обычных анкет) сравнений, а n*(n-1)/2 сравнений. Но это еще не все. На самом деле (учитывая соотношение a_ij=a_iк* aкj справедливое для всех значений индекса k) производится опосредованное сравнение факторов Ai и Aj через соответствующие сравнения этих факторов с фактором Ak. Принимая во внимание сделанное замечание можно утверждать, что в действительности эксперт производит значительно больше сравнений, чем даже показывает первая оценка равная n*(n-1)/2. Таким образом, каждая клетка матрицы парных сравнений реально содержит не одно число (результат непосредственного сравнения), а целый вектор (с учетом всех опосредованных сравнений через сравнения с другими факторами). Учет этих дополнительных сравнений позволяет значительно повысить надежность получаемых результатов, или позволяет значительно уменьшить количество необходимых экспертов.

Один из основных методов отыскания вектора w основывается на одном из утверждений линейной алгебры.

Очевидно, что искомый вектор является собственным вектором матрицы парных сравнений, соответствующим максимальному собственному числу (λ_max). В этом случае по одному из большого max, а затем достаточно решить количества существующих алгоритмов отыскивается  векторное уравнение A*w=λ_max*w.

Здесь необходимо отметить следующее. Из линейной алгебры известно, что у положительно определенной, обратносимметричной матрицы, имеющей ранг равный 1, максимальное собственное число равно размерности этой матрицы (т.е. n). При проведении сравнений в реальной ситуации вычисленное максимальное собственное число λ_max будет отличаться от соответствующего собственного числа для идеальной матрицы. Это различие характеризует так называемую рассогласованность реальной матрицы. И, соответственно, характеризует уровень доверия к полученным результатам. Чем больше это отличие, тем меньше доверие. Таким образом, эта модификация метода парных сравнений содержит внутренние инструменты позволяющие определить качество обрабатываемых данных и степень доверия к ним. Эта особенность данной методики выгодно отличает его от большинства обычно применяемых при исследовании рынка методов.

Другой подход в определении вектора w состоит в следующем. Суммируются по строкам элементы матрицы парных сравнений (для каждого значения i вычисляется сумма a _i= a_i1+ a_i2+...+ a_in). Затем все a_i нормируются так, чтобы их сумма была равна 1. В результате получаем искомый вектор w. Таким образом, w_i = a_i/(a₁+ a₂+...+ a_n).

Этот способ нахождения вектора w, значительно проще в реализации, но он не позволяет определять качество исходных данных.

Метод парных сравнений позволяет определить качество исходных данных. Причем Т. Саати рекомендует при плохо согласованной матрице либо сменить экспертов, либо найти дополнительные данные, либо решать проблему другим методом. В том случае, когда проблема не в экспертах, а в собственно объекте изучения. Рассогласованность матрицы парных сравнений может быть вызвана, по крайней мере двумя факторами:

· личными качествами эксперта;

· степенью неопределенности объекта оценки.

Поэтому рассогласованность матрицы выступает как результат взаимодействия этих факторов. Следовательно, игнорирование такой структуры причин рассогласования приводит к тому, что рекомендуемые мероприятия по повышению согласованности матрицы проводятся не только в ситуациях, когда большая рассогласованность является следствием низкой профессиональности эксперта, но и в случаях, когда подобная неоднозначность является неотъемлемой частью изучаемого объекта, что, как правило, и происходит при изучении рынка недвижимости. В последнем случае необходимо изучать объект такой, какой он есть со всеми присущими ему неопределенностями.

Для того чтобы выделить ту составляющую рассогласованности, которая определяется собственно экспертом, необходимо несколько изменить взгляд на объект и на ожидаемый результат обработки исходных данных.

Прежде всего, необходимо признать, что объекту исследования (в частности, ИС) присуща некоторая неопределенность. И, как следствие, ожидать однозначного результата было бы не разумно. Ответ может и должен быть сформулирован на языке вероятности, т.е. либо в виде доверительных интервалов, либо в виде вероятности реализации интересующего результата, либо в виде математического ожидания результата и его дисперсии и т.д.

Построить алгоритм обработки матрицы сравнений, представляющий результаты в необходимой форме, позволяет отмеченное выше свойство матрицы сравнений: каждый элемент матрицы является, по сути, целым вектором, составленным из различных сравнений (прямых и опосредованных) соответствующих факторов. Учитывая это свойство можно для каждого элемента матрицы сопоставить его среднее значение и его стандартное квадратичное отклонение (СКО). Далее пользуясь методами стохастического моделирования можно построить последовательности матриц сравнения, каждая из которых будет соответствовать одной из возможных реализаций отношений характерных для данного объекта в рамках его неоднозначности и компетентности оценивающих его экспертов. Определяя для каждой такой матрицы вектор w, получим достаточно большой набор векторов, представляющих возможные реализации структуры объекта в соответствии с его неоднозначностью и компетентностью оценивающих его экспертов. Воспринимая, построенный подобным образом, набор векторов, как статистическую выборку, можно получить необходимый результат в том виде, который необходим в конкретном случае. В частности легко можно получить средние значения компонент вектора w и значения их СКО[6].

Полученные таким образом значения СКО и являются следствием степени рассогласованности матрицы парных сравнений. Чем больше рассогласованность, тем больше значения СКО.

Заполняя матрицу сравнений эксперт может заполнить ее только выше главной диагонали. Остальная ее часть рассчитывается с учетом обратной симметричности. Но если эксперт заполняет не только верхнюю, но и нижнюю часть матрицы, то появляется дополнительная информация, позволяющая оценить степень личной компетентности данного эксперта.

Действительно, при сравнении фактора Ai с фактором Aj эксперт поставит оценку a_ij, а при сравнении фактора Aj с фактором Ai эксперт поставит оценку a_ji. При этом на взаимное соотношение этих оценок не влияет состояние ИС, а только профессионализм эксперта (в идеальном случае, как уже отмечалось, должно выполняться равенство a_ji = 1/ a_ij). Таким образом, отклонение a_ji от 1/ a_ij является случайной величиной и ее СКО соответствует уровню профессионализма эксперта. Следовательно, учитывая свойства дисперсии, можно из оценок элементов матрицы сравнений убрать влияние непрофессионализма эксперта и в результате уменьшить СКО компонентов вектора w. В итоге вектор w, точнее средние значения его компонент и их СКО, будет соответствовать данному объекту (в частности рынку) и адекватно описывать его.

Для проведения субъективных парных сравнений Т. Саати была разработана шкала относительной важности (таблица 5).