З - ei • а

При дальнейшем дифференцировании имеем

_o^w_ 1 d"~⁴q ~dz" EJ dz"'~*'

Положим z — 0 и обозначим:

V[ (0) - E% и v' (0) — <r₀ — прогиб и уголповорота в начале коор­динат; Mi (0) = М, и Qj (0) = Q_n — момент и поперечная сила в сечении,

взятой в начале координат;

<?о> <?'>> 9(1. 9о" — интенсивность нагрузки и ее произ­водные, взятые в начале координат, т. с. при z — 0.

Тогда на основании дифференциальных зависимостей (в) между коэффициентами ряда Маклорсна (б) и принятыми обозначениями имеем следующие равенства:

t',(0) = r_o: уН0) = ф_о; fi'(0) = 2J; tf'4g}-; ^'Ю) = >; ^(О)-^; ... И Т. П.

Подставляя эти значения в уравнение (б), получим

.. „ • _ _ I М» г- , Q, г³ </„ г¹ q'_n г^:> q'' 2* _ _fi

Ol = »« + фо^ + gj _2: + _Е/ 3! + _Ej 41 + £7 5! + Ш 6! + "' • ' ^⁹-⁶)

Полученное уравнение позволяет выразить прогибы в любом течениипервого участка через начальные параметры v_a, ф„, М_о, Q_o ... и т. д. Часть из этих параметров известна заранее, а часть подлежит определению из граничных условий.

Для того чтобы получить уравнение прогибов оси балки на втором участке, поступим следующим образом.

По уравнению (9.6), полученному для первого участка, построим

пшию прогибов в пределах двух участков — первого и второго. На протяжении первого участка (рис. 230, г) она изображена жирной

пшией, на протяжении второго участка — пунктиром. Пунктирная

шния представляет собой изображение линии, описанной уравне­нием (9.6), но она не совпадает с истинной кривой оси изогнутого бруса

пя второго участка, которая проведена жирной линией. Ординаты между двумя указанными кривыми заштрихованы на чертеже. Ана­литически эти ординаты выражаются равенством

Д;ч (г) = Aui = v_u - Vi. (r)

Определим величину &щ, а затем найдемординаты прогибов балки на втором участке:

0и=»1+Дрг.(д)

Для этой цели напишемдва дифференциальных уравнения:

d*£j _A!i _ d²v_u Ми

dz- EJ ' dz~~~~~ET'

Вычитая первое уравнение из второго, получим

Обозначив

AMi = Mu —Mi, имеем

ТШ EJ ■ ^w

На основании сходства дифференциального уравнения (е) с основ­нымуравнением (а) можно утверждать, что решение для функции щ совпадает с решением, полученным для функции (9.G).

В этом решении вместо координаты г придется теперь брать коор­динату, отсчитанную от точки /, т. е. (г — а^). Вместо величин М_о, Qn, <7о. •■•, и т. д. придется брать A/WF₁; AQ_X; Aq_x, ... .

Следовательно,

JLi^i (^г~^а1)³ i ^Д(?1 (г-⁰')⁴ , A»! (z-fli)⁵ i /q 74

⁺ £i 31 ⁿ £7 4! ⁺ £7 5! "Г-"' Ф-Ц

Здесь Aui = Aui (z)—функция, определяемая равенством (г) для

второго участка (рис. 230, г); Ау_х — скачок в линии прогибов в точке 1 (на рис. 230, г

не показан); Асрх — скачок в угле поворота в точке / (на рис. 230, г

не показан);

АМ_Л — скачок в эпюре моментов в точке / (рис. 230, б). Эта величина равна внешнему сосредоточен­ному моменту, приложенному в данной точке;

AQj — скачок в эпюре поперечных сил (рис. 230, в), равный внешней сосредоточенной силе, при­ложенной в точке /;

Aft — скачок в интенсивности нагрузки в точке /; Aq — скачок в производной от интенсивности на­грузки в точке /.

Все перечисленные здесь величины скачков определяются как раз­ности двух значений соответствующих величин, взятых в точке 1. Так, например,

Aq^lqutf-qUzfiz^a,, (9.8)

где qw (г) и q (г)—функции, определяющие закон изменения рас­пределенных нагрузок на втором и первом участках.

Величина Aq[ определяет-
_а ся как разность производных;

Aq[^[q'n {z) -q (z)]_z = _ni = = tga₃-tgcc₁. (9.9)

Здесь а₂ и а₁ — углы наклона касательных к эпюре на­грузок, взятых в точке / (рис. 230, а).

Скачок в угле поворота может иметь место в случае, если в точке / поставлен шар­нир, из-за которого углы поворота слева и справа от

гочки 1 будут различны (рис. 231, а). Скачок в прогибах возможен is том случае, если в точке 1 балка разрезана на две части, которые соединены параллельными стерженьками, как это показано на рис. 231, б. Вследствие этого прогибы двух балок в точке / будут отличаться друг от друга на Аи_ъ как это показано на эпюре прогибов (рис. 231, в).

Для непрерывных балок, которые по всей длине, в том числе в точке /, не имеют разрезов и полных шарниров, Аи₁ = 0, Лф_г = 0. Если к'перь учесть, что

Путем дифференцирования получим универсальное уравнение . 1Я углов поворота

8 Смирнов 225

При решении каких-либо частных задач целый ряд членов, входя­щих в уравнения (9.10) и (9.11), равен нулю. Полученные уравнения, (9.10) и (9.11) зависят от величин и₀; ц>₀; М_о; Q_o; q_n; q'_a и т. п., которые берутся в начале координат, поэтому метод решения по указанным уравнениям носит название метода начальных параметров.

Из всех перечисленных начальных параметров некоторые пара­метры могут быть неизвестны. Величины q₀ и q'_Q по условию задачи обычно заданы. М_о и Q_o мог^ч бичъ известны или должны быть опре­делены из условий статики, а в тех случаях, когда задача статически неопределима, — из условия деформаций. Величины v₀ и ф₀ не могут быть определены из условий статического равновесия. Определение этих начальных параметров производят по граничным условиям. Так, например, для балки, показанной на рис. 232, а, в начале координат щ и фо не равны нулю. Они могут быть определены из условий равенства нулю прогибов на опорах а и Ъ.

Основное преимущество метода начальных параметров состоит именно в том, что независимо от числа участков и нагрузки число постоянных, которые надо определить в статически определимой балке, не превышает двух.

Для балки, изображенной на рис. 232, б, начальный прогиб равен нулю, неизвестным остается начальный угол поворота %, Для его определения надо использовать условие равенства нулю прогиба на правой опоре. Для случая, представленного на рис. 232, в, началь­ный прогиб и начальный угол поворота равны нулю.

После того как будут найдены начальные параметры, можно напи­сать окончательные аналитические выражения прогибов и углов поворота для каждого участка балки. Придавая величине г ряд зна­чений и вычисляя в соответствующих точках численные значения прогибов и углов поворота, можно построить линию прогибов и линию углов поворота оси балки.

В технических задачах часто ставится вопрос об определении места и величины наибольшего прогиба балки. Для определения местополо­жения сечения, в котором прогиб приобретает наибольшее значение, необходимо приравнять нулю производную:

§ = Ф=0, (9.12)

откуда можно определить абсциссу наибольшего прогиба.

В некоторых случаях наибольший прогиб не совпадает с экстре­мальным значением функции, так, в случае, показанном на рис. 232, в, в месте наибольшего прогиба условие (9.12) не выполняется. Тогда приходится исходить из общей картины возможных деформаций систе-

ми и определять место наибольшего прогиба путем анализа всей линии прогибов.

Рассмотрим ряд примеров применения универсального уравнения для определения перемещений в балке при изгибе.

1. Составить уравнения прогибов и углов поворота, а также опре­делить место положения и величину наибольшего прогиба в балке, изображенной на рис. 233. В данной балке всего один участок, так

как на всем протяжении балки нет никаких изменений в нагрузке. По универсальному уравнению (9.10) с учетом того, что ~о_о = 0, Q* = МП, имеем

Для определения неизвестной величины угла поворота используем граничное условие: при z = / v — 0. Таким обоазом.

откуда находим

Следовательно, уравнение прогибов имеет вид

ЛифАеренципуя. получим уравнение углов поворота

Для того чтобы определить расстояние до места наибольшего про­гиба z₀, воспользуемся условием

или

откуда

Подставляя найденное значение г„ в уравнение (з), получим

Интересно отметить, что этот прогиб очень мало отличается от прогиба в середине пролета:

2. Написать уравнение прогибов и углов поворота для балки, показанной на рис. 234, и определить наибольший прогиб.

Поместив начало координат в заделку, имеем:

Для первого участка по формуле (9.10) получаем уравнениепро­гибов

Это уравнение справедливо для случаев, когда 0 «ё г^ „ . К точке 1

примыкают два участка: на первом участке в точке 1 q = 0, на втором участке в этой же точке q — — q_v При переходе через точку / от первого ко второму участку нагрузка изменяется от 0 до — q_x. Сле­довательно, Aq_x = — <7j. Для того чтобы не сделать ошибки в опреде­лении величин и знаков At?i и A^J, следует пользоваться формулами (9.8) и (9.9).

По этим формулам находим

Скачки в моменте и поперечной силе отсутствуют АУИ_Х = О, AQ, = 0.

Применяя формулу (9.10), получим уравнение для прогибов на втооом участке

Уравнения углов поворота получим дифференцированием урав-

нений прогибов: для первого участка

Наибольший прогиб v_mRX пудет на правом конце бал-

ки; подставляя г = I = 4 м в уравнение прогибов для второго участка, получим

Так как в решении размеры балки принимались в метрах и на-i рузка — в тоннах на погонный метр, то величины Е и J надо брать I'. тс/м² и л*.

3. Написать уравнение прогибов балки, показанной на рис. 235, а, и определить прогиб посередине пролета.

Начальные параметры для данной задачи имеют следующие зна­чения:

Для первого участка согласно универсальному уравнению прогиб
определяют по формуле

В точке перехода от участка / к участку // имеем

ДМ_Х = О; AQ_{1 =} —P; bq^-q; &q[ = Следовательно,

В полученных уравнениях прогибов неизвестна величина ф₀. Для ее определения используем условие, что на правой опоре прогиб равен нулю; так как правая опора принадлежит второму участку, то, подставляя г = / в уравнение прогибов второго участка и прирав­нивая прогиб нулю, получим

Решая это уравнение относительно ср₀, найдем

Подставив значение ф₀ в уравнения прогибов, окончательно полу­чим:

Найдем теперь прогиб посередине пролета. Положив г = -к- по первому уравнению, получим

Данную величину можно определить также и из второго уравнения, так как середина пролета принадлежит и второму участку. Легко

заметить, что два последних члена второго уравнения при г = й