Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований - раздел Философия, Конспект лекций по дисциплине Линейная алгебра Определение 1.Пусть Задана Матрица A Размером M...
Определение 1.Пусть задана матрица A размером m´n и число k £ min (m, n). Минором k-го порядка матрицы A называется определитель квадратной матрицы k-го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием каких-либо m-k строк и n-k столбцов.
Например, из матрицы A размером 3´4 можно получить миноры 1-го, 2-го и 3-го порядков.
Определение 2.Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается символом rang(A) или r(A).
Ясно, что: 1) r(A) £ min (m, n);
2) r(A)=0 Û A - нулевая матрица;
3) если A - квадратная матрица n-го порядка, то r(A)=n Û ½A½¹0.
Определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения решения этой задачи используют преобразования, сохраняющие ранг матрицы.
Определение 3.Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:
1) отбрасывание нулевой строки (столбца);
2) умножение всех элементов строки (столбца) на число, не равное нулю;
3) транспонирование матрицы;
4) изменение порядка строк (столбцов) матрицы;
5) прибавление к каждому элементу строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.
Теорема.Ранг матрицы при элементарных преобразованиях не изменяется.
Доказательство.Из свойств 1-4, 8 определителей следует, что при элементарных преобразованиях квадратных матриц их определители либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. Таким образом, сохраняется наивысший порядок отличных от нуля миноров данной матрицы.
Обычно с помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду, при котором легко определяется ранг матрицы.
Определение 4.Матрица A называется ступенчатой, если она имеет вид , где aii¹0 при i=1, 2, ..., r; r£k.
Легко получить, что ранг ступенчатой матрицы равен r.
Умножение на число, сложение, умножение матриц
Определение 1.Матрицей размера m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называютс
Свойства определителей
Позволяют существенно упростить вычисление определителя, особенно для определителей высоких порядков. При этом основной целью преобразований является получение определителя, в котором как можно бол
По элементам строки или столбца
Определение 1.Минором Mij элемента aij матрицы n-го порядка A называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной из матрицы
Линейного пространства по векторам базиса
Определение 1.Векторным (линейным) пространством называется множество n-мерных векторов с действительными компонентами, в котором определены опер
В евклидовом пространстве
Определение 1. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Определение 2. Базис линейного пространства
Образ и прообраз векторов
Определение 1.Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x = (x1, x2, … xn) пространства
И его характеристическое уравнение
Определение 1.n-мерный вектор x ¹ 0 называется собственным вектором линейного оператора A, если существует такое число l, ч
Ранг квадратичной формы
Определение 1. Квадратичной формой L(x1, x2, … , xn) от n переменных называется сумма, каждый член которой являе
Новости и инфо для студентов